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最新人教A版必修5高中数学 2.3 等差数列的前n项和(第1课时)学案(精品)


2.3 等差数列的前n项和(第1课时) 学习目标 掌握等差数列前n项和的公式,并能运用公式解决简单的问题.了解等差数列 前n项和的定义,了解倒序相加的原理,理解等差数列前n项和公式推导的过程,记 忆公式的两种形式;用方程思想认识等差数列前n项和的公式,利用公式求Sn,a1, d,n;等差数列通项公式与前n项和的公式共涉及五个量,已知其中三个量可求另 两个量;会利用等差数列通项公式与前n项和的公式研究Sn的最值. 合作学习 一、设计问题,创设情境 1.一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放一支铅笔,往上每一层都比它下面 一层多放一支,最上面一层放100支.这个V形架上共放着多少支铅笔? 问题就是 这是小学时就知道的一个故事,高斯的算法非常高明,回忆他是怎样算的.这 实际上是一个求等差数列前100项和的问题,高斯算法的高明之处在于他发现这1 00个数可以分为50组,第一个数与最后一个数一组,第二个数与倒数第二个数一 组,第三个数与倒数第三个数一组,…,每组数的和均相等,都等于101,50个101就 等于5050.高斯算法将加法运算转化为乘法运算,迅速准确的得到了结果. 我们要求一般的等差数列的前几项和,高斯算法对我们有何启发? 二、信息交流,揭示规律 1 2.公式推导 设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,Sn=a1+a2+a3+…+an=?,由学生讨论,研 究高斯算法对一般等差数列求和的指导意义. 思路一:运用基本量思想,将各项用a1和d表示,得 Sn=a1+(a1+d)+(a1+2d)+(a1+3d)+…+[a1+(n-2)d]+[a1+(n1)d],有以下等式a1+[a1+(n-1)d]=(a1+d)+[a1+(n-2)d]=(a1+2d)+[a1+(n3)d]=…,问题是一共有多少个     ,似乎与n的奇偶有关.这个思路似乎进行不下去了. 思路二: 上面的等式其实就是a1+an=a2+an-1=a3+an2=…,为回避个数问题,做一个改写Sn=a1+a2+a3+…+an-2+an-1+an,Sn=an+an-1+an2+…+a3+a2+a1,两式左右分别相加,得 2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)+…+(an-2+a3)+(an-1+a2)+(an+a1), 2Sn=n(a1+an) 于是有       .这就是倒序相加法. 思路三:受思路二的启发,重新调整思路一,可得2Sn=n[a1+a1+(n1)d],于是Sn=na1+d. 综合思路二和思路三得到了两个公式:       和       . 三、运用规律,解决问题 3.求和:(1)101+100+99+98+97+…+64; (2)2+4+6+8+…+2n(结果用n表示). 2 4.等差数列2,4,6,…中前多少项的和是9900? 5.2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校校通”工程的通 知》.某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标:从2001年起用10年时间,在 全市中小学建成不同标准的校园网.据测算,2001年该市用于“校校通”工程的 经费为500万元.为了保证工程的顺利实施,计划每年投入的资金都比上一年增加 50万元.那么从2001年起的未来10年内,该市在“校校通”工程中的总投入是多 少? 四、变式训练,深化提高 6.等差数列{an}的前n项和为Sn,已知S3=6,a4=8,求公差d. 7.设Sn为等差数列{an}的前n项和,若满足an=an1+2(n≥2),且S3=9,求首项a1. 3 五、反思小结

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