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高二数学选修2-2模块综合测试题(理科)

选修 2-2 期中测试卷

(本科考试时间为 120 分钟,满分为 100 分) 说明:本试题分有试卷Ⅰ和试卷Ⅱ,试卷Ⅰ分值为 30 分,试卷Ⅱ分值为 70 分。

班级

姓名

第I卷

一.选择题

1.在“近似替代”中,函数 f (x) 在区间[xi , xi?1] 上的近似值(



(A)只能是左端点的函数值 f (xi )

(B)只能是右端点的函数值 f (xi?1)

(C)可以是该区间内的任一函数值 f ??i ?(?i ? [xi , xi?1] )(D)以上答案均正确

2.已知 z1 ? m2 ? 3m ? m2i,z2 ? 4 ? (5m ? 6)i ,其中 m 为实数,i 为虚数单位,若 z1 ? z2 ? 0 ,则 m 的

值为 ( )

(A) 4

(B) ?1

(C) 6

(D) 0

3.设 S(n) ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? n n ?1 n ? 2 n ?3

?

1 n2

(n ? N*)

,当

n

?

2 时,

S(2)

?



C



A. 1 2

B. 1 ? 1 23

C. 1 ? 1 ? 1 234

D. 1 ? 1 ? 1 ? 1 2345

4.用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时,假设正确的是( B )

A、假设至少有一个钝角

B.假设至少有两个钝角

C.假设没有一个钝角

D.假设没有一个钝角或至少有两个钝角

5.给出以下命题:

? ? ⑴若

b f (x)dx ? 0 ,则 f(x)>0; ⑵

2?
sin x dx ? 4 ;

a

0

? ? ⑶已知 F?(x) ? f (x) ,且 F(x)是以 T 为周期的函数,则

a
f (x)dx ?

a?T
f (x)dx ;

0

T

其中正确命题的个数为( B )

A.1

B.2

C.3

D.0

6.若

f

' (x0 )

?

?3

,则

lim
h?0

f

( x0

? h) ? f h

( x0

? 3h)

?


B)

A. ?3

B. ?12

C. ?9

D. ?6

7.已知 x ?1, y ?1,下列各式成立的是

(D )

(A) x ? y ? x ? y ? 2 (B) x2 ? y2 ? 1 (C) x ? y ? 1 (D) xy ?1 ? x ? y

1

? 8. 定积分

π
2 sin2

x

dx 的值等于(

A



0

2

A. π ? 1 42

B. π ? 1 42

C. 1 ? π 24

D. π ?1 2

【第 9 题 2 选 1】9.曲线 y ? x3 ? 3x ? 2 上的任意一点 P 处切线的斜率的取值范围是( )

A.[ 3 , ??) 3

B. ( 3 , ??) 3

C. (? 3, ??)

D. [? 3, ??)

9.设

P

为曲线

C:

y

?

x2

?

2x

?

3

上的点,且曲线

C

在点

P

处切线倾斜角的取值范围为

???0,?4

? ??

,则点

P



坐标的取值范围为( )

A.

????1,?

1 2

? ??

B. ??1,0?

C. ?0,1?

D.

? ??

1 2

,1???

10. 已知数列{an} 满足 a1 ? 2 , a2 ? 3 , an?2 ?| an?1 ? an | ,则 a2016 =( )

A.1

B.2

C.3

D.0

11.

已知函数

f (x) ? x2

? bx 的图象在点 A(1,

f

(1))

处的切线的斜率为

3,数列

? ?

?

1?

f

(n)

? ?

的前 n 项和为 Sn ,则 S2011 的值为(D )

A. 2008 2009

B. 2009 2010

C. 2010 2011

D. 2011 2012

12. 平面几何中,有边长为 a 的正三角形内任一点到三边距离之和为定值 3 a ,类比上述命题,棱长为 a 2
的正四面体内任一点到四个面的距离之和为( B )

A. 4 a 3

B. 6 a 3

C. 5 a 4

D. 6 a 4

第Ⅱ卷

二.填空题
13.若复数 z ? 1? i ? 1? i ,则复数 z= 1?i 1?i
14.已知等腰梯形 OABC 的顶点 A,B 在复平面上对应的复数分别为1? 2i 、?2 ? 6i ,且 O 是坐标原点, OA∥BC .求顶点 C 所对应的复数 z 【15 题 2 选 1】15.已知可导函数 f ( x)(x ? R) 的导函数 f '( x) 满足 f '( x) ? f ( x) ,则当 a ? 0 时,
f (a) 和 e a f (0) ( e 是自然对数的底数)大小关系为

2

15.若函数

f

(x)

?

4x x2 ?

1

在区间

(m,2m

?

1)

上是单调递增函数,则实数

m

的取值范围是



答案: ?1 ? m ≤ 0

16.仔细观察下面图形:图 1 是一个水平摆放的小正方体木块,图 2,图 3 是由这样的小正方体木块叠放而

成的,按照这样的规律放下去,至第七个叠放的图形中,小正方体木块总数就是

91

三 解答题(本大题共 5 小题,共 54 分) 17(本小题满分 10 分)
? (1) 求定积分 1 x2 ? 2 dx 的值; ?2

? ? 由已知得 z 2 ? z ? z i ? 1 ? i ,
设 z ? x ? yi,?x, y ? R?

代人上式得 x 2 ? y 2 ? 2 xi ? 1 ? i

所以

? ? ?

x

2
2

? x

y ?

2? ?1

1

,解得

? ?? ? ? ??

x ?? y??

1 2 3 2

故z??1 ? 3i 22

【2 选 1】(2)若复数 z1 ? a ? 2i(a ? R) , z2 ? 3 ? 4i ,



z1 z2

为纯虚数,求

z1

? ? (2)已知复数 z 满足 z 2 ? z ? z i ? 3 ? i ,求 z . 2?i

18.【3 选 1】
(1)已知 a , b 是正实数,求证: a ? b ? a ? b ba
3

只需证 a a ? b b ? ab( a ? b )

即证 (a ? b ? ab)( a ? b ) ? ab( a ? b )

即证 a ? b ? ab ? ab 即证 a ? b ? 2 ab ,即 ( a ? b )2 ? 0

该式显然成立,所以 a ? b ? a ? b ba

(2)求证:(1) a2 ? b2 ? 3 ? ab ? 3(a ? b) ; 证明:(1) ∵ a2 ? b2 ? 2ab ,
a2 ? 3 ? 2 3a ,

b2 ? 3 ? 2 3b ; 将此三式相加得 2 (a2 ? b2 ? 3) ? 2ab ? 2 3a ? 2 3b ,

∴ a2 ? b2 ? 3 ? ab ? 3(a ? b) .

(3)已知 a, b, c 均为实数,且 a ? x2 ? 2 y ? ? ,b ? y 2 ? 2z ? ? , c ? z 2 ? 2x ? ? ,

2

3

6

求证: a, b, c 中至少有一个大于 0.

证明:(反证法)

假设 a,b,c 都不大于 0,即 a ? 0,b ? 0,c ? 0 ,则 a ? b ? c ? 0 ,

因为 a ? x2 ? 2 y ? π ,b ? y2 ? 2z ? π ,c ? z 2 ? 2x ? π

2

3

6

?a ? b ? c ? (x2 ? 2y ? π) ? (y2 ? 2z ? π) ? (z2 ? 2x ? π)

2

3

6

? (x ? 1)2 ? ( y ? 1)2 ? (z ? 1)2 ? π ? 3 ? 0

即 a ? b ? c ? 0 ,与 a ? b ? c ? 0 矛盾,故假设错误,原命题成立.

19.设 y ? f (x) 是二次函数,方程 f (x) ? 0 有两个相等的实根,且 f ?(x) ? 2x ? 2 . (1)求 y ? f (x) 的表达式; (2)若直线 x ? ?t(0 ? t ? 1) 把 y ? f (x) 的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分,求 t 的值. 解:(1)设 f (x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) , 则 f ?(x) ? 2ax ? b .

4

由已知 f ?(x) ? 2x ? 2 ,得 a ?1, b ? 2 .

? f (x) ? x2 ? 2x ? c .

又方程 x2 ? 2x ? c ? 0 有两个相等的实数根, ?? ? 4 ? 4c ? 0 ,即 c ?1. 故 f (x) ? x2 ? 2x ?1 ;

? ? (2)依题意,得 ?t (x2 ? 2x ?1)dx ? 0 (x2 ? 2x ?1)dx ,

?1

?t

????

1 3

x3

?

x2

?

x

? ??

?t ?1

?

? ??

1 3

x3

?

x2

?

x

? ??

0 ?t



整理,得 2t3 ? 6t2 ? 6t ?1 ? 0 ,即 2(t ?1)3 ?1 ? 0 ,

?t ?1? 1 . 32

20.已知函数 f (x) ? ln(x ?1) ? x (1)求 f (x) 的单调区间; (2)求曲线 y ? f (x) 在点(1, f (1) ) x ?1
处的切线方程;(3)求证:对任意的正数 a 与 b ,恒有 ln a ? ln b ? 1? b . a

21.已知数列?an? 的前 n 项和 Sn ? 1? nan (n ? N*) .

(1)计算 a1 , a2 , a3 , a4 ;

(2)猜想 an 的表达式,并用数学归纳法证明你的结论.

解:(1)依题设可得 a1

?

1 2

?

1 1? 2

, a2

?

1 6

?

1 2?3

, a3

?

1 12

?

1 3? 4



a4

?

1 20

?

1 4?5



5

(2)猜想:

an

?

1 n(n ?1)



证明:①当 n ?1 时,猜想显然成立.

②假设 n ? k(k ? N*) 时,猜想成立,

即 ak

?

1 k(k ?1)



那么,当 n ? k ?1 时, Sk?1 ? 1? (k ?1)ak?1 ,

即 Sk ? ak?1 ? 1? (k ?1)ak?1 .

又 Sk

? 1? kak

?

k, k ?1

所以

k

k ?1

?

ak ?1

?1?

(k

? 1)ak ?1



从而

ak ?1

?

(k

1 ? 1)(k

?

2)

?

(k

1 ? 1)[(k

? 1)

? 1]



即 n ? k ?1时,猜想也成立.
故由①和②,可知猜想成立.

? ? 21(本小题满分 12 分)设数列 an 满足 an?1 ? an2 ? nan ?1, n ? 1, 2, 3, ,

? ? (1) 当 a1 ? 2 时,求 a2 , a3 , a4 ,并由此猜想出 an 的一个通项公式;

(2)

当 a1

? 3 时,证明对所有 n ?1,有

① an

?n?2② 1 1? a1

1 ?
1? a2

?

11 ?
1? an 2

18、设函数 f ( x) ? x3 ? x2 ? 3x ? 3a(a ? 0) (12 分) 3
(1)如果 a ? 1,点 P 为曲线 y ? f ( x) 上一个动点,求以 P 为切点的切线斜率取得最小值时的切线方程; (2)若 x ?[a, 3a] 时, f ( x) ? 0 恒成立,求 a 的取值范围。
6

解:(1)设切线斜率为 k,则 k ? f '( x) ? x2 ? 2x ? 3.当x=1时,k有最小值-4 。

又 f (1) ? ? 29 ,所以切线方程为y ? 29 ? ?49x ? 1),即12x ? 3 y ? 17 ? 0 。(6 分)

3

3

若x ?[a, 3a]时,f ( x) ? 0恒成立,则:

?0 ? ?

? f

a ? 3a (3a) ?

? 0

3(1)或

?0 ? ?

? a ? 3 ? 3a f (3) ? 0

(2)或

? ? ?

f

a? (a)

3 ?

(3) 0

(1),(2)无解,由(3)解得 a ? 6 ,综上所述。

20. 已知函数 f ( x) ? a ln x ? ax ? 3(a ? R) .

(Ⅰ)当 a ? 1时,求函数 f ( x) 的单调区间;

(Ⅱ)若函数 y ? f ( x) 的图像在点 (2, f (2)) 处的切线的倾斜角为 45? ,问:m 在什么范围取值时,

对于任意的 t ?[1,2],函数 g( x) ? x 3 ? x 2[ m ? f '( x)]在区间 (t,3) 上总存在极值? 2

(Ⅲ)当 a

?

2 时,设函数 h( x) ? ( p ? 2)x ?

p ? 2e x

?3

,若在区间 [1, e] 上至少存在一个

x0 ,使得

h( x0 ) ? f ( x0 ) 成立,试求实数 p 的取值范围.

解(Ι )由 f '( x) ? a(1 ? x) ( x ? 0) 知: x
当 a ? 1时,函数 f ( x) 的单调增区间是 (0,1) ,单调减区间是 (1,? ?) ;

(Ⅱ)由 f '( x) ? ? a ? 1 得到 a ? ?2 ,故 f ( x) ? ?2 ln x ? 2x ? 3, f '( x) ? 2 ? 2 ,

2

x

g( x) ? x 3 ? x 2[ m ? f '( x)] ? x 3 ? (2 ? m )x 2 ? 2x, g'( x) ? 3x 2 ? (4 ? m)x ? 2

2

2

7

因为

g( x)

在区间 (t,3)

上总存在极值,且 1

?

t

?

2

,所以

? g' (2)

? ?

g'(3)

? ?

0 0

,解得:

? 37 ? m ? ?9 ,故当 ? 37 ? m ? ?9 时,对于任意的 t ?[1,2],函数 g( x) ? x 3 ? x 2[ m ? f '( x)]在

3

3

2

区间 (t,3) 上总存在极值。

(Ⅲ) f ( x) ? 2ln x ? 2x ? 3 ,令 F ( x) ? h( x) ? f ( x) ? px ? p ? 2e ? 2ln x xx

①当

p?

0

时,由

x ?[1, e]

得到

px ?

p ? 0,? 2e x

? 2ln x ?

0,

所 以 在 [1, e] 上 不 存 在

x0

,使得

h( x0 ) ? f ( x0 ) 成立; ② 当 p ? 0 时 , F '( x) ? px 2 ? 2x ? p ? 2e , 因 为 x ? [1, e] , 所 以 2e ? 2x ? 0, px 2 ? p ? 0 ,
x2 F'( x) ? 0 在[1, e]上恒成立,故 F ( x) 在[1, e]上单调递增。

F ( x)max

?

F(e) ?

pe ?

p e

? 4 ,由题意可知

pe ?

p e

?4?

0 ,解得

p

?

4e ,所以 e2 ?1

p 的取植范围是

(

e

4e 2?

1

,?

?)



21.已知 a ? 0 ,设函数 f (x) ? a ln x ? 2 a ? x ? 2a , g(x) ? 1 (x ? 2 a )2 . 2
(I)求函数 h(x) ? f (x) ? g(x) 的最大值;
(II)若 e 是自然对数的底数,当 a ? e 时,是否存在常数 k 、 b ,使得不等式 f (x) ? kx ? b ? g(x) 对

于任意的正实数 x 都成立?若存在,求出 k 、 b 的值,若不存在,请说明理由.

解:(I)∵ h(x) ? a ln x ? 1 x2 (x ? 0) , 2

∴ h?(x) ? a ? x ? ? (x ? a )(x ? a ) .

x

x

x

(0, a )

h?(x)

+

………………(2 分)

a

( a,??)

0

-

h(x)

?

极大值

∴当 x ? a 时,函数 h(x) 取最大值 a ln a ? a ; 2
(II)当 a ? e 时, h(x) ? f (x) ? g(x) 的最大值是 0,

? ………………(4 分)

即 f (x) ? g(x) ,当且仅当 x ? e 时取等号,

………………(6 分)

8

函数 f (x) 和 g(x) 的图象在 x ? e 处有且仅有一个公共点 ( e, e ) , 2

∵ f ?(x) ? e ? 2 x

e ,函数 f (x) 的图象在 x ?

e 处切线斜率是 k f ? ? e ,

∵ g?(x) ? x ? 2 e ,函数 g(x) 的图象在 x ? e 处切线斜率是 kg ? ? e ,

∴ f (x) 和 g(x) 的图象在 x ? e 处有公共切线方程为 y ? ? ex ? 3e , 2
………………(8 分)

设 F(x) ? f (x) ? (? ex ? 3e) ? e ln x ? ex ? e , F ?(x) ? e ? e ? ? e(x ? e)

2

2

x

x

x

(0, e)

e

( e,??)

F '(x)

+

0

-

F ( x)

?

极大值

?

∴当 x ? e 时,函数 F(x) 取得最大值 0 ,∴ f (x) ? ? ex ? 3e 恒成立; 2
………………(10 分)

∵ g(x) ? (? ex ? 3e) ? 1 x2 ? ex ? e ? 1 (x ? e)2 ? 0 ,

22

22

∴ g(x) ? ? ex ? 3e 在 x?R 时恒成立; 2

∴当 a ? e 时, k ? ? e , b ? 3e . 2

………………(12 分)

新课改高二数学选修 2-2 模块综合测试题参考答案

一 选择题 1 C 2B 3D 4D 5A
二 填空题

6 B 7D 8C

9 D 10 A 11A 12 C

13 1-i 三 解答题

n2 ? n ? 2
14
2

15 -2

16 -1

17(1)

1?8 2 3

(2) 10 3

18

当高 h ?

3 3

l 时,Vmax

?

2 3? 27

l3

19 (1)单调增区间 (0, ??) ,单调减区间 (?1, 0)

9

(2)切线方程为 x ? 4y ? 4ln 2 ? 3 ? 0

(3)所证不等式等价为 ln a ? b ?1 ? 0 ba

而 f (x) ? ln(1? x) ? 1 ?1 , 设 t ? x ?1, 则 F(t) ? ln t ? 1 ?1 , 由 ( 1 ) 结 论 可 得 ,

x ?1

t

F(t)在(0,1)单调递减,在(1, ??)单调递增,由 此 F(t)min ? F(1) ? 0 , 所 以 F(t) ? F(1) ? 0 即

F(t) ? ln t ? 1 ?1 ? 0 ,记 t ? a 代入得证。

t

b

20 (选做题:从两个不等式任选一个证明,当两个同时证明的以第一个为准)

(1)证:左式= ( a1 ? a2 ? an +b1 ? b2 ? bn )( a12 ? a22 ?

an2 )

4

a1 ? b1 a2 ? b2

an ? bn

? ? 1

=
4

(a1 ? b1) ? (a2 ? b2 ) ?

? (an

? bn )

( a12 a1 ? b1

?

a22 a2 ? b2

?

an2 ) an ? bn

1? ? 4 ??? a1 ? b1

a1 ? a1 ? b1

a2 ? b2

a2 ? a2 ? b2

? an ? bn

an an ? bn

?2 ???

=

1 4

(a1

?

a2

?

an )2 ? 1

(2)证:由排序不等式,得:

a12 ? a22 ? ? an2 ? a1a2 ? a2a3 ?

? ana1 , a12 ? a22 ?

? an2 ? a1a3 ? a2a4 ?

? ana2

两式相加: 2(a12 ? a22 ? ? an2 ) ? a1(a2 ? a3 ) ? a2 (a3 ? a4 ) ? an (a1 ? a2 ) ,从而

2(a12 ? a22 ?

?

an2

)(

a2

a1 ?

a3

?

a2 a3 ? a4

?

? an ) ? a1 ? a2

? ? a1(a2 ? a3 ) ? a2 (a3 ? a4 )

? an (a1 ? a2 )

( a1 ? a2 ? a2 ? a3 a3 ? a4

? an ) a1 ? a2

? (a1 ? a2 ? an )2 ,即证。

21

10

11


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