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2017版高考数学一轮复习 第八章 立体几何 第1讲 空间几何体及其表面积与体积练习 理


2017 版高考数学一轮复习 第八章 立体几何 第 1 讲 空间几何体及 其表面积与体积练习 理
基础巩固题组 (建议用时:40 分钟) 一、填空题 1.(2015·无锡模拟 ) 若正三棱锥的底面边长为 2 ,侧棱长为 1 ,则此三棱锥的体积为 ________. 解析 该正三棱锥的底面积为 1 3 3 1 锥的体积为 × × = . 3 2 3 6 答案 1 6 3 3 2 ×( 2) = ,高为 4 2 1-? 3 ? 6?2 ? = 3 ,所以该正三棱 ?3?

2.(2016·宿迁模拟)用半径为 2 cm 的半圆形纸片卷成一个圆锥筒,则这个圆锥筒的高为 ________cm. 解析 用半径为 2 cm 的半圆形纸片卷成一个圆锥筒,该圆锥的母线长为 2,底面圆的周长 为 2π ,所以底面圆的半径为 1,则这个圆锥筒的高为 2 -1 = 3(cm). 答案 3
2 2

3.如图所示,已知三棱柱 ABCA1B1C1 的所有棱长均为 1,且 AA1⊥底面 ABC, 则三棱锥 B1ABC1 的体积为________. 解析 三棱锥 B1-ABC1 的体积等于三棱锥 A-B1BC1 的体积,三棱锥 A-

B1BC1 的高为
答案 3 12

3 1 1 1 3 3 ,底面积为 ,故其体积为 × × = . 2 2 3 2 2 12

4.(2015·盐城模拟)若一个圆锥的侧面展开图是面积为 4π 的半圆面,则该圆锥的体积为 ________. 解析 由圆锥的侧面展开图是面积为 4π 的半圆面,得该半圆的半径是 2 2,即为圆锥的 母线长.半圆周长即为圆锥底面圆的周长,设圆锥底面圆半径为 r,则 2 2π =2π r,解 1 2 6 2 2 2 得 r= 2,所以圆锥的高是 h= (2 2) -r = 6,体积是 V= π r h= π. 3 3 答案 2 6 π 3
1

5.(2015·苏、 锡、 常、 镇四市调研)已知△ABC 为等腰直角三角形, 斜边 BC 上的中线 AD=2, 将△ABC 沿 AD 折成 60°的二面角,连接 BC,则三棱锥 C-ABD 的体积为________. 解析 由题意可得∠CDB=60°,DC=DB,所以△DCB 是边长为 2 的等边三角形,且 AD⊥ 1 1 1 2 3 平面 DCB,所以三棱锥 C-ABD 的体积为 S△BCD·AD= × ×2×2sin 60°×2= . 3 3 2 3 答案 2 3 3

2π 6.(2015·南京模拟)已知圆锥的侧面展开图是一个半径为 3 cm,圆心角为 的扇形,则此 3 圆锥的高为________cm. 2π 2 2 解析 设圆锥的底面半径为 r,则 2π r=3× ,所以 r=1,所以高为 3 -1 =2 2. 3 答案 2 2 7.一个六棱锥的体积为 2 3,其底面是边长为 2 的正六边形,侧棱长都相等,则该六棱锥的 侧面积为________. 解析 设六棱锥的高为 h,斜高为 h0.因为该六棱锥的底面是边长为 2 的正六边形,所以 1 1 底面面积为 × 2 × 2 × sin 60 °× 6 = 6 3 ,则 × 6 3 h = 2 3 ,得 h = 1 ,所以 h0 = 2 3 1 2 2 ( 3) +1 =2,所以该六棱锥的侧面积为 ×2×2×6=12. 2 答案 12 8.(2015·四川卷)在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,∠BAC=90°,其正视图和侧视图都是边长为 1 的正方形,俯视图是直角边的长为 1 的等腰直角三角形,设点 M,N,P 分别是 AB,BC,B1C1 的中点,则三棱锥 P-A1MN 的体积是________. 解析 由题意知还原后的几何体是一个直三棱柱, 三棱柱的底面是直角 边长为 1 的等腰直角三角形,高为 1, ∵VP-A1MN=VA1-PMN, 又∵AA1∥平面 PMN,∴VA1-PMN=VA-PMN, 1 1 1 1 1 ∴VA-PMN= × ×1× × = , 3 2 2 2 24 1 故 VP-A1MN= . 24 答案 1 24

二、解答题 9.(2015·全国Ⅱ卷)如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=16,BC=

2

10,AA1=8,点 E,F 分别在 A1B1,D1C1 上,A1E=D1F=4.过点 E,F 的平面 α 与此长方体的 面相交,交线围成一个正方形. (1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由); (2)求平面 α 把该长方体分成的两部分体积的比值. 解 (1)交线围成的正方形 EHGF 如图:

(2)作 EM⊥AB,垂足为 M,则 AM=A1E=4,EB1=12,EM=AA1=8.因为 EHGF 为正方形,所以 EH =EF=BC=10.于是 MH= EH -EM =6,AH=10,HB=6. 1 故 S 四边形 A1EHA= ×(4+10)×8=56, 2
2 2

S 四边形 EB1BH= ×(12+6)×8=72.
9 7 因为长方体被平面 α 分成两个高为 10 的直棱柱,所以其体积的比值为 ( 也正确). 7 9 10.如图 1,在直角梯形 ABCD 中,∠ADC=90°,CD∥AB,AB=4,AD=CD=2,将△ADC 沿

1 2

AC 折起,使平面 ADC⊥平面 ABC,得到几何体 D-ABC,如图 2 所示.

(1)求证:BC⊥平面 ACD; (2)求几何体 D-ABC 的体积. (1)证明 在题图中,可得 AC=BC=2 2, 从而 AC +BC =AB ,故 AC⊥BC, 又平面 ADC⊥平面 ABC, 平面 ADC∩平面 ABC=AC,
2 2 2

BC? 平面 ABC,∴BC⊥平面 ACD.
1 (2)解 由(1)可知,BC 为三棱锥 B-ACD 的高,BC=2 2,S△ACD=2,∴VB-ACD= S△ACD·BC 3 1 4 2 4 2 = ×2×2 2= ,由等体积性可知,几何体 D-ABC 的体积为 . 3 3 3 能力提升题组 (建议用时:20 分钟)
3

11.(2015·全国Ⅰ卷改编)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著, 书中有如下问题“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺,问:积及 为米几何?”其意思为: “在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆 锥的四分之一),米堆底部的弧长为 8 尺,米堆的高为 5 尺,问米堆 的体积和堆放的米各为多少?”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺, 圆周率约为 3,估算出堆放的米约有________斛(保留整数). π 16 16 解析 设圆锥底面半径为 r,因为米堆底部弧长为 8 尺,所以 r=8,r= ≈ (尺),所 2 π 3 2 1 1 320 ?16? 以米堆的体积为 V= × ×π ×? ? ×5= (立方尺),又 1 斛米的体积约为 1.62 立方 3 4 9 ?3? 320 尺,所以该米堆有 ÷1.62≈22(斛). 9 答案 22 12.(2016·南通调研)如图, 在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中, D 为棱 AA1 的中 点.若 AA1=4,AB=2,则四棱锥 B-ACC1D 的体积为________. 1 解析 因为四棱锥 B-ACC1D 的底面 ACC1D 的面积为 ×(2+4)×2=6, 2 高为 3 1 ×2= 3,所以体积为 ×6× 3=2 3. 2 3

答案 2 3 13.(2015·徐州调研)如图,已知正三棱柱 ABC-A1B1C1 的底面边长为 2 cm, 高为 5 cm,一质点自 A 点出发,沿着三棱柱的侧面绕行两周到达 A1 点的 最短路线的长为________cm. 解析 如图,将三棱柱沿 AA1 剪开,可得一矩形,其长为 6 cm,宽为 5 cm, 其最短路线为两相等线段之和,其长度等于 2

?5? +62=13(cm). ?2? ? ?

2

答案 13 3 14.一个正三棱台的上、下底面边长分别是 3 cm 和 6 cm,高是 cm. 2 (1)求三棱台的斜高; (2)求三棱台的侧面积和表面积.

4



(1) 设 O1、O 分别为正三棱台 ABC-A1B1C1 的上、下底面正三角形

3 的中心,如图所示,则 O1O= ,过 O1 作 O1D1⊥B1C1,OD⊥BC, 2 则 D1D 为三棱台的斜高;过 D1 作 D1E⊥AD 于 E, 3 则 D1E=O1O= , 2 因 O1D1= 3 3 3 ×3= ,OD= ×6= 3, 6 2 6 3 3 = . 2 2

则 DE=OD-O1D1= 3- 在 Rt△D1DE 中,

D1D= D1E2+ED2=

2 2 ?3? +? 3? = 3(cm). ?2? ? ? ? ? ?2?

故三棱台的斜高为 3 cm. (2)设 c,c′分别为上、下底的周长,h′为斜高,

S 侧= (c+c′)h′= (3×3+3×6)× 3= S 表=S 侧+S 上+S 下=

1 2

1 2

27 3 2 (cm ), 2

27 3 3 3 2 99 3 2 2 + ×3 + ×6 = (cm ). 2 4 4 4

27 3 2 故三棱台的侧面积为 cm , 2 99 3 2 表面积为 cm . 4

5


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