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贵州省云峰中学届高三下学期3月月考(数学)

贵州省云峰中学 2010 届高三下学期 3 月月考 数 学
2010-3 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分. 共 150 分,测试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)

一、选择题(本大题共 12 个小题. 每小题 5 分;共 60 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的.) 1.设数列{ an }是等差数列,且 a2 ? ?8, a15 ? 5, Sn 是数列{ an }的前 n 项和,则( A. S9 ? S10 B. S9 ? S10 C. S11 ? S10 D. S11 ? S10 ) )

2.已知条件 p :| x ? 1|? 2, 条件q : x ? a, 且 ?p是?q 的充分不必要条件,则 a 的取围是( A. a ? 1 B. a ? 1 C. a ? ? 3 D. a ? ?3 ( )

3.若函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ) 的部分图象如图所示,则 ? 和 ? 的取值是

A. ? ? 1, ? ? C. ? ?

?
3

B. ? ? 1, ? ? ? D. ? ?

?
3

1 ? ,? ? 2 6

1 ? ,? ? ? 2 6


? x ? 4 y ? ?3 ???? ? ???? ? 4.0 为坐标原点,M(2,1) ,点 N ( x, y )满足 ?3 x ? 5 y ? 25 则 OM ? ON 的最大值为( ?x ? 1 ?
A.12 B.1 C.

5 2

D.2

5.设有直线 m、n 和平面 ? 、 ? 。下列四个命题中,正确的是 ( A.若 m∥ ? ,n∥ ? ,则 m∥n B.若 m ? ? ,n ? ? ,m∥ ? ,n∥ ? ,则 ? ∥ ? C.若 ? ? ? ,m ? ? ,则 m ? ? D.若 ? ? ? ,m ? ? ,m ? ? ,则 m∥ ?



? x ? 1, ? 6.已知变量 x、y 满足条件 ? x ? y ? 0, 则 x+y 的最大值是 ( ? x ? 2 y ? 9 ? 0, ?
A.2 B.5 C.6 D.8



7.用与球心距离为 1 的平面去截球,所得的截面面积为π ,则球的休积为 ( A.



8? 3

B.

8 2? 3

C. 8 2?

D.

32? 3

8.已知 i 与 j 为互相垂直的单位向量, a ? i ? 2 j , b ? i ? ? j 且 a 与 b 的夹角为锐角,则实数 ? 的取值 范围是 ( ) B. ( , ??) D. ( ??, )

?

?

? ?

?

? ?

?

?

?

A. (??, ?2) ? (?2, ) C. (?2, ) ? ( , ??) 9.已知函数 y ? sin

1 2

1 2

2 3

2 3

1 2

x ,如果存在实数 x1 , x2 ,使得对任意的实数 x ,都有 f ( x1 ) ? f ( x) ? f ( x2 ) ,则 4
) C.

| x1 ? x2 | 的最小值是(
A. 8? B. 4?

2?

D.

?

10.下列图像中有一个是函数 f ( x) ?

1 3 x ? ax 2 ? (a 2 ? 1) x ? 1 (a ? R, a ? 0) 的导数 f ?( x) 的图像,则 3

f (?1) ? (



A.

1 3

B. ?

1 3


C.

7 3

D. ?

1 5 或 3 3

11.下列命题错误的是(

A. ?? , ? ? R , cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ? B. ?x, k ? R , sin(x ? k ? 2? ) ? sin x C. ?x ? ?0,

? ? ?? ? , sin( x ? ) ? sin x 3 ? 2?
?

D. ?x ? R , ?k ? R , sin x ? kx 12. P 是椭圆 数为( A. 2

x2 ? y 2 ? 1 上的一点, F 为一个焦点,且 ?POF 为等腰三角形( O 为原点),则点 P 的个 4
) B. 4 C. 6 D. 8

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 2 4 分,共 16 分,把答案填在答题卡的相应位置.) 0 2 13. 在某项测量中, 测量结果 ? 服从正态分布 N (1, ? ) . 若 ? 在 (0,1) 内取值的概率为 0.4, 则 ? 在 (0,2) 内 0 8 取值的概率为 . 0 4 ? x ? 1, x ? 2 14.若 f ( x) ? ? , g ( x) ? x 2 ? x( x ? R) ,则方程 f [ g ( x)] ? x 的解为 . 2 1 , x ? 2 ? 8 15.对有 n(n≥4)个元素的总体{1,2,3,…,n}进行抽样,先将总体分成两个子总体 {1,2,…,m}和{m+1、m+2,…,n}(m 是给定的正整数,且 2≤m≤n-2),再从每个子总体中各随机 抽取 2 个元素组成样本,用 Pij 表示元素 i 和 f 同时出现在样本中的概率,则 P1m= ;所有 Pif(1≤

i<j≤ n ? 的和等于
16.观察下列等式:

.

?i ? 2 n
i ?1 n

n

1

2

1 ? n, 2

1 1 1 ? n 2 ? n 2 ? n, 3 2 6 i ?1 1 1 1 n 3 i ? n2 ? n2 ? n2 , ? 4 2 4

?i
i ?1

2

?i
i ?1

n

4

1 1 1 1 ? n4 ? n4 ? n3 ? n, 5 2 3 30

2 an ? n ? 4, bn ? (?1) n (an ? 3n ? 21), 3
……………………………………

?i
i ?1

n

k

? ak ?1nk ? 2 ? ak n k ? ak ?1nk ?1 ? ak ?2 n k ?2 ? ??? ? a1n ? a0 ,
1 1 , ak ? , ak ?1 ? k ?1 2

可以推测,当 x≥2(k∈N*)时, ak ?1 ?

ak-2=

.

三、解答题(本大题共 6 个小题,共 74 分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 17. (本小题满分 12 分) 已知△ABC 的面积 S 满足 3 ? S ? 3 3, 且AB ? BC ? 6, AB与BC的夹角为? (1)求 ? 的取值范围; (2)求函数 f (? ) ? sin
2

?? ? ??? ?

??? ? ??? ?

? ? 2sin ? ? cos? ? 3cos2 ? 的最大值

18. (本小题满分 12 分)甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试,面试合格者可正式签约,甲表示只 要面试合格就签约.乙、丙则约定:两人面试都合格就一同签约,否则两人都不签约.设每人面试合格 的概率都是

1 ,且面试是否合格互不影响.求: 2

(Ⅰ)至少有 1 人面试合格的概率; (Ⅱ)签约人数 的分布列和数学期望.

19. (本小题满分 12 分)多面体 ABCDE 中, AB ? BC ? AC ? AE ? 1 , CD ? 2 , AE ? 面ABC ,

AE // CD 。
(1)求证: AE // 面BCD ; (2)求证: 面BED ? 面BCD 。

20. (本小题满分 12 分)各项均为正数的数列 ?an ? 中,a1 ? 1, S n 是数列 ?an ? 的前 n 项和,对任意 n ? N ,
?



2S n ? 2 pan ? pan ? p( p ? R)
(1)求常数 p 的值; (2)求数列 ?an ? 的通项公式; (3)记 bn ?

2

4S n ? 2 n ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 T 。 n?3

21. (本小题满分 12 分)已知椭圆 x ?
2

y2 ? 1?b ? ?0,1?? 的左焦点为 F ,左右顶点分别为 A、C ,上顶点 b2

为 B ,过 F , B, C 三点作圆 P ,其中圆心 P 的坐标为 ?m, n? (1)当 m ? n > 0 时,椭圆的离心率的取值范围 (2)直线 AB 能否和圆 P 相切?证明你的结论

22. (本小题满分 14 分) 已知抛物线 C :y 2 ? 4 x 的准线与 x 轴交于 M 点, 过 M 点斜率为 k 的直线 l 与抛物线 C 交于 A 、

B 两点( A 在 M 、 B 之间).
(1) F 为抛物线 C 的焦点,若 | AM |?

5 | AF | ,求 k 的值; 4

(2)如果抛物线 C 上总存在点 Q ,使得 QA ? QB ,试求 k 的取值范围.

贵州省云峰中学 2010 届高三下学期 3 月月考 数学参考答案
一、选择题 1-5 BACAD 6-10CBA BB 11-12 BD

二、填空题

2 0 k 4 13 . 0.8 ; 14. 1 , 2 ? 1 ; 15. ,6 ; 16. ,0 12 m(n ? m) 0 8 三、解答题 0 ??? ? ??? ? ??? ? ???? ? 17. (1)由题意知 AB ? BC ?| AB | ? | BC |cos? ? 6 . 4 ? ??? ? ? ??? ? 1 ???? 1 ??? 12 6 S ? | AB | | BC | sin(? ? ? ) ? | AB | ? | BC | sin ? ? 8 ? ? 3 tan ? ;

2

2

2 cos ?

?3 ? S ? 3 3,即3 ? 3tan? ? 3 3 ,
?1 ? tan ? ? 3, 又 ?? ? [0, ? ]?? ? [ ? ] 4 3
(2)

? ?

f (? ) ? sin 2 ? ? 2sin ? cos? ? 3cos2 ? ? 1 ? sin 2? ?2cos2 ? ? 2 ? sin 2? ? cos 2?
? 2 ? 2 sin(2? ? ) 4

?

? ? ? 3? 11? ?? ? [ , ],? 2? ? ? [ ? ] 4 3 4 4 12
?当2? ?
18.

?
4

?

3? ? ,即? ? 时,f (? )最大,其最大值为3 4 4

用 A,B,C 分别表示事件甲、乙、丙面试合格.由题意知 A,B,C 相互独立,且 P(A)=P(B)

=P(C)= 19.

1 . 2

(Ⅰ)至少有 1 人面试合格的概率是

1 7 1 ? P( ABC ) ? 1 ? P( A) P( B) P(C ) ? 1 ? ( ) 3 ? . 2 8
(Ⅱ) ? 的可能取值为 0,1,2,3.

P(? ? 0) ? P( ABC) ? P( ABC) ? P( ABC)
= P( A) P( B) P(C) ? P( A) P( B) P(C) ? P( A) P( B) P(C)

=( ) ?( ) ? ( ) ?
3 2 3

1 2

1 2

1 2

3 . 8

P(? ? 1) ? P( ABC) ? P( ABC) ? P( ABC)
= P( A) P( B) P(C) ? P( A) P( B) P(C) ? P( A) P( B) P(C) =( ) ?( ) ?( ) ?
3 3 3

1 2

1 2

1 2

3 . 8

1 P(? ? 2) ? P( ABC ) ? P( A) P( B) P(C ) ? . 8 1 P(? ? 3) ? P( ABC ) ? P( A) P( B) P(C ) ? . 8
所以, ? 的分布列是

?
P

0

1

2

3

3 8

3 8

1 8

1 8

3 3 1 1 ? 的期望 E? ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 1. 8 8 8 8
19. (1)∵ AE // CD

AE ? 面BCD
∴ AE // 面BCD (2)令 BC 中点为 N , BD 中点 为 M ,连结 MN 、 EN ∵ MN 是 ?BCD 的中位线 ∴ MN // CD 又∵ AE // CD ∴ AE // MN ∴ MN ? 面ABC ∴ MN ? AN ∵ ?ABC 为正 ? ∴ AN ? BC ∴ AN ? 面BCD 又∵ AE ? MN ? 1 , AE // MN

∴四边形 ANME 为平行四边形 ∴ EN ? 面BCD ∴ 面BED ? 面BCD 20. (1)由 a1 ? 1 及 2S n ? 2 pan ? pan ? p(n ? N ? ) ,得:
2

2 ? 2p ? p ? p
2

? p ?1
① ②
2 2

(2)由 2S n ? 2an ? an ? 1 得 2S n?1 ? 2an?1 ? an?1 ? 1 由②—①,得
2

2an?1 ? 2(an?1 ? an ) ? (an?1 ? an )

即: 2(an?1 ? an )(an?1 ? an ) ? (an?1 ? an ) ? 0

? (an?1 ? an )(2an?1 ? 2an ? 1) ? 0
由于数列 ?an ? 各项均为正数,

? 2an?1 ? 2an ? 1



a n ?1 ? a n ?

1 2

1 ? 数列 ?an ? 是首项为 1 ,公差为 的等差数列, 2 1 n ?1 ? 数列 ?an ? 的通项公式是 a n ? 1 ? (n ? 1) ? ? 2 2 n ?1 n(n ? 3) (3)由 a n ? ,得: S n ? 2 4

? bn ?

4S n ? 2n ? n ? 2n n?3

?Tn ? 1? 2 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? ?? ? n ? 2n 2 ? Tn ? 2 ? 22 ? 23 ? ?? ? (n ? 1) ? 2n ? n ? 2n?1
? Tn ? 2 ? 2 2 ? 2 3 ? ?? ? 2 n ? n ? 2 n ?1 ? 2(1 ? 2 n ) ? n ? 2 n?1 ? ?(n ? 1) ? 2 n?1 ? 2 1? 2

Tn ? (n ? 1) ? 2n?1 ? 2
21. (1)由题意 FC, BC 的中垂线方程分别为 x ?

1? c b 1? 1? , y ? ? ?x ? ?, 2 2 b? 2?

于是圆心坐标为 ? ?

?1? c b2 ? c ? ? , 2b ? ? 2 ?

m? n =
2

1 ? c b 2 ? c > 0 ,即 ? 2 2b
2

b ? bc ? b 2 ? c > 0 即 ?1 ? b??b ? c ?> 0 所以 b > c ,
2

于是 b > c

即 a > 2c

2

2

,所以 e <

1 2

即 0 <e<

2 2

(2)假设相切, 则 k AB ? k PB ? ?1 ,

? kPB

b2 ? c 2 2 2b ? b ? c , k ? b ? b,? k ? k ? b ? c ? ?1 , ? AB PB AB 1? c b(c ? 1) a c ?1 0? 2 b?

?1 ? c2 ? c ? 1 ? c,即c2 ? 2c,? c ? 0,? c ? 2 这与 0 < c <1 矛盾.
故直线 AB 不能与圆 P 相切. 22.(1)法一:由已知 M (?1,0) 设 A( x1 , y1 ) ,则 | AM |? 1 ? k 2 | x1 ? 1 | ,

| AF |? ( x1 ? 1) 2 ? y1 ? ( x1 ? 1) 2 ? 4 x1 ?| x1 ? 1 | ,
由 4 | AM |? 5 | AF | 得, 4 1 ? k 2 ? 5 , 解得 k ? ?

2

3 4

法二:记 A 点到准线距离为 d ,直线 l 的倾斜角为 ? , 由抛物线的定义知 | AM |? ∴ cos? ? ?

5 d, 4

d 4 ?? , | AM | 5
3 4

∴ k ? tan ? ? ?

(2)设 Q( x0 , y0 ) , A( x1 , y1 ) , B( x2 , y 2 ) 由?

? y 2 ? 4x 2 得 ky ? 4 y ? 4k ? 0 , ? y ? k ( x ? 1) ?k ? 0
2 ?16 ? 16k ? 0

首先由 ?

得 ?1 ? k ? 1且 k ? 0

k QA ?

y 0 ? y1 y 0 ? y1 4 4 ,同理 k QB ? ? 2 ? 2 x0 ? x1 y 0 ? y1 y0 ? y2 y0 y ? 1 4 4

由 QA ? QB 得
2

4 4 ? ? ?1 , y 0 ? y1 y0 ? y 2

即: y0 ? y0 ( y1 ? y2 ) ? y1 y2 ? ?16 , ∴ y0 ?
2

4 y 0 ? 20 ? 0 , k

4 5 5 ? ? ( ) 2 ? 80 ? 0 ,得 ? 且k ? 0, ?k? k 5 5
由 ? 1 ? k ? 1 且 k ? 0 得,

? 5 ? ? 5? ? 0, k 的取值范围为 ?? ,0 ? ? ? ? ? ? 5 ? ? 5 ?


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