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平面向量的数量积基础+复习+习题+练习)


课题:平面向量的数量积
考纲要求:
①理解平面向量数量积的含义及其物理意义. ②了解平面向量的数量积与向量投影的关系. ③掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算. ④能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.

教材复习 1. 平 面 向 量 数 量 积 的 概 念 ; 以 知 两 个 非 零 向 量 a 与 b , 它 们 的 夹 角 是 ? , 则 有 ,其中夹角 ? 的取值范围是 向量的数量积的结果是一个 . a ?b ? 2. 设 a 与 b 都是非零向量, e 是单位向量. ① e ? a ? a ? e ? a cos a, e ; ② a ? b ? a ?b ? ③当 a 与 b 同向时, a ? b ? ;当 a 与 b 反向时, a ? b ? 特别地, a ? a ? 或a ? ④ cos a, b ? a ? b (用不等号填空). ⑤ a ?b 基本知识方法 1. 注意向量夹角的概念和两向量夹角的范围; 2. 垂直的充要条件的应用; 3. 当角为锐角或钝角,求参数的范围时注意转化的等价性; 4. 距离,角和垂直可以转化到向量的数量积问题来解决. 教学重点:平面向量数量积及其应用.

典例分析:
考点一 平面向量数量积的概念及运算

问题 1. ?1? 有下列命题:① 0 ? a ? 0 ;② 0 ? a ? 0 ;③若 a ? 0, a ? b ? a ? c ,
则 b ? c ;④若 a ? b ? a ? c ,则 b ? c 当且仅当 a ? 0 时成立;⑤ | a ? b |?| a | ? | b | ⑥ (a ? b ) ? c ? a ? (b ? c) 对任意 a, b , c 向量都成立;⑦对任意向量 a ,有 a ? a 其中正确命题的序号是
2 2
新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

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? 2 ? ( 07 福建)对于向量 a, b, c 和实数 ? ,下列命题中真命题是
A. 若 a ? b ? 0 ,则 a ? 0 或 b ? 0 C. 若 a ? b ,则 a ? b 或 a ? ?b
2 2

B. 若 ? a ? 0 ,则 ? ? 0 或 a ? 0 D. 若 a ? b ? a ? c ,则 b ? c

不会学会,会的做对.

259

细节决定成败,规范赢得分数!

? 3? ( 2012 湖南文)如图,在平行四边形 ABCD 中,
AP ? BD ,垂足为 P ,且 AP ? 3 ,则 AP ? AC ? B

A P

D

C

考点二

向量的夹角与垂直

问题 2. ?1? 已知 △ ABC 中, | BC |? 6,| CA |? 9, ?C ? 45? ,则 BC ? CA ?

? 2 ? ( 2012 湖南)在 △ ABC 中, AB ? 2 , AC ? 3 , AB ? BC ? 1 则 BC ?
A.

3

B.

7

C. 2 2

D. 23

? 3? 已知 a, b 是两个非零向量,且 a ? b ? a ? b ,求 a 与 a ? b 的夹角

不会学会,会的做对.

260

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考点三 向量的长度

问题 3. ?1? ( 06 福建文)已知向量 a 与 b 的夹角为120? , a
则 b ? A. 5

? 3 , a ? b ? 13 ,
D. 1

B. 4

C. 3

,若角 A ? ? 2 ? 已知点 G 是 △ ABC 的重 心, AG ? ? AB ? ? AC ( ? , ? ? R )

2? , 3

AB ? AC ? ?2 ,则 AG 的最小值是

A.

3 3

B.

2 2

C.

2 3

D.

3 4

? 3? ( 2013 湖南)已知 a, b 是单位向量, a ? b ? 0 .若向量 c 满足 c ? a ? b ? 1 ,则
? ? , 2+1? D. ?1, ? c 的取值范围是 A. ? 2-1, , 2+1? , 2+2? ? ? B. ? 2-1, ? C. ?1, ? ? , 2+2 ?

不会学会,会的做对.

261

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考点四

向量的综合问题
? b ? c ? 1 ,它们之间的夹

问题 4.?1? ( 06 苏锡常镇模拟)已知平面上三个向量 a

角均为 120? . ?1? 求证: a ? b ? c ; ? 2 ? 若 ka ? b ? c ? 1 ? k ? R? ,求 k 的取值范围.

?

?

? 2 ? 已知 a ? 4 , b ? 3 , ? 2a ? 3b ? ? 2a ? b ? ? 61 . ?1? 求 a 与 b 的夹角 ? ; ? 2 ? 求 a ? b ; ? 3? 若 AB ? a , AC ? b ,求 △ ABC 的面积.

不会学会,会的做对.

262

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课后作业:
1. ( 09 全国)设非零向量 a 、 b 、 c 满足 a ? b ? c , a ? b ? c ,则 a, b ? A. 150? B. 120? C. 60 ? D. 30 ?

2. 已知 a ? b ? 2 , a 与 b 的夹角为 60 ? ,则 a ? b 在 a 上的投影为

3. 向量 a, b 都是非零向量,且 (a ? 3b) ? (7a ? 5b),(a ? 4b) ? (7a ? 2b) ,求 a 与 b 的夹角.

4. 已知两单位向量 a 与 b 的夹角为 120? ,若 c ? 2a ? b , d ? 3b ? a ,试求 c 与 d 的夹角.

? ? 5. 已知向量 a 和 b 的夹角是 120? ,且 a ? 2 , b ? 5 ,则 (2a ? b ) ? a ?

6. 设向量 a, b 满足 a ? b ? 1 , 3a ? 2b ? 3 ,则 | 3a ? b |?

7. 已知向量 a, b 的方向相同,且 a ? 3 , b ? 7 ,则 | 2a ? b |?

不会学会,会的做对.

263

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8. 在 △ ABC 中, △ ABC 的面积是 AB ? AC ? 0 ,

A.

? 6

B.

2? 3

C.

3? 4

15 , 若 | AB 则 ?BAC ? |3 ? , | AC |? 5 , 4 5? D. 6

9. ( 2012 洛阳统考)已知点 P 为锐角 △ ABC 的 AB 边上一点, A ?
则 PA ? 3PC 的最小值是 A. 4 3 B. 4 7 C. 6 D. 6 3

?
3

, AC ? 4 ,

10. 设 O, A, B, C 为平面上四个点, OA ? a , OB ? b , OC ? c ,且 a ? b ? c ? 0 ,

a ? b ? b ? c ? c ? a ? ?1 ,则 | a | ? | b | ? | c | =

? ? ? ? ? ? ? ? 11. 设两个向量 e1 、e2 ,满足 | e1 |? 2 ,| e2 |? 1 ,e1 、e2 的夹角为 60 ? ,若向量 2te1 ? 7e2 ? ? 与向量 e1 ? te2 的夹角为钝角,求实数 t 的取值范围.

12. ( 07 届高三湖北八校联考)在 △ ABC 中, AB ? AC ? 1, AB ? BC ? ?3.

?1? 求 AB 边的长度; ? 2 ? 求

sin ? A ? B ? 的值 sin C

不会学会,会的做对.

264

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走向高考:
13. ( 04 上海春)在 △ ABC 中,有命题:① AB ? AC ? BC ;② AB ? BC ? CA ? 0 ; ③若 ( AB ? AC) ? ( AB ? AC) ? 0 ,则 △ ABC 为等腰三角形;④若 AC ? AB ? 0 , 则 △ ABC 为锐角三角形.上述命题正确的是 A. ①② B. ①④ C. ②③ D. ②③④

? AB AC ? ? ? ? BC ? 0 且 AB ? AC ? 1 , 14. ( 06 陕西)已知非零向量 AB 与 AC 满足 ? ? AB AC ? AB AC 2 ? ?
则 △ ABC 为 A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 等腰非等边三角形 D. 三边均不相等的三角形

15. ( 07 上海文)若向量 a, b 的夹角为 60 ? , a ? b ? 1 ,则 a ? a ? b ? 16. ( 2012 新课标)已知向量 a, b 夹角为 45 ? ,且 a ? 1, 2a ? b ? 10 ;则 b ?
17. ( 05 全国Ⅰ文)点 O 是 △ ABC 所在平面内的一点,满足

?

?

OA ? OB ? OB ? OC ? OC ? OA ,则点 O 是 △ ABC 的
A. 三个内角的角平分线的交点 B. 三条边的垂直平分线的交点 C. 三条中线的交点 D. 三条高的交点 18. ( 07 天津)如图,在 △ ABC 中, ?BAC ? 120? , AB ? 2 , AC ? 1 , D 是边 BC 上一点, DC ? 2 BD ,则 AD ? BC ?
B D

A

C

19. ( 04 浙江)已知平面上三点 A, B, C 满足 AB ? 3, BC ? 4, CA ? 5 ,
则 AB ? BC ? BC ? CA ? CA ? AB 的值等于

不会学会,会的做对.

265

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20. ( 2010 辽宁文)平面上 O, A, B 三点不共线,设 OA ? a , OB ? b ,则 △OAB

的面积等于

A.
C.

a b ? (a ? b) 2

2

2

B.
D.

a b ? (a ? b) 2

2

2

1 2

a b ? ( a ? b) 2

2

2

1 2

a b ? ( a ? b) 2

2

2

21. ( 2012 天津)已知 △ ABC 为等边三角形, AB ? 2 ,设点 P, Q 满足 AP=? AB ,

3 AQ=(1 ? ? ) AC , ? ? R ,若 BQ ? CP = ? ,则 ? = 2
A.

1 2

B.

1? 2 2

C.

1 ? 10 2

D.

?3 ? 2 2 2

22. ( 2012 江苏)如图,在矩形 ABCD 中, AB ? 2 , BC ? 2 ,点 E 为 BC 的中点,点 F 在边 CD 上, 若 AB ? AF ? 2 ,则 AE ? BF ?

23. ( 06 湖北文)已知非零向量 a, b ,若 a ? 2b 与 a ? 2b 互相垂直,则 A.

a b

?

1 4

B. 4

C.

1 2

D. 2

24. ( 06 浙江)设向量 a, b, c 满足 a ? b ? c ? 0 , a ? b ? c , a ? b ,若 a ? 1 ,
则 a ? b ? c 的值是
2 2 2

?

?

25. ( 06 全国Ⅰ文)已知向量 a, b 满足 a ? 1 , b ? 4 ,且 a ? b ? 2 ,则 a 与 b 的夹角为

A.

? 6

B.

? 4

C.

? 3

D.

? 2

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