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2013年东城区高三二模数学理科试题


东城区二模数学 (理科)

2013.05

本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,第Ⅰ卷 1 至 2 页,第Ⅱ卷 3 至 5 页,共 150 分.考试 时长 120 分钟.考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效.考试结束后,将本试卷 和答题卡一并交回.

第Ⅰ卷(选择题 共 40 分) 一、本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目 要求的一项.
1、 已知集合 A 是( A. ? C. ? x | ? 2
? x ? 2 ,x ? R ?
?

? x | x ? x ? 1? ?

0 ,x ? R ?

,B

?

?x | ?2

? x ? 2 ,x ? R ?

,那么集合 A ?

B

) B. ? x | 0
? x ? 1 ,x ? R ? ? x ? 1 ,x ? R ?

D. ? x | ? 2

2、 如图是某班 50 位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图, 其 中 成 绩 分 组 区 间 是 : ? 4 0 ,5 0 ? , ? 5 0 , 6 0 ? , ? 6 0 , 7 0 ? ,
0.054

频率 组距

? 7 0 , 8 0 ? , ? 8 0 , 9 0 ? , ? 9 0 ,1 0 0 ? ,则图中 x 的值等于(
A. 0 .7 5 4 C. 0 .0 1 8 3、 已知圆的极坐标方程是 ? 是( A. ? x C. ? x )
? 1? ? y
2 2


x 0.01 0.006 0

?

B. 0 .0 4 8 ? D. 0 .0 1 2 2 c o s ? ,那么该圆的直角坐标方程

成绩 40 50 60 70 80 90 100

?1

B. x 2 D. x 2

?

?y
2

? 1?

2

?1

? 1? ? y
2

2

?1

? y

? 2

新课 标第 一 网

4、 已知一个三棱锥的三视图如图所示, 其中三个视图都是直角三角形, 正(主)视图 侧(左)视图 则在该三棱锥的四个面中,直角三角形的个数为( ) A.1 俯视图 B.2 开始 C.3 D.4 输入x 5、 阅读程序框图,运行相应的程序,当输入 x 的值为 ? 2 5 时,输出 x 的值为 否 ( ) x >1 A. 1 是 x= x 1 B. 2 C. 3 D. 4 6、
3 ? π ? 已知 s in ? ? x ? ? 5 ? 4 ?

x =3x +1 输出 x

,那么 sin 2 x 的值为(
7 25

) D.
18
http://www .xkb1 .com

A.

3 25

B.
? 4x

C.

9 25

结束

25
AB ? 10

7、 过抛物线 y 2

焦点的直线交抛物线于 A , B 两点,若

,则 A B 的中点

到 y 轴的距离等于( A. 1 8、 已知函数 y (其中
? f

) C. 3 D. 4
,0 ?

B. 2

且当 x ? ? ? ? ? x ? 是定义在 R 上的奇函数,
f

时, f ? x ? ?

xf ? ? x ? ? 0

f ?? x ?



,若 a ? x ? 的导函数)

? ?3

0 .3

? ? f ? 3 ? , b ? ? lo g 3 ? ? f ? lo g 3 ? ,
0 .3
? ?

1? 1? ? ? c ? ? lo g 3 ? ? f ? lo g 3 ? 9? 9? ? ?

,则 a , b , c 的大小关系是(
?b ? a

) D. a
? c ?b

A.

a ?b ? c

B. c

C.

c ? a ?b

第Ⅱ卷(共 110 分)
二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9、 已知向量 a 10、 若复数
a ? i 1? i
? ?

? 2 ,? 3 ? , b

?

? ?1 , ?

? ,若 a ∥

?

? b

,则 ?

?

________.

是纯虚数,则实数 a 的值为________.
? 2

11、 各项均为正数的等比数列 ? a n ? 的前 n 项和为 S n ,若 a 3 ________, S 4 的值为________.

,S4

? 5S2

,则 a 1 的值为

12、 如图, A B 为⊙ O 的直径, A C 切⊙ O 于点 A ,且过点 C 的割线
CMN

交 A B 的延长线于点 D ,若 C M

? MN ? ND

, AC

? 2

2


B D N

A O

则 C M ? ________, A D ? ________. 13、 5 名志愿者到 3 个不同的地方参加义务植树,则每个地方至少有 一名志愿者的方案共有________种. 14、 在数列 ? a n ? 中,若对任意的 n ? N * ,都有
an?2 a n ?1 ? a n ?1 an ? t(t

M

C

为常数) ,则称数列 ? a n ?

为比等差数列, t 称为比公差.现给出以下命题: ①等比数列一定是比等差数列,等差数列不一定是比等差数列;新 ②若数列 ? a n ? 满足 a n ③若数列 ? c n ? 满足 c 1
? 2
n ?1 2

课 标



一 网

n

,则数列 ? a n ? 是比等差数列,且比公差 t

?

1 2



? 1 ,c 2 ? 1 ,c n ? c n ? 1 ? c n ? 2 ( n ≥ 3

) ,则该数列不是比等差数

列; ④若 ? a n ? 是等差数列, ? b n ? 是等比数列,则数列 ? a n b n ? 是比等差数列. 其中所有真命题的序号是________. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15、 (本小题共 13 分) 已知函数 f ? x ? ?
s in x

?

3 c o s x ? s in x

?.

⑴ 求 f ? x ? 的最小正周期; ⑵ 当x? ?0,
? ? 2π ? ? 3 ?

时,求 f ? x ? 的取值范围.

16、 (本小题共 13 分) 某校高三年级同学进行体育测试,测试成绩分为优秀、良好、合格三个等级.测试 结果如下表: (单位:人) 优秀 男 女
180 120

良好
70
a

合格
20 30

按优秀、良好、合格三个等级分层,从中抽取 5 0 人,其中成绩为优的有 3 0 人. ⑴ 求 a 的值; ⑵ 若用分层抽样的方法,在合格的同学中按男女抽取一个容量为 5 的样本,从中 任选 2 人,记 X 为抽取女生的人数,求 X 的分布列及数学期望.k B 1 . c o m

17、 (本小题共 14 分) 如图, △ B C D 是等边三角形, A B ? A D , ? B A D ? 9 0 ? ,将 △ B C D 沿 B D 折叠到 △ B C ?D 的位置,使得 A D ? C ?B . ⑴ 求证: A D ? A C ? ; ⑵ 若 M , N 分别是 B D , C ?B 的中点,求二面角 N ? A M ? B 的余弦值.
A
C

B

D
N A D M

C

B

18、 (本小题共 14 分) 已知函数 f ? x ? ?
ln x ? a x

(a

? 0

) .

⑴ 求 f ? x ? 的单调区间; ⑵ 如果 P ? x 0 斜率 k ≤
, y0

? 是曲线 y

? f

若以 P ? x 0 ? x ? 上的任意一点,

, y0

? 为切点的切线的

1 2

恒成立,求实数 a 的最小值;

⑶ 讨论关于 x 的方程 f ? x ? ?

x ? 2 ?bx ? a ?
3

?

1 2

的实根情况.

2x

19、 (本小题共 13 分)新|课 已知椭圆 C :
B ? 0 ,? b ?

|标| 第 |一| 网

x a

2 2

?

y b

2 2

?1

(a
4 5

? b ? 0
5

)的离心率 e

?

3 2

,原点到过点 A ? a , 0 ? ,

的直线的距离是



⑴ 求椭圆 C 的方程; ⑵ 若椭圆 C 上一动点 P ? x 0 的取值范围. ⑶ 如果直线 y ? k x
, y0

? 关于直线 y

? 2x

的对称点为 P1 ? x1 , y 1 ? , x 12 求

? y1

2

? 1( k ? 0

)交椭圆 C 于不同的两点 E ,F ,且 E ,F 都在以 B

为圆心的圆上,求 k 的值.

20、 (本小题共 13 分) 已知数列 ? a n ? , a 1 ⑴求 a 4 , a 7 ; ⑵是否存在正整数 T ,使得对任意的 n ? N * ,有 a n ? T ⑶设 S
? a1 10 ? a2 10
2

? 1 , a2n ? an

, a 4 n ?1

? 0

, a 4 n ?1

? 1(n ? N

*

) .

? an



?

a3 10
3

?? ?

an 10
n

??

,问 S 是否为有理数,说明理由.

数学参考答案及评分标准
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) (1)B (2)C (3)A (4)D (5)D (6)B (7)D (8)C 新-课 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) (9) ?
3 2
-标-第-一- 网

(10) 1
2 7

(11)

1 2

15 2

(12) 2

(13) 1 5 0

(14)①③

注:两个空的填空题第一个空填对得 3 分,第二个空填对得 2 分. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分) (15) (共 13 分) 解: (Ⅰ)因为
?
f ( x ) ? s in x ( 3 c o s x ? s in x )

3 s in x c o s x ? s in

2

x

=
=

1 2 1 2

(2

3 s in x c o s x ? 2 s in x )
2

( 3 s in 2 x ? c o s 2 x ) ? ? 6 1 2 ?

1 2

? s in ( 2 x ?

)?


2? ? ? ?

所以

f (x)

的最小正周期 T
2? 3



(Ⅱ) 因为 0 所以 所以
? 6

? x ?


? 3? 2 3 1 , ]. 2 2

? 2x ?

? 6



X|k | B| 1 . c |O |m ………………………………13 分

f (x)

的取值范围是 ( ?

(16) (共 13 分) 解: (Ⅰ)设该年级共 n 人,由题意得
50 n ? 30 180 ? 120

,所以 n

? 500



则a

? 5 0 0 ? (1 8 0 ? 1 2 0 ? 7 0 ? 2 0 ? 3 0 ) ? 8 0



(Ⅱ)依题意, X 所有取值为 0 ,1, 2 .
P ( X ? 0) ? C2 C5
2 2

?

1 10



P ( X ? 1) ?

C 2C 3 C5
2

1

1

?

3 5



P ( X ? 2) ?

C3 C5

2 2

?

3 10



X

的分布列为:
X P
0
1 10

1
3 5

2
3 10

EX ? 0 ?

1 1 0

? 1?

3

? 5

2 ?

? 1 0

3

6


5

………………………………………13 分

(17) (共 14 分) (Ⅰ)证明:因为 ? B A D ? 9 0 ? w 所以 A D ? A B , 又因为 C ' B
? AD
W w .X k b 1.c O m

,且 A B
'

? C B ? B
'


z C

所以 A D ? 平面 C A B , 因为 A C ' ? 平面 C ' A B , 所以 A D ? A C ' . (Ⅱ)因为△ B C D 是等边三角形,
AB ? AD

, ?BAD

? 90

?


2

N

不防设 A B

? 1 ,则 B C ? C D ? B D ?
'



A D M B x y

又因为 M , N 分别为 B D , C B 的中点, 由此以 A 为原点, A B , A D , A C ' 所在直线为坐 标轴建立空间直角坐标系 A ? x y z . 则有 A ( 0 , 0 , 0 ) , B (1, 0 , 0 ) , D ( 0 ,1, 0 ) , C ' ( 0 , 0 ,1) ,
M ( 1 1 , , 0) 2 2

,N(
???? ?

1 2

, 0,

1 2

)

. , AN
???? ? ( 1 2 , 0, 1 2 )

所以 A M

? (

1 1 , , 0) 2 2

. .

设平面 A M N 的法向量为 m
???? ? ? AM ? m ? 0, ? 则 ? ???? ? AN ? m ? 0. ?

? ( x, y, z )

1 ?1 x ? y ? 0, ? ?2 2 即? ? 1 x ? 1 z ? 0. ?2 ? 2

令 x ? 1 ,则 y ? z ? ? 1 . 所以 m ? (1, ? 1, ? 1) . 又平面 A B M 的一个法向量为 n 所以
cos ? m , n ?? m ?n m n ? ?1 3

? ( 0 , 0 ,1)
3 3



? ?



所以二面角 N (18) (共 14 分) 解:(Ⅰ)
f ( x ) ? ln x ? 1 x

? AM ? B

的余弦值为

3 3



………………………………14 分

a x

,定义域为 ( 0 , ? ? ) ,
a x
2

k B 1 . c o m



f (x) ?
|

?

?

x? a x
2



因为 a ? 0 ,由 f ? ( x ) ? 0 , 得 x ? ( a , ? ? ) , 由 f ? ( x ) ? 0 , 得 x ? ( 0 , a ) , 所以 f ( x ) 的单调递增区间为 ( a , ? ? ) ,单调递减区间为 ( 0 , a ) . (Ⅱ)由题意,以 P ( x 0 , y 0 ) 为切点的切线的斜率 k 满足
k ? f ?( x 0 ) ? x0 ? a x0
2
2

?

1 2

, ( x0 ? 0 )
? 0

所以 a 又当 x 0

? ?

1 2

x0 ? x0 ?

对 x0
1 2 1 2
2

恒成立.
1 2

? 0

时,

x0 ? x0 ?



所以 a 的最小值为 (Ⅲ)由题意,方程
b ? ln x ? 1 2 x
2


x ? 2 (b x ? a )
3

f (x) ?

?

1 2

化简得

2x

+

1 2

x ? (0, ? ? )

令 h(x)

? ln x ?

1 2

x ?b ?
2

1 2

,则 h ? ( x )

?

1 x

? x ?

(1 ? x )(1 ? x ) x



当 x ? ( 0 ,1) 时, h ? ( x ) ? 0 , 当 x ? (1, ? ? ) 时, h ? ( x ) ? 0 , 所以 h ( x ) 在区间 ( 0 ,1) 上单调递增,在区间 (1, ? ? ) 上单调递减. 所以 h ( x ) 在 x 所以 当 ? b 方程
f (x) ?

? 1 处取得极大值即最大值,最大值为 h (1) ? ln 1 ?

1 2

?1 ? b ?
2

1 2

? ?b



? 0
3

, 即 b ? 0 时, y
? 1 2

? h(x)

的图象与 x 轴恰有两个交点,
新 课 标 第 一 网

x ? 2 (b x ? a ) 2x

有两个实根,

当b

? 0

时,
3

y ? h(x)

的图象与 x 轴恰有一个交点,
? 1 2

方程 当b

f (x) ?

x ? 2 (b x ? a ) 2x

有一个实根,

? 0

时,
3

y ? h(x)

的图象与 x 轴无交点,
? 1 2

方程

f (x) ?

x ? 2 (b x ? a ) 2x

无实根.

……14 分

(19) (共 13 分) 解: (Ⅰ)因为 所以
c a ? 3 2

,a2

?b

2

? c

2



a ? 2b


x a ? y b ? 1 的距离 d ?
a ab
2

因为原点到直线 A B : 解得 a
? 4

?
2

4 5

5



? b

,b

? 2


x
2

故所求椭圆 C 的方程为

?

y 4

2

? 1.

16

(Ⅱ)因为点 P ? x 0 , y 0 ? 关于直线 y
? y 0 ? y1 ? 2 ? ? 1, ? ? x 0 ? x1 ? x 0 ? x1 ? y 0 ? y1 ? 2? . ? ? 2 2

? 2x

的对称点为 P1 ? x1 , y 1 ? ,

所以

解得

x1 ?

4 y0 ? 3 x0 5
2 2

, y1
2

?

3 y0 ? 4 x0 5



所以 x12

? y1 ? x 0 ? y 0


x
2

因为点 P ? x 0 , y 0 ? 在椭圆 C : 所以 x12 因为 ? 4 所以 x 1 2

?
2

y 4

2

? 1 上,

16
3 x0 4

? y1 ? x 0 ? y 0 ? 4 ?
2 2 2


2

? x0 ? 4
? y1
2

, 所以 4

? x1 ? y 1 ? 1 6
2

.w

W w .x K b 1.c o M

的取值范围为 ? 4 ,

16?



(Ⅲ)由题意
? y ? k x ? 1, ? 2 2 消去 y ?x y ? ?1 ? 4 ?16

,整理得

(1 ? 4 k ) x ? 8 k x ? 1 2 ? 0 .
2 2

可知 ? ? 0 . 设 E ( x 2 , y 2 ) , F ( x 3 , y 3 ) , E F 的中点是 M 则 xM
? x2 ? x3 2
?
( xM , yM )



?

?4k 1 ? 4k
? ?
2

, yM .

? kxM ? 1 ?

1 1 ? 4k
2



所以 k B M 所以 x M 即

yM ? 2 xM

1 k

? kyM ? 2 k ? 0

. .

?4k 1 ? 4k
2

?

k 1 ? 4k
2

? 2k ? 0

又因为 k 所以 k 2
?

? 0
1 8


? ? 2 4

.所以 k



………………………………13 分

(20) (共 13 分) 解: (Ⅰ) a 4
? a 2 ? a1 ? 1 ;

a 7 ? a 4? 2 ?1 ? 0


? an

(Ⅱ)假设存在正整数 T ,使得对任意的 n ? N * ,有 a n ? T

. .

则存在无数个正整数 T ,使得对任意的 n ? N * ,有 a n ? T 设 T 为其中最小的正整数. 若 T 为奇数,设 T ? 2 t ? 1 ( t ? N * ) , 则 a 4 n ?1
? a 4 n ?1? T ? a 4 n ?1? 2 T ? a 4 ( n ? t ) ?1 ? 0

? an

. X|k | B| 1 . c |O |m

与已知 a 4 n ? 1

? 1 矛盾.

若 T 为偶数,设 T 则 a2n?T 而 a2n?T
? a2n ? an

? 2t

(t ? N * ) ,



? a2n? 2t ? an?t ? an

从而 a n ? t 而t
?T



,与 T 为其中最小的正整数矛盾.
? an

综上,不存在正整数 T ,使得对任意的 n ? N * ,有 a n ? T (Ⅲ)若 S 为有理数,即 S 为无限循环小数, 则存在正整数 N 0 , T ,对任意的 n ? N * ,且 n 与(Ⅱ)同理,设 T 为其中最小的正整数. 若 T 为奇数,设 T ? 2 t ? 1 ( t ? N * ) ,
? N0



,有 a n ? T

? an



当 4n

? 1 ? N 0 时,有 a 4 n ? 1 ? a 4 n ? 1 ? T ? a 4 n ? 1 ? 2 T ? a 4 ( n ? t ) ? 1 ? 0
? 1 矛盾.



与已知 a 4 n ? 1

若 T 为偶数,设 T 当n
? N0

? 2t

(t ? N * ) , ,

时,有 a 2 n ? T

? a2n ? an

而 a2n?T

? a2n? 2t ? an?t

从而 a n ? t

? an



而 t ? T ,与 T 为其中最小的正整数矛盾. 故 S 不是有理数. ……………………………………………………13 分


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