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2013年全国高考理科数学试题分类汇编:三角函数


2013 年全国高考理科数学分类汇编 3:三角函数
一、选择题 1 . (2013 年普通高等学校招生统一考试浙江数学(理) )已知 ? ? R, sin ? ? 2 cos? ?

10 ,则 tan 2? ? 2

A.

4 3

B.

3 4

C. ?

3 4

D. ?

4 3

【答案】C 2 . (2013 年高考陕西卷 (理) ) 设△ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 若 b cos C ? c cos B ? a sin A ,

则△ABC 的形状为 (A) 锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 不确定 【答案】B
3 . (2013 年普通高等学校招生统一考试天津数学 (理) ) 在△ABC 中, ?ABC ?

?
4

, AB ? 2, BC ? 3, 则 sin?BAC

=
10 10 【答案】C

(A)

(B)

10 5

(C)

3 10 10

(D)

5 5

4 . (2013 年普通高等学校招生统一考试山东数学(理) )将函数 y ? sin(2 x ? ? ) 的图象沿 x 轴向左平移

单位后,得到一个偶函数的图象,则 ? 的一个可能取值为

? 个 8

(A)

3? 4

? (B) 4

?
(C)0 (D)

?
4

【答案】B 5 . (2013 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学(理) )在 ?ABC ,内角 A, B, C 所对的边长分别为

1 a, b, c. a sin B cos C ? c sin B cos A ? b, 且 a ? b ,则 ?B ? 2 2? 5? ? ? A. B. C. D. 3 6 6 3
【答案】A
[来源:学_科_网 Z_X_X_K]

6 . (2013 年普通高等学校招生统一考试大纲版数学(理) )已知函数

f ? x ? =cos x sin 2x ,下列结论中错误的

是 (A) y ? f ? x ? 的图像关于 ?? ,0? 中心对称 (B) y ? f ? x ? 的图像关于直线 x ? (C) f ? x ? 的最大值为
【答案】C 7 . (2013 年普通高等学校招生统一考试山东数学(理) )函数 y ? x cos x ? sin x 的图象大致为

?
2

对称

3 2

(D) f ? x ? 既奇函数,又是周期函数

【答案】D 8 . (2013 年高考四川卷(理) )函数 f ( x ) ? 2sin(? x ? ? ), (? ? 0,?

?
2

?? ?

?
2

) 的部分图象如图所示,则

? , ? 的值分别是(

)

(A) 2, ?

?
3

(B) 2, ?

?
6

(C) 4, ?

?
6

(D) 4,

? 3
)

【答案】A

? ) 上单调递减的函数是( 9 . (2013 年上海市春季高考数学试卷)既是偶函数又在区间 (0,
(A) y ? sin x
【答案】B
[来源:学科网 ZXXK]

(B) y ? cos x (C) y ? sin 2 x

(D) y ? cos 2 x

10. (2013 年普通高等学校招生统一考试重庆数学(理) ) 4cos50 ? tan 40 ?
0 0

(

)

A. 2
【答案】C

B.

2? 3 2

C. 3

D. 2 2 ?1

11 .( 2013 年 高 考 湖 南 卷 ( 理 )) 在 锐 角 中 ?ABC , 角 A, B 所 对 的 边 长 分 别 为 a , b . 若

2a sin B ? 3b, 则角A等于
A.

? 12

B.

? 6

C.

? 4

D.

? 3

【答案】D 12. (2013 年高考湖北卷(理) )将函数 y

? 3 cos x ? sin x ? x ? R ? 的图像向左平移 m ? m ? 0 ? 个长度单位
)

后,所得到的图像关于 y 轴对称,则 m 的最小值是(

A.

?
12

B.

?
6

C.

?
3

D.

5? 6

【答案】B 二、填空题 13 . ( 2013 年普通高等学校招生统一考试浙江数学(理) ) ?ABC 中 , ?C ? 90 , M 是 BC 的中点 , 若
0

sin ?BAM ?

1 ,则 sin ?BAC ? ________. 3

【答案】

6 3

14. (2013 年高考新课标 1(理) )设当 x ? ? 时,函数 f ( x) ? sin x ? 2cos x 取得最大值,则 cos ? ? ______

【答案】 ?

2 5 . 5

15 . ( 2013 年 普 通 高 等 学 校 招 生 统 一 考 试 福 建 数 学 ( 理 ) )如图

?ABC 中 , 已 知 点 D 在 BC 边

上,AD ? AC, sin ?BAC ?

2 2 , AB ? 3 2, AD ? 3 则 BD 的长为_______________ 3

[来源:Z。xx。k.Com]

【答案】

3

16. (2013 年上海市春季高考数学试卷)函数 y 【答案】 2?

? 2sin x 的最小正周期是_____________

17. (2013 年高考四川卷(理) )设 sin 2? ? ? sin ? , ? ? ( 【答案】

?
2

, ? ) ,则 tan 2? 的值是_________.

3
年 高 考 上 海 卷 ( 理 )) 若 cos x cos y ? sin x sin y ?

18 .( 2013

1 2 ,sin 2 x ? sin 2 y ? , 则 2 3

sin( x ? y) ? ________
【答案】 sin( x ? y ) ?

2 . 3
2 2 2

19( .2013 年高考上海卷 (理) ) 已知△ABC 的内角 A、 B、 C 所对应边分别为 a、 b、 c,若 3a ? 2ab ? 3b ? 3c ? 0 ,

则角 C 的大小是_______________(结果用反三角函数值表示)
【答案】 C ? ? ? arccos

1 3

20 . ( 2013 年 普 通 高 等 学 校 招 生 统 一 考 试 大 纲 版 数 学 ( 理 ) ) 已 知 ? 是 第 三 象 限 角 , sin a ? ?

1 ,则 3

cot a ? ____________.
【答案】 2

2

21. (2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷(数学) ) 函数 y ? 3 sin( 2 x ?

?
4

) 的最小正周期为

___________.
【答案】 ?

B、 C 所 对 边 长 分 别 为 a、、 b c ,若 22 . ( 2013 年 上 海 市 春 季 高 考 数 学 试 卷 () ) 在 ?ABC 中 , 角 A、

a ? 5, b ? 8, B ? 60 ,则 b= _______
【答案】7 23. (2013 年普通高等学校招生统一考试安徽数学(理) )设 ?ABC 的内角 A, B, C 所对边的长分别为 a, b, c .

若 b ? c ? 2a ,则 3sin A ? 5sin B, 则角 C ? _____.
【答案】

2 ? 3

24. (2013 年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学(理) (纯) )设 ? 为第二象限角,若 tan(?

则 sin ? ? cos ? ? ________.
【答案】 ?

? 1 ? )? , 4 2

10 5

25. (2013 年高考江西卷(理) )函数 y ? sin 2 x ? 2 【答案】 ?

3sin 2 x 的最小正周期为 T 为_________.

26. (2013 年上海市春季高考数学试卷())函数 y ? 4sin x ? 3cos x 的最大值是_______________ 【答案】5 三、解答题 27. (2013 年高考北京卷(理) )在△ABC 中,a=3,b=2

6 ,∠B=2∠A.

(I)求 cosA 的值;

(II)求 c 的值.

【答案】 解 :(I) 因为 a=3,b=2

6 ,∠B=2∠A.

所以在△ABC 中 , 由正弦定理得

3 2 6 ? . 所以 sin A sin 2 A

2 sinA cos A 2 6 6 ? .故 cos A ? . sin A 3 3
(II) 由 (I) 知 cos A ?

6 , 所 以 s i An? 3

3 ? 1 2 Ac? o s . 又 因 为 ∠B=2∠A, 所 以 3

1 2 2 cos B ? 2 cos 2 A ? 1 ? .所以 sin B ? 1 ? cos 2 B ? . 3 3
在△ABC 中, sin C ? sin( A ? B) ? sin A cos B ? cos A sin B ? 所以 c ?

5 3 . 9

a sin C ?5. sin A
1 2

b. 28. (2013 年高考陕西卷(理) )已知向量 a ? (cos x, ? ), b ? ( 3 sin x,cos 2 x), x ? R , 设函数 f ( x) ? a·

(Ⅰ) 求 f (x)的最小正周期. ? ?? (Ⅱ) 求 f (x) 在 ?0, ? 上的最大值和最小值. ? 2?
b = cos x ? 【答案】解:(Ⅰ) f ( x) ? a·

1 3 1 ? 3 sin x ? cos2 x ? sin 2 x ? cos2 x ? sin(2 x ? ) . 2 2 2 6

最小正周期 T ?

2? ?? . 2

所以 f ( x) ? sin( 2 x ?

?
6

), 最小正周期为 ? .

(Ⅱ) 当x ? [0,

?
2

]时, (2 x ?

?
6

) ? [-

? 5?
6 , 6

],由标准函数 y ? sin x在[-

? 5?
6 , 6

]上的图像知, .

f ( x) ? sin( 2 x ?

?

? ? 1 ) ? [ f (- ), f ( )] ? [? ,1] . 6 6 2 2

1 ? ?? 所以,f (x) 在 ?0, ? 上的最大值和最小值分别为 1, ? . 2 ? 2?
29. (2013 年普通高等学校招生统一考试重庆数学(理) )在 ABC 中,内角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c ,且

a 2 ? b2 ? 2ab ? c2 .
(1)求 C ;
【答案】

(2)设 cos A cos B ?

3 2 cos ?? ? A? cos ?? ? B ? 2 , ? ,求 tan ? 的值. 2 5 cos ? 5

由题意得

30 . ( 2013

年 普 通 高 等 学 校 招 生 统 一 考 试 天 津 数 学 ( 理 )) 已 知 函 数

?? ? f ( x) ? ? 2 sin ? 2 x ? ? ? 6sin x cos x ? 2 cos 2 x ? 1, x ? R . 4? ?
(Ⅰ) 求 f(x)的最小正周期; ? ?? (Ⅱ) 求 f(x)在区间 ?0, ? 上的最大值和最小值. ? 2?
【答案】

31 . ( 2013

年 普 通 高 等 学 校 招 生 统 一 考 试 辽 宁 数 学 ( 理 )) 设 向 量

a?

?

? ?? 3 sin x,sin x , b ? ? cos x,sinx ? , x ? ?0, ? . ? 2?

?

[来源:学_科_网 Z_X_X_K]

(I)若 a ? b .求x的值;

(II)设函数 f ? x ? ? a b, 求f ? x ?的最大值.

【答案】

32. (2013 年高考上海卷(理))已知函数 f ( x) ? 2sin(? x) ,其中常数 ? ? 0 ;

(1)若 y ? f ( x) 在 [ ?

? 2?
4 , 3

] 上单调递增,求 ? 的取值范围;

(2)令 ? ? 2 ,将函数 y ? f ( x) 的图像向左平移

? 个单位,再向上平移 1 个单位,得到函数 y ? g ( x) 的图像, 6

区间 [ a, b] ( a, b ? R 且 a ? b )满足: y ? g ( x) 在 [ a, b] 上至少含有 30 个零点,在所有满足上述条件的 [ a, b]

中,求 b ? a 的最小值. 【答案】(1)因为 ? ? 0 ,根据题意有

? ? ? ? ??? ? 3 ? 4 2 ?0?? ? ? 4 ? 2? ? ? ? ? 2 ? 3
(2) f ( x) ? 2sin(2 x) , g ( x) ? 2sin(2( x ?

)) ? 1 ? 2sin(2 x ? ) ? 1 6 3 ? 1 ? 7 g ( x) ? 0 ? sin(2 x ? ) ? ? ? x ? k? ? 或 x ? k? ? ? , k ? Z , 3 2 3 12 ? 2? 即 g ( x) 的零点相离间隔依次为 和 , 3 3 2? ? 43? ? 15 ? ? 故若 y ? g ( x) 在 [ a, b] 上至少含有 30 个零点,则 b ? a 的最小值为 14 ? . 3 3 3
33 . ( 2013 年普 通高等学 校招生 统一 考试大 纲版数 学(理 ) ) 设 ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为

?

?

a, b, c , (a ? b ? c)(a ? b ? c) ? ac .
(I)求 B (II)若 sin A sin C ?
【答案】

3 ?1 ,求 C . 4

34 .( 2013 年 高 考 四 川 卷 ( 理 )) 在 ?ABC 中 , 角 A, B, C 的 对 边 分 别 为 a, b, c , 且

A? B 3 cos B ? sin( A ? B) sin B ? cos( A ? C ) ? ? . 2 5 (Ⅰ)求 cos A 的值; 2 cos 2

(Ⅱ)若 a ? 4 2 , b ? 5 ,求向量 BA 在 BC 方向上的投 影.

A? B 3 cos B ? sin ? A ? B ? sin B ? cos ? A ? C ? ? ? ,得 2 5 3 ? ?cos ? A ? B ? ? 1? ? cos B ? sin ? A ? B ? sin B ? cos B ? ? 5 , 3 即 cos ? A ? B ? cos B ? sin ? A ? B ? sin B ? ? , 5 3 3 则 cos ? A ? B ? B ? ? ? ,即 cos A ? ? 5 5 3 4 ? ?? ? 由 cos A ? ? 5 ,0 ? A ? ? ,得 sin A ? 5 ,
【答案】解:

? ? ? 由 2cos2

由正弦定理,有

a b b sin A 2 ? ,所以, sin B ? . ? sin A sin B a 2

由题知 a ? b ,则 A ? B ,故 B ? 根据余弦定理,有 4 2

?
4

.

?

?

2

? 3? ? 52 ? c 2 ? 2 ? 5c ? ? ? ? , ? 5?

解得 c ? 1 或 c ? ?7 (舍去). 故向量 BA 在 BC 方向上的投影为 BA cos B ?

2 2

35. (2013 年普通高等学校招生统一考试山东数学(理) )设△ ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,

且 a ? c ? 6 , b ? 2 , cos B ? (Ⅰ)求 a , c 的值;

7 . 9

(Ⅱ)求 sin( A ? B) 的值.
2

2 2 2 b 2 ? ? a ? c ? ? 2ac (1 ? cos B ) 【答案】解:(Ⅰ)由余弦定理 b ? a ? c ? 2ac cos B ,得 ,

又 a ? c ? 6,b ? 2 ,

cos B ?

7 9 ,所以 ac ? 9 ,解得 a ? 3 , c ? 3 .

(Ⅱ)在△ ABC 中,

sin B ? 1 ? cos2 B ? a sin B 2 2 ? b 3 ,

4 2 9 ,

sin A ?
由正弦定理得

因为 a ? c ,所以 A 为锐角,所以

cos A ? 1 ? sin 2 A ?

1 3

sin( A ? B) ? sin A cos B ? cos A sin B ?
因此

10 2 27 .

36. (2013 年普通高等学校招生统一考试安徽数学 (理) ) 已知函数

?? ? f ( x) ? 4cos? x ? sin ?? x ? ? (? ? 0) 的 4? ?

最小正周期为 ? . (Ⅰ)求? 的值; (Ⅱ)讨论 f ( x ) 在区间 ? 0, 2? 上的单调性.

【答案】解: (Ⅰ) ? 2 2 cos ?x(sin ?x ? cos ?x) ?

2 (sin 2?x ? cos 2?x ? 1) ? 2 sin( 2?x ?

?
4

)? 2

?

2? ? ? ? ? ? ? 1 .所以 f ( x) ? 2 sin( 2 x ? ) ? 2 , ? ? 1 2? 4

(Ⅱ) 当x ? [0,

?

2

]时, (2 x ?
?
8

?

所以 y ? f ( x)在[0,

]上单调递增;在 [ , ]上单调递减 . 8 2

) ? [ , ? ? ],令 2 x ? ? 解得 x ? ; 4 4 4 4 2 8 ? ?

?

?

?

?

?

37. (2013 年普通高等学校招生统一考试福建数学(理) )已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ? )(? ? 0, 0 ? ? ? ? ) 的

周期为 ? ,图像的一个对称中心为 ( 标不变),在将所得图像向右平移

?
4

, 0) ,将函数 f ( x) 图像上的所有点的横坐标伸长为原来的 2 倍(纵坐

?
2

个单位长度后得到函数 g ( x) 的图像.

(1)求函数 f ( x) 与 g ( x) 的解析式; (2)是否存在 x0 ? (

? ?

, ) ,使得 f ( x0 ), g ( x0 ), f ( x0 ) g ( x0 ) 按照某种顺序成等差数列?若存在,请确定 x0 的 6 4

个数;若不存在,说明理由 (3)求实数 a 与正整数 n ,使得 F ( x) ? f ( x) ? ag ( x) 在 (0, n? ) 内恰有 2013 个零点.
【答案】解:(Ⅰ)由函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ) 的周期为 ? , ?

? 0 ,得 ? ? 2

又曲线 y ? f ( x) 的一个对称中心为 ( 故 f ( ) ? sin(2 ?

?
4

, 0) , ? ? (0, ? )
,所以 f ( x) ? cos 2 x

?

?
4

4

? ? ) ? 0 ,得 ? ?

?
2

将函数 f ( x) 图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍 ( 纵坐标不变 ) 后可得 y ? cos x 的图象 , 再将

y ? cos x 的图象向右平移
(Ⅱ)当 x ? (

?
2

个单位长度后得到函数 g ( x) ? sin x

? ?

1 2 1 , 0 ? cos 2 x ? , ) 时, ? sin x ? 2 2 6 4 2

所以 sin x ? cos 2 x ? sin x cos 2 x

问题转化为方程 2 cos 2 x ? sin x ? sin x cos 2 x 在 ( 设 G ( x) ? sin x ? sin x cos 2 x ? 2 cos 2 x , x ? (

? ?

? ?

, ) 内是否有解 6 4

, ) 6 4

则 G ?( x) ? cos x ? cos x cos 2 x ? 2sin 2 x(2 ? sin x) 因为 x ? (

? ?

, ) ,所以 G?( x) ? 0 , G ( x) 在 ( , ) 内单调递增 6 4 6 4

? ?

又 G( ) ? ?

?

6

? 2 1 ?0 ? 0 , G( ) ? 4 2 4
? ?
, ) 内存在唯一零点 x0 , 6 4

且函数 G ( x) 的图象连续不断,故可知函数 G ( x) 在 ( 即存在唯一的 x0 ? (

? ?

, ) 满足题意 6 4

(Ⅲ)依题意, F ( x) ? a sin x ? cos 2 x ,令 F ( x) ? a sin x ? cos 2 x ? 0 当 sin x ? 0 , 即 x ? k? (k ? Z ) 时 , cos 2 x ? 1 , 从而 x ? k? (k ? Z ) 不是方程 F ( x) ? 0 的解 , 所以方程

F ( x) ? 0 等价于关于 x 的方程 a ? ?

cos 2 x , x ? k? ( k ? Z ) sin x

现研究 x ? (0, ? ) U (? , 2? ) 时方程解的情况 令 h( x ) ? ?

cos 2 x , x ? (0, ? ) U (? , 2? ) sin x

则问题转化为研究直线 y ? a 与曲线 y ? h( x) 在 x ? (0, ? ) U (? , 2? ) 的交点情况

h?( x) ?

cos x(2sin 2 x ? 1) ? 3? ,令 h?( x) ? 0 ,得 x ? 或 x ? 2 sin x 2 2

当 x 变化时, h( x) 和 h?( x) 变化情况如下表

x
h?( x)

(0, ) 2 ?
Z

?

? 2 0

( ,? ) 2 ?
]

?

(? ,

?
]

3? ) 2

3? 2 0
?1

(

3? , 2? ) 2 ?

h( x )

Z

当 x ? 0 且 x 趋近于 0 时, h( x) 趋向于 ?? 当 x ? ? 且 x 趋近于 ? 时, h( x) 趋向于 ?? 当 x ? ? 且 x 趋近于 ? 时, h( x) 趋向于 ??

当 x ? 2? 且 x 趋近于 2? 时, h( x) 趋向于 ?? 故当 a ? 1 时,直线 y ? a 与曲线 y ? h( x) 在 (0, ? ) 内有无交点,在 (? , 2? ) 内有 2 个交点; 当 a ? ?1 时,直线 y ? a 与曲线 y ? h( x) 在 (0, ? ) 内有 2 个交点,在 (? , 2? ) 内无交点; 当 ?1 ? a ? 1 时,直线 y ? a 与曲线 y ? h( x) 在 (0, ? ) 内有 2 个交点,在 (? , 2? ) 内有 2 个交点 由函数 h( x) 的周期性,可知当 a ? ?1 时,直线 y ? a 与曲线 y ? h( x) 在 (0, n? ) 内总有偶数个交点,从而不 存在正整数 n ,使得直线 y ? a 与曲线 y ? h( x) 在 (0, n? ) 内恰有 2013 个交点;当 a ? ?1 时,直线 y ? a 与 曲线 y ? h( x) 在 (0, ? ) U (? , 2? ) 内有 3 个交点,由周期性, 2013 ? 3 ? 671 ,所以 n ? 671? 2 ? 1342 综上,当 a ? ?1 , n ? 1342 时,函数 F ( x) ? f ( x) ? ag ( x) 在 (0, n? ) 内恰有 2013 个零点
38 . ( 2013 年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 招 生 考 试 江 苏 卷 ( 数 学 ) ) 本 小 题 满 分 14 分 . 已 知

a=( c o ? s , s? i n, b) ?

(? cos ? , s, i0 n? ? ) ?? ?? .

(1)若 | a ? b |? 2 ,求证: a ? b ;(2)设 c ? (0,1) ,若 a ? b ? c ,求 ? , ? 的值.

【答案】解:(1)∵ | a ? b |?
2

2

∴ | a ? b |2 ? 2
2

即 a?b

? ?
∴?

2

? a ? 2ab ? b ? 2 ,

2

2

2 2 2 2 2 2 又∵ a ?| a | ? cos ? ? sin ? ? 1, b ?| b | ? cos ? ? sin ? ? 1 ∴ 2 ? 2ab ? 2 ∴ ab ? 0 ∴ a ? b

(2)∵ a ? b ? (cos? ? cos? , sin ? ? sin ? ) ? (0,1) 两 边 分 别 平 方 再 相 加 得 : 1 ? 2 ? 2 sin ? ∴? ?

?cos? ? cos ? ? 0 ?cos? ? ? cos ? 即? ?sin ? ? sin ? ? 1 ?sin ? ? 1 ? sin ?
1 2
∴ sin ? ?

∴ sin ? ?

1 2

∵ 0 ? ? ?? ??

5 1 ?,? ? ? 6 6

39. (2013 年普通高等学校招生统一考试广东省数学(理)卷)已知函数

? ? ? f ( x) ? 2 cos ? x ? ? , x ? R . ? 12 ?

(Ⅰ) 求 f ? ?

? ?? ? 的值; ? 6?

(Ⅱ) 若 cos ? ?

3 ? 3? ? ,? ? ? , 2? ? ,求 5 ? 2 ?

?? ? f ? 2? ? ? . 3? ?

【答案】 (Ⅰ)

? ? ?? ? ? ? ? ? ?? f ? ? ? ? 2 cos ? ? ? ? ? 2 cos ? ? ? ? 2 cos ? 1 ; 4 ? 6? ? 6 12 ? ? 4?

(Ⅱ) f ? 2? ?

? ?

??

? ? ? ?? ? ? ? ? 2 cos ? 2? ? ? ? ? 2 cos ? 2? ? ? ? cos 2? ? sin 2? 3? 3 12 ? 4? ? ?

因为 cos ? ?

3 4 ? 3? ? ,? ? ? , 2? ? ,所以 sin ? ? ? , 5 5 ? 2 ?
24 7 2 2 , cos 2? ? cos ? ? sin ? ? ? 25 25

所以 sin 2? ? 2sin ? cos ? ? ? 所以 f ? 2? ?

? ?

?? 7 ? 24 ? 17 ? ? cos 2? ? sin 2? ? ? ? ? ? ? ? .
3? 25 ? 25 ? 25

40. (2013 年高考湖南卷(理) )已知函数 f ( x) ? sin( x ?

?

? x ) ? cos( x ? ).g ( x) ? 2sin 2 . 6 3 2

(I)若 ? 是第一象限角,且 f (? ) ?

3 3 .求 g (? ) 的值; 5

(II)求使 f ( x) ? g ( x) 成立的 x 的取值集合.

【答案】解: (I) f ( x) ?

3 1 1 3 3 3 . sin x ? cos x ? cos x ? sin x ? 3 sin x ? f (? ) ? 3 sin ? ? 2 2 2 2 5

3 ? 4 ? 1 ? sin ? ? , ? ? (0, ) ? cos ? ? , 且g (? ) ? 2 sin 2 ? 1 ? cos ? ? 5 2 5 2 5
(II) f ( x) ? g ( x) ? 3 sin x ? 1 ? cos x ?

3 1 ? 1 sin x ? cos x ? sin(x ? ) ? 2 2 6 2

? x?

?
6

? [2k? ?

?
6

,2k? ?

5? 2? ] ? x ? [2k? ,2k? ? ], k ? Z 6 3

41. (2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷(数学) )本小题满分 16 分.如图,游客从某旅游景区

的景点 A 处下山至 C 处有两种路径.一种是从 A 沿直线步行到 C ,另一种是先从 A 沿索道乘缆车到 B ,然 后从 B 沿直线步行到 C .现有甲.乙两位游客从 A 处下山,甲沿 AC 匀速步行,速度为 50 m / min .在甲出发 2 min 后,乙从 A 乘缆车到 B ,在 B 处停留 1 min 后,再从匀速步行到 C .假设缆车匀速直线运动的速度为

130 m / min ,山路 AC 长为 1260 m ,经测量, cos A ?

12 3 , cos C ? . 13 5

(1)求索道 AB 的长; (2)问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短? (3)为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内? A B

C

12 3 , cos C ? 13 5 ? 5 4 (0, ) ∴ A、C ? ∴ sinA ? , sinC ? 2 13 5
【答案】解:(1)∵ cos A ?

? ? sin(A ? C) (A ? C) ? sinAcos C ? cos AsinC ? ∴ sinB ? sin ?? ?
根据

63 65

AB AC AC ? sinC ? 1040 m 得 AB ? sinC sinB sinB
2 2 2

(2)设乙出发 t 分钟后,甲.乙距离为 d,则 d ? (130 t ) ? (100 ? 50t ) ? 2 ? 130 t ? (100 ? 50t ) ? ∴ d 2 ? 200(37t 2 ? 70t ? 50)

12 13

1040 即0 ? t ? 8 130 35 35 ∴t ? 时,即乙出发 分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短. 37 37
∵0 ? t ? (3)由正弦定理

AC 1260 5 BC AC sin A ? ? 500 (m) ? 得 BC ? 63 13 sinB sinA sinB 65

乙从 B 出发时,甲已经走了 50(2+8+1)=550(m),还需走 710 m 才能到达 C 设乙的步行速度为 V m / min ,则 ∴?3?

500 710 ? ?3 v 50

500 710 1250 625 ? ? 3∴ ?v? v 50 43 14

∴为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 分钟,乙步行的速度应控制在 ? 法二:解:(1)如图作 BD⊥CA 于点 D, 设 BD=20k,则 DC=25k,AD=48k, AB=52k,由 AC=63k=1260m, 知:AB=52k=1040m. (2)设乙出发 x 分钟后到达点 M, 此时甲到达 N 点,如图所示. 则:AM=130x,AN=50(x+2), 2 2 2 2 由余弦定理得:MN =AM +AN -2 AM·ANcosA=7400 x -14000 x+10000, 35 其中 0≤x≤8,当 x= (min)时,MN 最小,此时乙在缆车上与甲的距离最短. 37 1260 126 (3)由(1)知:BC=500m,甲到 C 用时: = (min). 50 5

?1250 625? 范围内 , ? 43 14 ? ?

126 141 86 若甲等乙 3 分钟,则乙到 C 用时: +3= (min),在 BC 上用时: (min) . 5 5 5 86 1250 此时乙的速度最小,且为:500÷ = m/min. 5 43 126 111 56 若乙等甲 3 分钟,则乙到 C 用时: -3= (min),在 BC 上用时: (min) . 5 5 5

56 625 此时乙的速度最大,且为:500÷ = m/min. 5 14 1250 625 故乙步行的速度应控制在[ , ]范围内. 43 14 M B D C
42 . ( 2013 年 高 考 湖 北 卷 ( 理 ) ) 在 ?ABC 中 , 角 A ,

A N

B , C 对应的边分别是 a , b , c .已知

cos 2 A ? 3cos ? B ? C ? ? 1.
(I)求角 A 的大小; (II)若 ?ABC 的面积 S ? 5 3 , b ? 5 ,求 sin B sin C 的值.
【答案】解:(I)由已知条件得: cos 2 A ? 3cos A ? 1

? 2 cos2 A ? 3cos A ? 2 ? 0 ,解得 cos A ?

1 ,角 A ? 60? 2

a2 1 2 2 (II) S ? bc sin A ? 5 3 ? c ? 4 ,由余弦定理得: a ? 21 , ? 2 R ? ? ? 28 2 sin 2 A
? sin B sin C ? bc 5 ? 2 4R 7

43. (2013 年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学(理) (纯) )△ ABC 在内角 A, B, C 的对边分别为

a, b, c ,已知 a ? b cos C ? c sin B .
(Ⅰ)求 B ; (Ⅱ)若 b ? 2 ,求△ ABC 面积的最大值.

【答案】

44. (2013年高考新课标1(理) )如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB= 3 ,BC=1,P为△ABC内一点,∠BPC=90°

1 (1)若 PB= ,求 PA;(2)若∠APB=150°,求 tan∠PBA 2

[
【 答 案 】 (Ⅰ) 由 已 知 得 ,∠PBC=

60o ,∴∠PBA=30o, 在 △PBA 中 , 由 余 弦 定 理 得

1 1 7 7 ; PA2 = 3 ? ? 2 ? 3 ? cos 30o = ,∴PA= 4 2 4 2
(Ⅱ) 设 ∠PBA= ? , 由 已 知 得 ,PB= sin ? , 在 △PBA 中 , 由 正弦 定 理 得 , 得, 3 cos ? ? 4sin ? , ∴ tan ? =

3 sin ? ? o sin150 sin(30o ? ? )

,化简

3 3 ,∴ tan ?PBA = . 4 4

45. (2013 年上海市春季高考数学试卷)本题共有 2 个小题,第一小题满分 4 分,第二小题满分 9 分.

在平面直角坐标系 xOy 中,点 A 在 y 轴正半轴上,点 P n 在 x 轴上,其横坐标为 xn ,且 {xn }

是首项为 1、公

比为 2 的等比数列,记 ?P n AP n ?1 ? ?n , n ? N .
?

(1)若 ?3 ? arctan

1 ,求点 A 的坐标; 3

(2)若点 A 的坐标为 (0, 8 2) ,求 ?n 的最大值及相应 n 的值. y A

0

P1 P2 P3

P4

x
[来源:Zxxk.Com]

[解](1)

(2)

1 1 ? 2n?1 .由 ?3 ? arctan ,知 tan ? 3 ? , 3 3 x4 x3 ? t t ? t ( x4 ? x3 ) ? 4t , 而 tan ?3 ? tan(?OAP4 ? ?OAP ) ? 3 2 2 x x 1 ? 4 ? 3 t ? x4 ? x3 t ? 32 t t 4t 1 ? ,解得 t ? 4 或 t ? 8 . 所以 2 t ? 32 3

t ) ,根据题意, xn 【答案】[解](1)设 A(0,

4) 或 (0, 8) . 故点 A 的坐标为 (0,

2n?1 (2)由题意,点 P . , 0) , tan ?OAPn ? n 的坐标为 (2 8 2
n ?1

2n 2n ?1 ? 2n ?1 1 2 ? tan ? n ? tan(?OAPn ?1 ? ?OAPn ) ? 8 2 n 8 n ? . ?1 2 n ?1 2 2 2 16 2 2n 1? ? 8 2? ? 8 2 8 2 8 2 2n 8 2
因为

16 2 2n 1 2 , ? ? 2 2 ,所以 tan ?n ? ? n 2 4 8 2 2 2

16 2 2n 当且仅当 ,即 n ? 4 时等号成立. ? 2n 8 2
易知 0 ? ? n ?

?

, y ? tan x 在 (0, ) 上为增函数, 2 2

?

因此,当 n ? 4 时, ?n 最大,其最大值为 arctan

2 . 4

46( .2013 年高考江西卷 (理) ) 在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 cosC+(conA-

sinA)cosB=0.

(1) 求角 B 的大小;若 a+c=1,求 b 的取值范围
【答案】解:(1)由已知得 ? cos( A ? B) ? cos A cos B ?

3sin A cos B ? 0

即有 sin A sin B ? 3 sin A cos B ? 0 因为 sin A ? 0 ,所以 sin B ? 3 cos B ? 0 ,又 cos B ? 0 ,所以 tan B ? 3 , 又 0 ? B ? ? ,所以 B ?
2

?
3

.
2 2

(2)由余弦定理,有 b ? a ? c ? 2ac cos B .

1 1 2 1 2 ,有 b ? 3(a ? ) ? . 2 2 4 1 1 2 又 0 ? a ? 1 ,于是有 ? b ? 1 ,即有 ? b ? 1 . 2 4
因为 a ? c ? 1, cos B ?


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