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2014年普通高中学业水平考试数学模拟有答案


2014 年普通高中学业水平考试数学模拟 1. 已知集合 A ? ?1, 2? , B ? ??1, 0,1? , 则 A ? B 等于( A A . ?1?
?

) D. ?

B.

??1, 0, 2?
A . ?

C.

??1, 0,1, 2?
B. ?

2. cos120 的值是 ( B )

3 2

1 2

C.

1 2

D. )

3 2

3.从 12 个同类产品(其中 10 个是正品, 2 个是次品)中任意抽取 3 个的必然事件是(D A. 3 个都是正品 B.至少有 1 个是次品 C. 3 个都是次品 D.至少有 1 个是正品 4. 不等式 x ? 2 x ? 3 ? 0 的解集是 B
2

A .

? ?3,1?

B.

? ?1, 3?

C.

? ??, ?1? ? ? 3, ?? ?

D.

? ??, ?3? ? ?1, ?? ?


5. 已知直线 l1 : 2 x ? y ? 2 ? 0, l2 : ax ? 4 y ? 1 ? 0 , 若 l1 // l2 , 则 a 的值为( A A . 8 B. 2 ( D ) C.

?

1 2

D. ?2 B. 最小正周期为 2? 的奇函数

6. 函数 y ? sin 2 x 是

A . 最小正周期为 2? 的偶函数 D. 最小正周期为 ? 的奇函数

C. 最小正周期为 ? 的偶函数

7. 在等比数列 ? an ? 中, 若 a3a6 ? 9, a2 a4 a5 ? 27 , 则 a2 的值为( B ) A . 2 B.

4

4

3

C. 4

D.

9
4 正视图 4
3

? y ? 1, ? 8. 如果实数 x 、 y 满足条件 ? 2 x ? y ? 1 ? 0, 则 2 x ? y 的最大值为( D ) ? x ? y ? 1 ? 0. ?
A . 1 B.

侧视图

5 3

C. 2

D. 3

俯视图 图1 开始 S=0

9. 已知某几何体的三视图如图 1 所示, 其中俯视图 C 是腰长为 2 的等腰梯形, 则该几何体的体积为 A . 4 3 B.

8 3
2 2

C. 12 3

D.

24 3

14.直线 x-y+4=0 被圆 x ? y +4x-4y+6=0 截得的弦长等于 11、点 P 在直线 2 x ? y ? 1 ? 0 上,O 为坐标原点,则 OP 的最小值是(D

2 2
i=3 ) S=S+i

A、

3 3

B、

1 5

C、 5

D、

5 5
( B ) 否

i=i+1 i>10 是 输出 S

12. 如果执行右面的程序框图,那么输出的 S ? A.22 B.52 C.46 D.190 13. 函数 y ? ln ? 2 x ? 1? 的定义域是 14.计算 log 2 8 ? log 2 1 2 的值是 (1/2, ? ? ) 2 .



15. 某公司生产 A 、 B 、 C 三种不同型号的轿车,产量之比依次为 2 : 3: 4 ,为了检验该公司的产品质量,用分层 结束 抽样的方法抽取一个容量为 n 的样本,样本中 A 种型号的轿车 比 B 种型号的轿车少 8 辆,那么 n ?

72

.
? ?

16.在 ?ABC 中,已知 sin A : sin B : sin C ? 6 : 5 : 4 ,则 cosA ? _1/8__ 17.已知点 P(cos 2 x ? 1,1) ,点 Q(1, 3 sin 2 x ? 1) ( x ? R) ,且函数 f ( x ) ? OP? OQ . (I)求函数 f ( x) 的解析式; (II) 求函数 f ( x) 的最值及最小正周期.

?

4 0 得分区间 频数 3 5 4 频率

18. 编号分别为 A1 , A2 , A3 ,?, A12 的 12 名篮球运动员在某次篮球比赛中的得分记录如 下: 运动员编号 得分

?0,10 ?
A1
A2

1 4
5/12 1/3

A3

A4

A5

A6

A7

A8

A9

A10

A11

A12

?10, 20 ?
? 20,30 ?
合计

5

10

12

16

8

21

27

15

6

22

18

29

(1)完成如下的频率分布表: (2)从得分在区间 ?10, 20? 内的运动员中随机抽取 2 人 , 求这 2 人得分之和大于 25 的概 率. 4/5

12

1.00

19. (本小题满分 8 分)如图,ABCD 是正方形,O 是该正方形的中心,P 是平面 ABCD 外一点,

PO ⊥底面 ABCD,E 是 PC 的中点
求证:(1)PA∥平面 BDE ; (2)BD⊥平面 PAC. 20.已知等差数列 ? an ? 的前 n 项和为 S n ,且 a1 ? a3 ? 10 , S 4 ? 24 .求数列

?an ? 的通项公式及前 n 项和为 S n = n 2 ? 2n
2 2

a n ? 2n ? 1
C )

1.“ m ? n ? 0 ”是“方程 mx ? ny ? 1 ”表示焦点在 y 轴上的椭圆”的( A.充分而不必要条件 C.充要条件 2. 抛物线 y ? ax 的焦点坐标是( A
2

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ) C. (0, ? )

A. (0,

1 ) 4a

B. (0, ?

1 ) 4a

a 4

D. (0, )

a 4

3. 设双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的虚轴长为 2,焦距为 2 3 ,则双曲线的渐近线方程为( B a2 b2
B . y??



A. y ? ? 2 x

2 x 2

C . y ? ?2 x

D. y ? ?

1 x 2


x2 y 2 4. 已知椭圆 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )中, a, b, c 成等比数列,则椭圆的离心率为( D a b
A.

2 2

B.

3 5

C.

5 ?1 2

D.

5 ?1 2
B )

5. 设 a ? 1 ,则双曲线

x2 y2 ? ? 1 的离心率 e 的取值范围是 ( a 2 (a ? 1) 2

A. ( 2, 2)

B. ( 2,5)

C. (2, 5)

D. (2,5)

6、给出下列结论,其中正确的是 ( C ) A.渐近线方程为 y ? ? B.抛物线 y ? ?

x2 y2 b x?a ? 0, b ? 0? 的双曲线的标准方程一定是 2 ? 2 ? 1 a a b

1 2 1 x 的准线方程是 x ? 2 2

C.等轴双曲线的离心率是 2 D.椭圆

x2 y2 ? 2 ? 1?m ? 0, n ? 0? 的焦点坐标是 F1 ? m 2 ? n 2 ,0 , F2 2 m n

?

? ?m

2

? n 2 ,0

?
6 _____. 6

7. 若正四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 的底面边长为 2, 高为 4, 则异面直线 BD1 与 AD 所成角的余弦值是___ 8.(1)已知双曲线的渐近线方程为 y ? ?

1 x ,焦距为 10,求双曲线的标准方程。 2

(2)已知两准线间的距离为

18 5 ,焦距为 2 5 ,求椭圆的标准方程。 5 2 2 。求椭圆的方程; 3

- 2 2) ,F2(0, 2 2 ) (3)已知椭圆的中心在原点,焦点为 F1 (0, ,且离心率 e =

17. (1)

x2 y 2 y 2 x2 ? ? 1或 ? ?1 20 5 5 20

(2)

x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1或 ? ?1 9 4 4 9

y2 x2 c 2 2 22:解: (I)设椭圆方程为 2 ? 2 ? 1,由已知c ? 2 2 ,又 ? a 3 a b
解得 a=3,所以 b=1,故所求方程为

y2 ? x 2 ? 1 ??????????4 分 9

9. 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是矩形, PA ? 平面 ABCD , PA ? AD ? 4 ,

P

AB ? 2 . AN ? PC 于点 N , M 是 PD 中点.
(1)用空间向量证明 :AM⊥MC,平面 ABM ⊥平面 PCD ; ....... (2)求直线 CD 与平面 ACM 所成的角的正弦值; (3)求点 N 到平面 ACM 的距离.

N

M

A B

D

C
2

21. 已知椭圆

x y a 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1、F2 ,离心率 e ? ?2. , 2 2 a b c
????? ???? ?

2

2

(I)求椭圆的标准方程; (II)过点 F1 的直线 l 与该椭圆交于 M、N 两点,且 F2 M ? F2 N ?

2 26 ,求直线 l 的方程. 3

20.如图所示,建立空间直角坐标系,则 A(0,0,0) , P(0,0,4) , B(2,0,0) , C (2,4,0) , D(0,4,0) , M (0,2,2) ;

设平面 ACM 的一个法向量 n ? ( x, y, z ) ,由 n ? AC , n ? AM 可得: ? (1)略

?

?

???? ?

???? ?

? ?2 x ? 4 y ? 0 ,令 z ? 1,则 n ? (2, ?1,1) 。 ?2 y ? 2 z ? 0

??? ? ? CD ? n 6 (2)设所求角为 ? ,则 sin ? ? ??? , ? ? ? 3 CD n
(3)由条件可得, AN ? NC .在 Rt ?PAC 中, PA2 ? PN ? PC ,所以 PN ?

8 10 ,则 NC ? PC ? PN ? , 3 3

??? ? ? AP ? n 2 6 NC 5 5 , ? ,所以所求距离等于点 P 到平面 ACM 距离的 ,设点 P 到平面 ACM 距离为 h 则 h ? ? ? 3 PC 9 9 n
所以所求距离为

5 10 6 。 h? 9 27

21. (本小题满分 12 分)

?c 2 ? ? ?a 2 ,解得 a ? 2, c ? 1 解(I)由已知得 ? 2 ?a ? 2 ? ?c
∴ 所求椭圆的方程为

∴ b?

a2 ? c2 ? 1

x2 ? y2 ? 1 . 2

(II)由(I)得 F1 (?1,0) 、 F2 (1, 0)

? x ? ?1 2 ? ①若直线 l 的斜率不存在,则直线 l 的方程为 x ? ?1 ,由 ? x 2 得y?? 2 2 ? ? y ?1 ?2
设 M ( ?1,

????? ???? ? 2 2 2 2 ) ? ( ?2, ? ) ? ( ?4, 0) ? 4 ,这与已知相矛盾。 ) 、 N (?1, ? ) ,∴ F2 M ? F2 N ? (?2, 2 2 2 2

②若直线 l 的斜率存在,设直线直线 l 的斜率为 k ,则直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) ,

? y ? k ( x ? 1) ? 2 2 2 2 设 M ( x1 , y1 ) 、 N ( x2 , y2 ) ,联立 ? x 2 ,消元得 (1 ? 2k ) x ? 4k x ? 2k ? 2 ? 0 2 ? ? y ?1 ?2


x1 ? x2 ?
?????

?4k 2 2k 2 ? 2 , x x ? ,∴ 1 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2
???? ?

y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ? 2) ?

2k , 1 ? 2k 2

又∵ F2 M ? ( x1 ? 1, y1 ), F2 N ? ( x2 ? 1, y2 ) ∴ ∴

????? ???? ? F2 M ? F2 N ? ( x1 ? x2 ? 2, y1 ? y2 )

2 2 ????? ???? ? ? 8k 2 ? 2 ? ? 2k ? 2 26 2 2 F2 M ? F2 N ? ( x1 ? x2 ? 2) ? ( y1 ? y2 ) ? ? ?? ? 2 ? 2 ? 3 ? 1 ? 2k ? ? 1 ? 2 k ?
4 2

化简得 40k ? 23k ? 17 ? 0 解得 k ? 1或k ? ?
2 2

17 (舍去) 40



k ? ?1

∴ 所求直线 l 的方程为 y ? x ? 1或y ? ? x ? 1 .


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