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高中数学选修4-4 简单曲线的极坐标方程(第一课时)


复习
1、极坐标系的四要素 极点;极轴;长度单位;角度单位 及它的正方向。 2、点与其极坐标一一对应的条件 ? ? 0,? ? [0,2? ) 3、极坐标与直角坐标的互化公式 y 2 2 2 ? ? x ? y , tan ? ? ( x ? 0) x

x ? ? cos? , y ? ? sin?

探索?
1、极坐标系中点的对称关系? ? ?,? ?关于极轴所在直线对称的点为 ? ?, ?? ? ? ?,? ? 关于极点对称的点为 ? ?,? ? ? ? ? 2、已知极坐标系中两点 P(3, ? ) 6 ? 如何求线段|PQ|的长? Q ( 2, ),
2

推广:极坐标系内两点 P( ?1 ,?1 ),Q( ? 2 ,? 2 ) 的距离公式:| PQ |? ?12 ? ? 2 2 ? 2?1 ? 2 cos(?1 ? ? 2 )

| PQ |? 19

四、拓展:
1、在极坐标系中,O是极

? 5? 点,设点A(4, ),B(5, ? ), 6 3
则△OAB的面积是______, 5
41 ? 20 。 3 |AB|=
O B x A

? (2)在极坐标系中,与点 ( 3, ? ) 关 3
? 3, ? ? 3?

于极轴所在直线对称点的极坐标是_; ? ??
(3)在极坐标系中,若等边△ABC的 ? 5? ,则顶点C的 两个顶点 A( 2, ), B( 2, ) 4 4 坐标是______。
3 ? ? 3 ? ? ? 2 3, ? ? 或 ? 2 3, - ? ? 4 ? ? 4 ? ?

探究:如图,半径为a的圆的圆心坐标为
(a,0)(a>0),你能用一个等式表示圆上任 意一点的极坐标(?,?)满足的条件?

M (?,?) A

O

C(a,0)

x

解:圆经过极点O。设圆与 极轴的另一个交点 是A,那么 OA =2a,

M (?,?)

O

C(a,0)

A

x

设M ( ? , ? )为圆上除点O,A 以外的任意一点,那么OM ? AM。在Rt ?AMO 中 OM ? OA cos ?MOA即?=2a cos ? ...........(1) 可以验证,点O(0, ), A(2a, 0)的坐标满足等式(1) 2 所以,等式(1)就是圆上任意一点的极 坐标( ? ,? )
满足的条件,另一方面 ,可以验证,坐标适合 等式(1)的点都在这个圆上。

?

思考:如图,半径为a的圆的圆心坐标为 C ? a,?1 ? a>0),你能用一个等式表示圆上任意 一点的极坐标(?,?)满足的条件?
M (?,?)

A

C ? a,?1 ?

O

x

? ? 2a cos(? ? ?1 )

曲线的极坐标方程

一 定义:如果曲线C上的点与方程 f(?,?)=0有如下关系 (1)曲线C上任一点的坐标(所有坐标 中至少有一个)符合方程f(?,?)=0 ; (2)以方程f(?,?)=0的所有解为坐标的 点都在曲线C上。 则曲线C的方程是f(?,?)=0 。

二 求曲线的极坐标方程的步骤:
与直角坐标系里的情况一样

①建系 (适当的极坐标系)
②设点 (设M( ?,?)为要求方程的曲线上任意一点)

③列等式(构造⊿,利用三角形边角关系的定理列关于M的等式)
④将等式坐标化

⑤化简

(此方程f(?,?)=0即为曲线的方程)

例1、已知圆O的半径为r,建立怎样的极坐 标系,可以使圆的极坐标方程简单?
M

?
O

?
r x

解:如果以圆心 为极点,从O出发的一条射线 O 为极轴建立坐标系(如 图),那么圆上各点的 几 何特征就是它们的极径 都等于半径r. 设M ( ? ,? )为圆上任意一点,则 OM ? r ,即

?=r
显然,使极点与圆心重 合时的极坐标方程在形 式 上比(1)简单。

思考:已知一个圆的极坐标方程是

?=5 3 cos ? ? 5sin ?,
求在直角坐标系下圆心坐标和半径。 解:?=5 3 cos ? ? 5sin ? 两边同乘以? 得
? =5 3? cos ?-5? sin ?即化为直角坐标为
2

5 3 2 5 2 x ? y ? 5 3 x ? 5 y  即( x ? ) ? ( y ? ) ? 25 2 2 5 3 5 所以圆心为( , ? ), 半径是5 2 2
2 2

你可以用极坐标方程直接来求吗?

已知一个圆的极坐标方程是?=5 3 cos ? ? 5sin ?, 求圆心坐标和半径。

解:原式可化为 3 1 ? ?=10(cos ? ? ? sin ? ? ) ? 10 cos(? ? ) 2 2 6 所以圆心为(5, ? ), 半径为5 6

?

结论:

圆心为(a,?1 )(a ? 0)半径为a,圆的极坐

标方程为?=2a cos(? ? ?1 ),此圆过极点O。

练习1 求下列圆的极坐标方程 (1)中心在极点,半径为2;

?=2

(2)中心在C(a,0),半径为a;

?=2acos ? (3)中心在(a,?/2),半径为a; ?=2asin ?

(4)中心在C(?0,?0),半径为r。 ?2+ ?0 2 -2 ? ?0 cos( ?- ?0)= r2

解:设P(ρ,θ)为圆周上任意一点,如下图所示,在 △OCP中,CP=r,OC=ρ1,OP=ρ. 根据余弦定理,得 CP2=OC2+OP2-2OC·OP·cos(θ-θ1), 即r2=ρ21+ρ2-2ρ1ρcos(θ-θ1). 也就是ρ2-2ρ1ρcos(θ-θ1)+(ρ21-r2)=0. 这就是圆在极坐标系中的一般方程.
变式1: 在极坐标平面上, 求圆心A(8, ), 半径为5的圆的方程. 3

?

练习2
1.以极坐标系中的点(1,1)为圆心,1为 半径的圆的方程是( )

?? ?? ? ? A.? ? 2 cos? ? ? ? B .? ? 2 sin? ? ? ? 4? 4? ? ? C .? ? 2 cos?? ? 1? D .? ? 2 sin?? ? 1?
2、曲线的极坐标方程 ?=4 sin ?化为直角坐标

方程是什么?

x ? ( y ? 2) ? 4
2 2

3、极坐标方程? ? cos( ? ? )所表示的 4 曲线是 ( D )
A、双曲线 C、抛物线 B、椭圆 D、圆

?

解:该方程可以化为 =cos(? ? ) ? 4 1 ? 1 以( , )为圆心, 为半径的圆。 2 4 2

?

解:?=cos? cos
2

?
4

? sin ? sin

?
4

2 2 ? ? ? cos? ? ? sin ?即 2 2 2 2 2 2 x ?y ? x? y?0 2 2 2 2 2 2 1 (x ? ) ? (y ? ) ? 4 4 4

4、圆?=10 cos( ? ? )的圆心坐标是 ( C ) 3 ? ? 2? C、 , ) (5 (5 A、 ,0) B、 ,? ) (5 D、 , ) (5 3 3 3 ? 5、写出圆心在点A(2, )处且过极点的圆的 2 极坐标方程,并把它化成直角坐标方程。 ? 解:?=4 cos(? ? ) ? 4sin ?
2 化为直角坐标系为? 2=4 ? sin ?
2 2 2 2

?

即x ? y ? 4 y   x ? ( y ? 2) ? 4

6、已知圆C1 : ? ? 2cos ? ,圆C2 : ? 2 ? 2 3? sin ? ? 2 ? 0, 试判断两圆的位置关系。
解:将两圆都化为直角 坐标方程为 C1 : ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 1,圆心O1 (1,0)半径为 1 C2 : x 2 ? ( y ? 3 ) 2 ? 1,圆心O2 (0, 3 )半径为 1 O1O2 ? 2所以两圆相外切。

7、从极点O作圆C:?=8cos ?的弦ON, 求ON的中点的轨迹方程。
M

N

解:如图,圆C的圆心(4, 0), 半径r ? OC ? 4,

O

C(4,0)

连结CM , M 是弦ON的中点 ? ? CM ? ON , 所以,动点M 的轨迹方程是?=4 cos ?

四 直线的极坐标方程:

思考:在平面直角坐标系中
过点(3,0)且与x轴垂直的直线方程为 x=3 过点(2,3)且与y轴垂直的直线方程为 y=3 ;

例1:

? ⑴求过极点,倾斜角为 的射线的极坐标方程。 4
M
? 4

o



x

? ?

?
4

( ? ? 0)

5? (2)求过极点,倾斜角为 4 的射线的极坐标方程。

5 ? ? ? ( ? ? 0) 4 ? (3)求过极点,倾斜角为 的直线的极坐标方程。 4 5 ? ? ( ? ? 0) 和 ? ? ? ( ? ? 0) 4 4

?

和前面的直角坐标系里直线方程的表示形

式比较起来,极坐标系里的直线表示起来很不
方便,要用两条射线组合而成。原因在哪?

??0

为了弥补这个不足,可以考虑允许极径可以

取全体实数。则上面的直线的极坐标方程可
以表示为

??

?

4

( ? ? R)



5 ? ? ? ( ? ? R) 4

例2、求过点A(a,0)(a>0),且垂直于极轴的直 线L的极坐标方程。(学生们先自己尝试做) 解:如图,建立极坐标系,设点 M ( ? , ? ) M 为直线L上除点A外的任意一点, ? 连接OM 在 Rt ?MOA 中有 ﹚? OM cos ?MOA ? OA o A x 即

? cos? ? a

可以验证,点A的坐标也满足上式。
交流做题心得归纳解题步骤:

求直线的极坐标方程步骤 1、据题意画出草图; 2、设点 M ( ? , ? ) 是直线上任意一点;

3、连接MO;
4、根据几何条件建立关于 ? ,? 的方 程, 并化简; 5、检验并确认所得的方程即为所求。

练习1求过点A (a,?/2)(a>0),且平行于 极轴的直线L的极坐标方程。 解:如图,建立极坐标系, 设点 M ( ? , ? ) 为直线L上除点

A
o

A外的任意一点,连接OM
在 Rt ?MOA 中有

? ﹚?

M x

IOMI sin∠AMO=IOAI 即 ? sin ? =a 可以验证,点A的坐标也满足上式。

课堂练习2 设点A的极坐标为 ( a , 0) ,直线 l 过点 A且与极轴所成的角为? ,求直线l 的极坐标方程。 解:如图,建立极坐标系,设点 M ( ? , ? ) 为直线 l 上异于A点的任意一点,连接OM, 在 ?MOA 中,由正弦定理 得 M


? a ? ? ﹚ ﹚? sin(? ? ? ) sin(? ? ? ) o A

?

x

化简得

? sin(? ? ? ) ? a sin?

显然A点也满足上方程

例3:设点P的极坐标为( ?1 ,?1 ),直线 l 过点P且 与极轴所成的角为? ,求直线 l 的极坐标方程。 解:如图,设点 M ( ? , ? )为直线上除点P外 的任意一点,连接OM,则 OM ? ? , ?xOM ? ? 由点P的极坐标知 OP ? ?1 ?xOP ? ?1 设直线L与极轴交于点A。则在?MOP 中 ?OMP ? ? ? ? , ?OPM ? ? ? (? ? ?1 ) M ? 由正弦定理得 OM ? OP ?1 P sin ?OPM sin ?OMP ?1 ? ? ? 即 ﹚?1 ﹚ sin[? ? (? ? ?1 )] sin(? ? ? ) o x A ? sin(? ? ? ) ? ?1 sin(? ? ?1 ) 显然点P的坐标也是上式的解。

练习3 求过点P(4,?/3)且与极轴夹角为?/6的直线 l 的 方程。

? sin(? ? ) ? 2
6

?

直线的几种极坐标方程 1、过极点

l

? ? ? 0( ? ? R)

o ﹚
?

?

M A M x

2、过某个定点垂直于极轴

? cos? ? a

o

﹚? A

3、过某个定点平行于极轴 o x ? sin ? =a 4、过某个定点 ( ?1 ,?1 ) ,且与极轴成的角度a M ? sin(? ? ? ) ? ?1 sin(? ? ?1 ) ?
?1

? ﹚?

o

? ﹚1

P ? ﹚ x A

小结: (1)曲线的极坐标方程概念 (2)求曲线的极坐标方程的步骤 (3)会求圆的极坐标方程 (3)会求直线的极坐标方程


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