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高三数学第三次周周练测试题(理科)

高三数学第三次周周练测试题(理科)
第 I 卷(选择题 共 60 分)

参考公式:如果事件 A、B 互斥,那么 P(A+B)=P(A)+P(B) 如果事件 A、B 相互独立,那么 P(A?B)=P(A)?P(B) 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P, 那么 n 次独立重复试验中恰好发生

k 次的概率 Pn(k)=C k P k (1 一 P) n? k n
球的表面积公式 S 球=4π R (其中 R 表示球的半径) 球的体积公式 V=
2

4 3 π R (其中 R 表示球的半径) 3

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。

? 1. tan( 600?) 的值为
A. 3 2. i 是虚数单位,复数 z ? A.-1- i B. - 3 C. 3 3 D. 3 3

(1 ? i) 2 等于 1? i
B. -1+ i C. 1- i
?1

D. 1+ i

3.已知函数 f ( x) ? a x?1 的反函数的图像经过点(4,2) ,则 f A.1 2 B. 3 2 C. 2

(2) 的值为
D. 4

4.在等比数列 ?an ? 中,其公比 q ? 1 ,且 a1 ? a6 ? 8, a1 ? a6 ? 12, 则 1 3

a11 ? a6
D. 1 或3 3

A. 3

B.

C. 10

5.已知平面上三个点 A、B、C 满足 | AB |? 3, BC |? 4, CA |? 5 , | | 则 AB ? BC ? BC ? CA ? CA ? AB 的值等于
本卷第 1 页(共 8 页)

A.25

B.24

C.- 25

D. – 24

6.在一个 45°的二面角的一个面内有一条直线与二面角的棱成 45°角,则此直线与二面 角的另一个面所成的角为 A.30° 7. f ( x) ? B.45° C.60° D.90°

1? x ? 1? x ( x ? 0) ,那么给 f (0) 一个定义,使 f (x) 在 x ? 0 处连续,则 x

f (0) 的值为
A.0 B.-1 C.1 D. 1 2

8.若圆锥曲线

x2 y2 ? ? 1 的焦距与 k 无关,则它的焦点坐标为 k ?2 k ?5
B.(± 3 ,0) C.(0,± 7 ) D. (± 7 , 0)

A.(0,± 3 )
?

9. 当 n ? N 且n ? 2 时 , 1 ? 2 ? 2 2 ? ? ? 2 4n?1 ? 5 p ? q ( 其 中 p、q ? N 且

0 ? q ? 5 ) q 的值为 ,则
A.0 B.1 C.2 D.与 n 有关

10.符号[x]表示不超过 x 的最大整数, ? ]=3, [-1.08]=-2, 如[ 定义函数 f ( x) ? x ? [ x] , 则下列命题正确的个数是 ①函数 f (x) 的定义域为 R,值域为[0,1]; ③函数 f (x) 是周期函数; A.1 B.2 ②方程 f (x) = 1 有无数多解; x

④函数 f (x) 是增函数. C.3 D.4

11. 已 知 三 棱 锥 S-ABC 的 四 个 顶 点 在 以 O 为 球 心 的 同 一 球 面 上 , 且 SA=SB=SC=AB,∠ACB=90°,则当球面积为 400 ? 时,点 O 到平面 ABC 的距离为 A.8 B.6 C.5 D.4

12.已知定点 A(2,2) ,点 F 为椭圆

x2 y2 ? ? 1 的上焦点,点 M 在椭圆上运动,设 9 25

本卷第 2 页(共 8 页)

MA ? MF 的最大值为 m , MA ?
A.

5 MF 的最小值为 n ,则 m? n 等于 4
C. 10? 2 2 D.

57 ? 2 10 4

B.

57 ? 2 10 4

17 ?2 2 4

第 II 卷(非选择题,共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上。 13.2008 年北京将举行夏季奥运会, 五个吉祥物站在一排进行游戏表演, 其中“欢欢”不 站在两边的排法种数为___________.

?3x ? 4 y ? 12 ? 0 ? 14.线性目标函数 z ? x ? y 在条件 ?2 x ? y ? 8 ? 0 ( x, y ? R ) 下的最大值为________. ?x ? 2 y ? 6 ? 0 ?
15.已知函数 f ( x) ? log1 ( x ? ax ? 3a) 在区间[2,+∞)上是减函数,则实数 a 的取值范
2 2

围是______

__.

16.过点 M ( ,1) 的直线 l 与圆 C: ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 4 交于 A、B 两点,C 为圆心,当∠ACB 最小时,直线 l 的方程为___________ _.

1 2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或推演步骤。 17.(本小题满分 10 分) 在 △ABC 中 , A 、 B 、 C 为 三 角 形 的 三 个 内 角 , 且 A ? B ? C ,

sin B ?

4 4 , cos( 2 A ? C ) ? ? ,求 cos(A+C)和 cos2A 的值. 5 5

18.(本小题满分 12 分) 某为用一颗骰子(各面上分别标以 1 到 6 的均匀正方体玩具)做抛掷得分游戏,规 则如下:若抛出的点数为 3 的倍数,则得 1 分,否则得-1 分. (1)求抛掷 4 次至少得 2 分的概率; (2)求抛掷 4 次所得分数 ? 的分布列和数学期望.

本卷第 3 页(共 8 页)

19.(本小题满分 12 分) 如图所示, 在四棱锥 P ? ABCD 中, 底面 ABCD 是 平 行 四 边 形 , PA ? 平面 ABCD , 且

PA ? AD ? 2a, AB ? a, AC ? 3a .
(1)求异面直线 PC和BD 所成角的余弦值; (2)设二面角 A ? PC ? B 的大小为 ? ,求 tan ? 的值; (3)求点 D 到面 PBC 的距离. 20.(本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 的首项为 a1 , n 项和 S n , 前 且点 ( 为常数, n ? N . (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)当 a1 =10,且 S10 最大时,试求 p 的取值范围. 21.(本小题满分 12 分) 设 x, y ? R ,向量 a ? ( x ? 3, y), b ? ( x ? 3, y) 且 | a | ? | b |? 4. (1)求点 M ( x, y ) 的轨迹 C 的方程; (2)过点 P(0,2)的直线 l 交曲线 C 于不同的 A、 两点 点在 P、 之间)设 PA ? ? PB , B (A B , 直线 l 的倾斜角为 ? ,当 ? ? [ 22.(本小题满分 12 分)
2 设函数 f ( x) ? (a ? x) ? 2 ln( ? x) ,且 f (x) 在 x ? 0 处取得极值. 1
?

S n S n?1 , ) 在直线 y ? x ? p 上,p n n ?1

? 3?
4 , 4

] 时,求实数 ? 的取值范围.

(1)求实数 a 的值; (2)若存在 x0 ? [0,1] 使不等式 f ( x0 ) ? m ? 0 能成立,求实数 m 的最小值; (3)关于 x 的方程 f ( x) ? x ? x ? m 在[0,2]上恰有两个相异实根,求实数 m 的取
2

值范围.
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第三次周周测理科数学参考答案及评分标准
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 题号 答案 1 B 2 B 3 B 4 A 5 C 6 A 7 C 8 C 9 A 10 B 11 C 12 B

二、填空题 13.72 ; 14.14 ; 15. ? ?4, 4? ; 16. 2 x ? 4 y ? 3 ? 0 三、解答题:17. 解:? A ? B ? C , A ? B ? C ? 180 ,? 0 ? B ?
?

?
2

, 0 ? 2A ? C ? ? , ··· 分 ··5 ··

4 4 3 得 sin ? A ? C ? ? , cos ? A ? C ? ? ? , 5 5 5 4 3 又 cos ? 2 A ? C ? ? ? , 得 sin ? 2 A ? C ? ? 5 5 7 ? sin A ? sin ?? 2 A ? C ? ? ? A ? C ? ? ? ? ? 25 527 ? cos 2 A ? 1 ? 2sin 2 A ? 625
由 sin B ? 18. 解: (1)设“抛一颗骰子掷出的点数为 3 的倍数”为事件 A, 则 P ? A? ?

··· 分 ··10 ··

1 2 ? , P A ? , 抛掷 4 次至少得 2 分, 包括得 2 分和得 4 分两种情形; 3 3
3 3 4

? ?

?1? 2 8 若得 2 分,需 4 次中事件 A 发生 3 次,其概率为 P ? C ? ? ? ? 1 ? 3 ? 3 81 1 ?1? 若得 4 分,需 4 次中事件 A 发生 4 次,其概率为 P ? ? ? ? 2 ? 3 ? 81
故所求的概率为 P ? P ? P2 ? 1 (2) ? 的分布列为
4

1 9
-2 0 2 4

··· 分 ··5 ··

?
P

-4

16 81

32 81

24 81

8 81

1 81
··· 分 ··10 ··

故 E? ? ?4 ?

16 32 24 8 1 4 ? ? ?2 ? ? ? 0 ? ? 2 ? ? 4 ? ? ? 81 81 81 81 81 3
本卷第 5 页(共 8 页)

··· 分 ··12 ··

19.解: (1)过点 C 作 CE ? BD 与 AD 的延长线于点 E,则

?PCE 为异面直线 PC 和 BD 的所成角或其补角

? 地 面 ABCD 时 平 行 四 边 形 , BC=AD= 2a ,
AB ? a, AC ? 3a

? 在 ?ABC中, ?BCD ? 120? ,
?在?ABC中, BD2 ? 7a2 ,? CE 2 ? 7a 2 ,
又PA ? 平面ABCD ? PA ? AE ,在 Rt?PAE中,PE 2 ? 20a2 ,
在 Rt ?PAC中,PC ? 7a ,在 ?PCE中, cos ?PCE ?
2 2

PC 2 ? CE 2 ? PE 2 3 ?? 2 PC ? CE 7
··· 分 ··4 ··

3 ? 异面直线 PC 和 BD 所成角的余弦值为 。 7

(2)由(1)知, BA ? AC, PA ? 平面ABCD,? PA ? BA

? BA ? 平面PAC ,过点 A 作 AH ? PC 于 H,连 BH,
由三垂线定理知, BH ? PC ,? ?BHA 为二面角 A-PC-B 的平面角 ? ; 在 Rt ?PAC中,AH ?PC ? PA?AC , AH ?

2 3 a 7
··· 分 ··8 ··

? tan ?BHA ?

BA a 21 21 ? ? ,? tan ? ? AH 2 3 6 6 a 7

(3)? AD ? BC,? AD ?面PBC ,? 点 D 到面 PBC 的距离即是点 A 到面 PBC 的距离,

h 设点 A 到面 PBC 的距离为 h ,由 VA? PBC ? VP ? ABC , 得 S ?PBC ? ?

1 3

1 S ?ABC ?PA 3
··· 分 ··12 ··

?h ?

2 57 a 19

本卷第 6 页(共 8 页)

20. 解: (1)由题意可知

S n ?1 S n ?S ? ? ? ? p ? 数列 ? n ? 时等差数列 ··· 分 ··2 ·· n ?1 n ?n?

Sn S1 ? ? ? n ? 1? p,? S n ? na1 ? ? n ? 1? np n 1
当 n ? 2时,Sn-1 ? ? n ?1? a1 ? ? n ? 2?? n ?1? p 两式相减,得 an ? ?2 pn ? a1 ? 2 p ? n ? 2? ··· 分 ··4 ··

n ? 1 时也成立

??an ? 的通项公式得: an ? ?2 pn ? a1 ? 2 p
(2)由前 n 项和公式得 Sn ? ? pn2 ? na1 ? pn 当 a1 ? 10时,Sn ? ? pn ? ?10 ? p ? n
2

··· 分 ··6 ··

? a10 ? 0 1 5 ,解得 ? p ? ? S10 最大,则有 ? 2 9 ? a11 ? 0
21. 解: (1)由已知得: 设 F1 ? 3, 0 , F2

··· 分 ··12 ··
2

? x ? 3?

2

? y2 ?

?x ? 3?

? y2 ? 4 ,

?

? ?
?

3, 0 则由 MF ? MF2 ? 4 ,又 F1F2 ? 2 3, MF1 ? MF2 ? F1F2 , 1

?

所以轨迹 C 是以 F1、F2 为焦点,长轴长为 4 的椭圆,方程为 (2)若 a ?

x2 ? y 2 ? 1 ··· 分 ··4 ·· 4

??? 1 ??? ? ? 1 , 则PA ? PB,? ? ? 2 3 3 ? 3? ? , 且? ? , 则k 2 ? tan 2 ? ? 1 若 ?? ? 4 4 2

··· 分 ··6 ··

x2 ? y 2 ? 1,得 ?1 ? 4k 2 ? x 2 ? 16kx ? 12 ? 0 设: y ? kx ? 2, 代入 4
3 2 ,? k ? 1 ··· 分 ··8 ·· 4 16k 12 设 A? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,则 x1 ? x2 ? ? ·· , x1 x2 ? ·· ·③ ·· ·· ·④ 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2
由 ? ? ?16k ? ? 48 1 ? 4k
2 2 2

?

? ? 0, 得k

?

本卷第 7 页(共 8 页)

由 PA ? ? PB, 得 ? x1 , y1 ? 2 ? ? ? ? x2 , y2 ? 2 ? ,? x1 ? ? x2 代入③ 得 ? ? ? 1? x2 ? ④ 又 ? ? 0,? x2 ? ?

??? ?

??? ?

16k 12 2 , ? x2 ? 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2

256k 2 12 16k ,? ? ? ? 2 2 2 2 ? ? ? 1? ?1 ? 4k ? ? ? ? 1? ?1 ? 4k 2 ? 1 ? 4k

?

?

? ? ? 1?

2

?

1 3 5 3? 1 3 ? 15 ? 2 , 解得 ? ? ? 或 ? ? ? 3 ? ? 2 ? 4 ? ? k ? 1,? ? 2 3 5 3 16 ? ? ? 1? 64 64 ? k ? 1 3 ??? 3 5 2 , 令 f ' ? 0? ? 0, 得a ? 1 1? x
··· 分 ··12 ··

综上所述,

22. 解: (1)? f ' ? x ? ? 2 ? a ? x ? ? (2)依题意得 f ? x ?min ? m ,

由(1)知 f ? x ? ? ?1 ? x ? ? 2 ln ?1 ? x ? ,定义域为 ?x | x ? ?1 ?
2

? f ? x ? ? 2 ?1 ? x ? ?

2 ,令 f ? x ? ? 0得x ? ?2(舍),0 1? x

?当x ??0,1?时f ? x ? ? 0, 故f ? x ? 为增函数 ? f ? x ?min ? f ? 0? ? 1?m ? 1,即m 的最小值为 1
··· 分 ··8 ··

(3)依题意得, ?1 ? x ? ? 2ln ?1 ? x ? ? m在?0,2? 上恰有两个相异实根, 令 g ? x ? ? ?1 ? x ? ? 2ln ?1 ? x ? 得 g ' ? x ? ?

x ?1 x ?1

?当x ? 1时, g ' ? x ? ? 0,当?1 ? x ? 1时, g ' ? x ? ? 0
故 g ? x ? 在?0,1? 上是减函数,在?1,2? 上时增函数

? g ? 0? ? g ? 2? ,? g ?1? ? m ? g ? 2?
? e2 e3 ? ? 2 ? 2ln 2 ? m ? 3 ? 2ln 3, 即m ? ? ln ,ln ? 9? ? 4
··· 分 ··12 ··

本卷第 8 页(共 8 页)


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