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2011-2017年新课标全国卷2理科数学试题分类汇编——13.坐标系与参数方程

2011 年—2017 年新课标全国卷Ⅱ理科数学试题分类汇编 13.坐标系与参数方程 (2017· 22)[选修 4-4:坐标系与参数方程](10 分) 在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴的正 半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C1 的极坐标方程为 ? cos ? ? 4 . (1)M 为曲线 C1 上的动点,点 P 在线段 OM 上,且满足 | OM | ? | OP |? 16 ,求点 P 的轨迹 C2 的直角 坐标方程; (2)设点 A 的极坐标为 (2, ? 3 ) ,点 B 在曲线 C2 上,求 ?OAB 面积的最大值. 23)【选修 4-4:坐标系与参数方程】在直角坐标系 xOy 中,圆 C 的方程为 ( x + 6)2 + y 2 = 25 . (2016· (Ⅰ)以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求 C 的极坐标方程; (Ⅱ)直线 l 的参数方程是 ? ? x ? tcos? (t 为参数),l 与 C 交于 A,B 两点, AB = 10 ,求 l 的斜率. ? y ? tsin? (2015· 23)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1: ? ? x ? t cos ? (t 为参数,t≠0)其中 0 ? ? ? ? ,在以 O 为 ? y ? t sin ? 极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C2: ? ? 2sin ? ,C3: ? ? 2 3 cos? . (Ⅰ)求 C2 与 C3 交点的直角坐标; (Ⅱ)若 C1 与 C2 相交于点 A,C1 与 C3 相交于点 B,求|AB|的最大值. (2014· 23)在直角坐标系 xoy 中,以坐标原点为极点,x 轴为极轴建立极坐标系,半圆 C 的极坐标方程为 ? ? 2 cos ? , ? ?[0, ? ] . 2 (Ⅰ)求 C 的参数方程; (Ⅱ)设点 D 在 C 上,C 在 D 处的切线与直线 l : y ? 3x ? 2 垂直,根据(Ⅰ)中你得到的参数方程, 确定 D 的坐标. t , ?x ? 2 c o s ( 2013· 23 ) 已 知 动 点 P , Q 都 在 曲 线 C : ? ( t 为 参 数 ) 上 , 对 应 参 数 分 别 为 t ?? 与 t ? y ? 2 sin t ? 2? (0 ? ? ? 2? ) , M 为 PQ 的中点. (Ⅰ)求 M 的轨迹的参数方程; (Ⅱ)将 M 到坐标原点的距离 d 表示为 ? 的函数,并判断 M 的轨迹是否过坐标原点. (2012· 23)已知曲线 C1 的参数方程是 ? ? x ? 2cos ? ( ? 为参数) ,以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极 ? y ? 3sin ? ? 3 轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程是 ρ = 2. 正方形 ABCD 的顶点都在 C2 上,且 A,B,C,D 依 逆时针次序排列,点 A 的极坐标为 ( 2, ) . (Ⅰ)点 A,B,C,D 的直角坐标; (Ⅱ)设 P 为 C1 上任意一点,求|PA|2 + |PB|2 + |PC|2 + |PD|2 的取值范围. ? x ? 2cos ? (2011· 23)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 ? ( ? 为参数) ,M 是 C1 上的动点, ? y ? 2 ? 2sin ? uu u v uuuv P 点满足 OP ? 2OM ,P 点的轨迹为曲线 C2. (Ⅰ)求 C2 的方程; (Ⅱ)在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线 ? ? 与 C2 的异于极点的交点为 B,求|AB|. ? 与 C1 的异于极点的交点为 A, 3 2011 年—2017 年新课标全国卷Ⅱ理科数学试题分类汇编 13.坐标系与参数方程(逐题解析版) (2017· 22)[选修 4-4:坐标系与参数方程](10 分) 在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴的正 半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C1 的极坐标方程为 ? cos ? ? 4 . (1)M 为曲线 C1 上的动点,点 P 在线段 OM 上,且满足 | OM | ? | OP |? 16 ,求点 P 的轨迹 C2 的直角 坐标方程; (2)设点 A 的极坐标为 (2, ? 3 ) ,点 B 在曲线 C2 上,求 ?OAB 面积的最大值. (2017· 22)解析: (1)解法一:设 P 点在极坐标下坐标为 ? ? ,? ? 由 OM ? OP ? 16 可得 M 点的坐标为 ? ? 16 ? ,? ? ,代入曲线 C1 的极坐标方程,得: ?? ? 16 ? 2 2 即 ? ? 4c 两边同乘以 ? , 化成直角坐标方程为:x ? y ? 4 x , 由题意知 ? ? 0 , o s ?, cos ? ? 4 , 所以检验得 x2 ? y 2 ? 4 x( x ? 0) . 解法二:设 P 点在直角坐标系下坐标为 ? x, y ? ,曲线 C1 的直角坐标方程为 x ? 4 ,因为 O, P, M 三点共线, 所以 M 点的坐标为 ? 4, ? ? 4y ? 16 y 2 ,代入条件 得: 16 ? ? x 2 ? y 2 ? 16 ,因为 x ? 0 , OM ? OP ? 16 ? 2 x ? x 化简得: x2 ? y 2 ? 4 x( x ? 0) . ( 2 ) 解 法 一 : 由 ( 1 ) 知 曲 线 C2 的 极 坐 标 方 程 为 ? ? 4 cos , ? , 故 可 设 B 点 坐 标 为 ( 4 cos ?? , ) 1 ? S?OAB ? ? 2 ? 4cos ? ? sin( ? ? ) ? 2 3 cos ? 2 ? 2sin ? cos ? ? 2 3 ? ? 2 s i n? ( 2? 3 3 cos 2? ? sin 2? ? 3 ? ? ) 由

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