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2015-2016学年高中数学人教新课标A版必修2第9课时_图文

目标导航 1.会判断直线与平面、平面与平面的位置关系.(重点、易错 点) 2.会用符号语言和图形语言表示直线和平面、平面和平面的 位置关系.(难点) 1 新知识· 预习探究 知识点一直线与平面的位置关系 直线与平面的位置关系 直线 a 在平面 α 外 直线 a 在 直线 a 与 位置关系 直线 a 与 平面 α 内 平 平面 α 平行 面 α 相交 一个公共 无数个 公共点 公共点 没有 公共点 点 符号表示 a?α a∩α=A a∥α 图形表示 【练习 1】 已知直线 l,m,平面 α,若 l∥m,且 l 与 α 相交, 则 m 与 α 的位置关系是( ) A.相交 B.m∥α C.m?α D.m?α 解析:可构造长方体判断 m 与 α 相交. 答案:A 知识点二 平面与平面的位置关系 位置 图示 表示法 关系 两平面 α∥β 平行 两平面 相交 公共点个数 没有公共点 有无数个公 α∩β=l 共点(在一 条直线上) 【练习 2】 下列命题错误的是( ) A.如果平面 α⊥平面 β,那么平面 α 内一定存在直线平行于平面 β B.如果平面 α⊥平面 β,那么平面 α 内所有直线都垂直于平面 β C.如果平面 α⊥平面 γ,平面 β⊥平面 γ,α∩β=l 那么 l⊥平面 γ D. 如果平面 α 不垂直于平面 β, 那么平面 α 内一定不存在直线垂 直于平面 β 解析:对于 B,若平面 α⊥平面 β,则平面 α 内的直线可能不垂直 于平面 β,甚至可能平行于平面 β,其余选项均是正确的,故选 B. 答案:B 2 新视点· 名师博客 1.空间中直线与平面位置关系的分类 直线与平面的位置关系有且只有三种: ?直线和平面平行 按公共点? ? ? (1) ?直线和平面相交 个数分类?直线和平面不平行? ?直线在平面内 ? ? ?直线在平面内 按是否在平? ? ? (2) ?直线和平面相交 面内分类 ?直线在平面外? ?直线和平面平行 ? ? 2.两个平面位置关系的画法 (1)两个平行平面的画法 画两个平行平面时,要注意把表示平面的平行四边形画成对应边 平行,如图(a). (2)两个相交平面的画法 ①先画表示两个平面的平行四边形的相交两边,如图(b). ②再画出表示两个平面交线的线段,如图(c). ③过图(c)中线段的端点分别引线段,使它们平行于图(c)中表示交 线的线段,如图(d). ④画出图(d)中表示两个平面的平行四边形的第四边(被遮住的线, 可以画成虚线,也可以不画),如图(e). 图(a) 图(b) 图(c) 图(d) 图(e) 3 新课堂· 互动探究 考点一 直线与平面的位置关系 例 1 下列说法: ①直线 l 可以与平面 α 内的两条相交直线都平行; ②若直线 a 在平面 α 外,则 a∥α; ③若直线 a∥b,直线 b?α,a?α,则 a∥α; ④若直线 a∥b,b?α,那么直线 a 就平行于平面 α 内的无数条直 线. 其中正确的个数为( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 分析:按照直线与平面平行的定义逐个判断或举反例否定. 解析:对于①,若 l 平行于 α 内两条相交直线,则由平行公理知 这两条相交直线平行,所以①是错误的.对于②,因为直线 a 在平面 α 外,包括两种情况:a∥α 和 a 与 α 相交,所以 a 和 α 不一定平行, 所以②是错误的.对于③,因为直线 a∥b,b?α,则说明 a 和 b 无公 共点, 但 a 又不在平面 α 内, 所以 a 一定平行于 α, 所以③是正确的. 对 于④,因为 a∥b,b?α,那么 a?α 或 a∥α,所以 a 与平面 α 内的无 数条直线平行,所以④是正确的. 答案:B 点评:直线与平面位置关系的判断 (1)空间直线与平面位置关系的分类是解决问题的突破口,这类判 断问题,常用分类讨论的方法解决.另外,借助模型(如正方体、长方 体等)也是解决这类问题的有效方法. (2)要证明直线在平面内,只要证明直线上两点在平面 α 内;要证 明直线与平面相交,只需说明直线与平面只有一个公共点;要证明直 线与平面平行,则必须说明直线与平面没有公共点. 变式探究 1 下列命题中正确命题的个数是( ) ①如果 a、b 是两条直线,a∥b,那么 a 平行于经过 b 的任何一个 平面; ②如果直线 a 和平面 α 满足 a∥α, 那么 a 平行于平面 α 内的任何 一条直线; ③如果直线 a、b 满足 a∥α,b∥α,则 a∥b; ④如果直线 a、b 和平面 α 满足 a∥b,a∥α,b?α,那么 b∥α; ⑤如果平面 α 的同侧有两点 A,B 到平面 α 的距离相等,则 AB∥ α. A.0 B.2 C .1 D . 3 解析: 如图,在长方体 ABCD-A′B′C′D′中, AA′∥BB′,AA′却在过 BB′的平面 AB′内, 故命题①不正确; AA′∥平面 B′C,BC?平面 B′C, 但 AA′不平行于 BC, 故命题②不正确; AA′∥平面 B′C,A′D′∥平面 B′C, 但 AA′与 A′D′相交,所以③不正确; ④中,假设 b 与 α 相交,因为 a∥b, 所以 a 与 α 相交,这与 a∥α 矛盾, 故 b∥α,即④正确; ⑤显然正确. 答案:B 考点二 直线与平面位置关系的证明 例 2 求证:两条平行线中的一条与已知平面相交,则另一条直 线也与该平面相交. 分析:利用定义证明直线与平面只有一个公共点,也可以用反证 法. 解析:已知:直线 a∥b,a∩α=P, 求证:直线 b 与平面 α 相交, 证明:如右图所示,∵a∥b,∴a 和 b 确定平面 β, ∵a∩α=P,∴平面 α 和平面 β 相交于过点 P 的直线 l. ∵在平面 β 内 l 与两条平行直线 a、b 中的一条直线 a 相交, ∴l 必与 b 相交, 设 b∩l=Q,又因为 b 不在平面 α 内

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