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2.3.1双曲线定义与标准方程(2课时)


问题1:椭圆的定义是什么?
平面内与两定点F1、F2的距离的 和 等于常数
2a ( 2a>|F1F2|>0) 的点的轨迹.
Y

M ? x, y ?

|MF1|+|MF2|=2a( 2a>|F1F2|>0)

F1 ?? c, 0 ?

O

F2? c, 0 ? X

问题2:如果把上述定义中“距离的和”改为 “距离的差”那么点的轨迹会发生怎样的变 化? 即:平面内与两定点F 、F 的距离的 差 等于常数
1 2

的点的轨迹是什么呢?

(1)取一条拉链,拉开一部分 (2)在拉开的两边上各选择一点,固定在 板上的两点 F1、F2 (3)把笔尖放在点M处,随着拉链逐渐拉

开闭拢,画出一条曲线

①如图(A),
|MF1|-|MF2|=|F2F|=2a ②如图(B), |MF2|-|MF1|=|F1F|=2a 由①②可得:

| |MF1|-|MF2| | = 2a (差的绝对值)
上面 两条合起来叫做双曲线

双曲线定义

平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝 对值等于常数(小于︱F1F2︱)的点的轨迹 叫做双曲线. ① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点;

②记 |F1F2|=2c ——焦距.

M o

||MF1|-|MF2||=2a ( 2a<2c)
注意

F1

F2

(1)2a<2c ;

(2)2a >0 ;

问题3:定义中为什么要强调差的绝对值?
1, 若 MF1 ? MF2 ? 2a

? 0 ? 2a ? F F ?
1 2

双曲线右支 则图形为 ______________________
2, 若 MF1 ? MF2 ? ?2a

? 0 ? 2a ? F F ?
1 2

F1

F2

双曲线左支 则图形为 ______________________

问题4:定义中为什么这个常数要小于|F1F2|? 如果不小于|F1F2 | ,轨迹是什么?
①若2a= |F1F2 | = 2c,则轨迹是什么? 此时轨迹为以F1或F2为端点的两条射线

②若2a> |F1F2 | = 2c,则轨迹是什么?
此时轨迹不存在
若2a = 0,则图形是什么?

生活中的双曲线

求曲线方程的步骤:

y
(x M , y)

1.建系:
2.设点: 设M(x , y),则F1(-c,0),F2(c,0)
F1
O

F2

x

3.找限制条件: |MF1| - |MF2|=±2a
4.代入坐标:


5.化简:

? x ? c?

2

?y ?
2

? x ? c?

2

? y ? ?2a
2

( x ? c) ? y ? ( x ? c) ? y ? ?2a
2 2 2 2

?

( x ? c) 2 ? y 2
2

? ?
2

? ?2a ? ( x ? c) 2 ? y 2
2 2

?

2

cx ? a ? ? a ( x ? c) ? y
2 2 2 2 2 2 2

(c ? a ) x ? a y ? a (c ? a )
2

x y ? 2 ?1 2 2 a c ?a

2

2

x y ? 2 ?1 2 2 a c ?a
在椭圆中 令a
2

2

2

?c ? b y
2

2

在双曲线中 令c 2
y

? a 2 ? b2
M

b

a
c

x

o

b
F1 O

c

a F2

x

得到焦点在x轴上 的双曲线标准方程

x2 y2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 a b

哪个系数是正的,它对应的字母 (x或y)就是焦点所在轴.
x y ? 2 ? 1(a y轴上,则双曲 ? 0, b ? 0) 2 如果焦点在 a b 线的标准方程为: 表示焦点在x轴上的双曲线 y 2 x2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 a b 表示焦点在y轴上的双曲线 其焦点坐标为(0,-c),(0,c)
2 2

y
M (x,y) F2(0,c)
O

x
F1
(0,-c)

其中:c ? a ? b .
2 2 2

问题:对于一个具体的双曲线方程,怎么判 断它的焦点在哪条轴上呢?

定义 焦点位置

| |MF1|-|MF2| | =2a(0 < 2a<|F1F2|) 焦点在X轴上
y
M
M F2

焦点在Y轴上
y

图形
F1 o F2

x
F1

x

方程
焦点
a.b.c 的关系

x y ? 2 ?1 2 a b
F ( ±c, 0)
2 2

2

2

y x ? 2 ?1 2 a b
F(0, ± c)
2

2

2

c ? a ?b

问题5:如何判断双曲线的焦点在哪个轴上?
看 x , y 前的系数,哪一个为正,则在 哪一个轴上
2 2

例:判断下列方程是否表示双曲线?若是, 求出 及焦点坐标。 a, b, c
x2 y2 ?1? ? ? 1 4 2 x y ?3? ? ? ?1 4 2
2 2

x2 y2 ?2? ? ? 1 2 2 x y ?4? ? ? 1(m ? 0, n ? 0) m n
2 2

问题6:双曲线的标准方程与椭圆的标准方程 有何区别与联系?
椭 圆 双曲线
||MF1|-|MF2||=2a
x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 a b y 2 x2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 a b

定义
方 程

|MF1|+|MF2|=2a
x y ? 2 ? 1(a ? b ? 0) a2 b y 2 x2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b
2 2

焦点

F(±c,0) F(0,±c) 椭圆以大小论长短

F(±c,0) F(0,±c) 双曲线以正负定实虚

a.b.c的 关系 a>b>0,a2=b2+c2 a>0,b>0,但a不一 2 2 2
定大于b,c =a +b

例 1 已 知 两 定 点 F1 (?5,0) , F2 (5,0) , 动 点 P 满 足
PF1 ? PF2 ? 6 , 求动点 P 的轨迹方程.

解: ∵ F1F2 ? 10 >6,

PF1 ? PF2 ? 6

∴ 由双曲线的定义可知,点 P 的轨迹是一条双曲线, ∵焦点为 F1 (?5,0), F2 (5,0)
x2 y2 ∴可设所求方程为: 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0). a b ∵2a=6,2c=10,∴a=3,c=5. x2 y2 ? ? 1. 所以点 P 的轨迹方程为 9 16

变式训练 1:已知两定点 F1 (?5,0) , F2 (5,0) ,动点 P 满足

PF1 ? PF2 ? 6 ,求动点 P 的轨迹方程. 解: ∵ F1F2 ? 10 >6, PF1 ? PF2 ? 6
∴ 由双曲线的定义可知, 点 P 的轨迹是双曲线的一支 (右支), ∵焦点为 F1 (?5,0), F2 (5,0)
x y ∴可设双曲线方程为: 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0). a b 2 2 2 ∵2a=6,2c=10,∴a=3,c=5.∴b =5 -3 =16.
x2 y2 ? ? 1 ( x ≥ 3) . 所以点 P 的轨迹方程为 9 16
课本例2
2 2

求适合下列条件的双曲线的 标准方程: 2 2

x y ? ?1 (1)a=4,b=3,焦点在x轴上; 16 9 (2)焦点为(0,-6),(0,6),且经过点(2,-5).
依题意得,c=6,焦点在y轴上
2 2 2 2 2a ?| (2 ? 0) ? ? 5 ? 6) ? (2 ? 0) ? ? 5 ? 6) | ( (

? 4 5,即a ? 2 5,所以b ? 4 y 2 x2 双曲线方程为 ? ?1 20 16

例3.(课本第54页例)已知A,B两地相距800m,在A地听到炮弹爆 炸声比在B地晚2s,且声速为340m/s,求炮弹爆炸点的轨迹方程.

解: 由声速及在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s,可知A地与爆炸点
的距离比B地与爆炸点的距离远680m.因为|AB|>680m,所以爆炸点 的轨迹是以A、B为焦点的双曲线在靠近B处的一支上.

如图所示,建立直角坐标系xOy, 使A、B两点在x轴上,并 且点O与线段AB的中点重合 y P 设爆炸点P的坐标为(x,y), 则 PA ? PB ? 340 ? 2 ? 680 A o B x 即 2a=680,a=340 ? AB ? 800 ? 2c ? 800, c ? 400, b2 ? c 2 ? a 2 ? 44400 ? 800 ? PA ? PB ? 680 ? 0 , ? x ? 0 x 2 y2 ? ? 1( x ? 0) 因此炮弹爆炸点的轨迹方程为 115600 44400
(x,y)

y

如图,设点A,B的坐标分 别为(-5,0),(5,0).直线AM, BM相交于点M,且它们的斜率之积 A 4 是 ,求点M的轨迹方程. 9
所以,直线AM的斜率 k AM ?

M

O

B

x

解:设点M的坐标为(x,y) , 因为点A的坐标为(-5,0) ,

y ( x ? ?5); x?5 y ( x ? 5); 同理,直线BM的斜率 k BM ? x?5 y y 4 ? ? ( x ? ?5) 由已知有 x ?5 x ?5 9

x2 y2 ? ? 1( x ? ?5). 化简,得点M的轨迹方程为 100 25 9

求证:双曲线 x ?15 y
2

2

的焦点相同.

x2 y 2 ? 15与椭圆 ? ? 1 25 9

x 2 证明:双曲线化为标准方程 ? y ?1 15 因为 a ? 15, b ? 1所以 c ? 15 ? 1 ? 4
焦点在x轴,故焦点坐标为(-4,0),(4,0) 因为椭圆中 所以

2

a ? 5, b ? 3

c ? 25 ? 9 ? 4

焦点在x轴,故焦点坐标为(-4,0),(4,0) 所以双曲线与椭圆的焦点相同.

总结提升
(1)先把非标准方程化成标准方程,再判断焦 点所在的坐标轴。

x y (2) ? ? 1(mn ? 0)是否表示双曲线 ? m n x2 y2

2

2

?m ? 0 ? ?n ? 0

若式子为 ? ? 1呢 ? 2 ? m m ?1 表示焦点在 轴上的双曲 ? 2 ? m ? -1 线;

x

?m ? 0 表示焦点在 y轴上的双曲线。 ? ?n ? 0
x2 y2 ? ? 1 表示双曲线,求 m的范围。 2 ? m m ?1

练习 1.判定下列双曲线的焦点在?轴,并指明a2、b2, 写出焦点坐标和焦距。
x2 y2 ? ?1 9 16 y2 x2 ? ?1 144 25
答:在 X 轴。(-5,0)和(5,0)

答:在 y 轴。(0,-13)和(0,13)
答:在x 轴。( -1 ,0 )和( 1, 0)

x2 y2 ? ?1 2 2 m 1? m

判断双曲线标准方程的焦点在哪个轴上的准则:

焦点在正的的那个轴上。

2、a=4,c=5的双曲线标准方程是?

x2 y2 y2 x2 ? ?1 或 ? ?1 16 9 16 9

x2 y2 ?1 3、已知双曲线的方程为: ? 64 36
a= 8 ,b= 6 ,c= 10 , 焦点坐标为 (-10,0)、(10,0)

,请填空:

,焦距等于 20 .

x2 y2 ? ? 1 上一点,F1、F2分别为双曲线 4、若M为双曲线 9 16 的左、右焦点,并且︱MF1︱=8,则︱MF2︱= 2或14 .

5、 Ax2 ? By2 ? C 什么时候表示双曲线?
什么时候表示椭圆呢? A≠B且A,B,C同号

A、B 异号时

问题6:双曲线的标准方程与椭圆的标准方程 有何区别与联系?
椭 圆 双曲线
||MF1|-|MF2||=2a
x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 a b y 2 x2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 a b

定义
方 程

|MF1|+|MF2|=2a
x y ? 2 ? 1(a ? b ? 0) a2 b y 2 x2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b
2 2

焦点

F(±c,0) F(0,±c) 椭圆以大小论长短

F(±c,0) F(0,±c) 双曲线以正负定实虚

a.b.c 的关系 a>b>0,a2=b2+c2 a>0,b>0,但a不一 2 2 2
定大于b,c =a +b

例 题

例1:已知双曲线的焦点为F1(-5,0),F2(5,0), 双曲线上一点P到F1、F2的距离的差的绝对 值等于8,求双曲线的标准方程.
小结:求标准方程要做到先定型,后定量。 变题1:将条件改为P到F1,F2的距离的差 等于8,如何? 变题2:将条件改为P到F1,F2的距离的差 的绝对值等于10,如何?

请欣赏

如果我是双曲线, 你就是那渐近线. 如果我是反比例函数, 你就是那坐标轴. 虽然我们有缘, 能够生在同一个平面. 然而我们又无缘, 慢慢长路无交点.
为何看不见, 等式成立要条件. 难到正如书上说的, 无限接近不能达到. 为何看不见, 明月也有阴晴圆缺, 此事古难全, 但愿千里共婵娟.

类比椭圆的定义,你能给出双曲线的定 义吗?

判断下列双曲线的焦点位置, 并求出焦点坐标和焦距.
(1)a=6,b=8,c=10, 焦点在x轴, 焦点(-10,0)、(10,0),焦距为20; (2)a=4,b=3,c=5, 焦点在y轴, 焦点(0,-5)、(0,5),焦距为10. 2 2
x y ? ?1 64 36

x y (1) ? ?1 36 64

2

2

y2 x2 (2) ? ?1 16 9

a=8

双曲线 上一点P到焦点F1 的距离等于6,则点P到另一焦点F2的距离 22 22 是 ______. |PF1|-|PF2|=?2a=?16=6-___

总结提升
(1)先把非标准方程化成标准方程,再判断焦 点所在的坐标轴。

x y (2) ? ? 1(mn ? 0)是否表示双曲线 ? m n x2 y2

2

2

?m ? 0 ? ?n ? 0

若式子为 ? ? 1呢 ? 2 ? m m ?1 表示焦点在 轴上的双曲 ? 2 ? m ? -1 线;

x

?m ? 0 表示焦点在 y轴上的双曲线。 ? ?n ? 0
x2 y2 ? ? 1 表示双曲线,求 m的范围。 2 ? m m ?1

生活中的双曲线

求适合下列条件的双曲线的 标准方程:
(1)a=4,b=3,焦点在x轴上;
依题意得,c=6,焦点在y轴上
2 2 2 2 2a ?| (2 ? 0) ? ? 5 ? 6) ? (2 ? 0) ? ? 5 ? 6) | ( (

x2 y2 ? ?1 16 9

(2)焦点为(0,-6),(0,6),且经过点(2,-5).

? 4 5,即a ? 2 5,所以b ? 4 y 2 x2 双曲线方程为 ? ?1 20 16

y

如图,设点A,B的坐标分 别为(-5,0),(5,0).直线AM, BM相交于点M,且它们的斜率之积 A 4 是 9 ,求点M的轨迹方程.
所以,直线AM的斜率 k AM ? 同理,直线BM的斜率 k BM 由已知有
y ( x ? ?5); x?5

M

O

B

x

解:设点M的坐标为(x,y) , 因为点A的坐标为(-5,0) ,
y ? ( x ? 5); x?5

y y 4 ? ? ( x ? ?5) x ?5 x ?5 9

x2 y2 ? ? 1( x ? ?5). 化简,得点M的轨迹方程为 25 100 9

求证:双曲线 x2 ?15 y 2 ? 15 与椭圆 的焦点相同.
证明:双曲线化为标准方程 因为

x2 y 2 ? ?1 25 9

x2 ? y2 ? 1 15
所以

a ? 15, b ? 1

c ? 15 ? 1 ? 4

焦点在x轴,故焦点坐标为(-4,0),(4,0) 因为椭圆中 a ? 5, b ? 3 所以

c ? 25 ? 9 ? 4

焦点在x轴,故焦点坐标为(-4,0),(4,0) 所以双曲线与椭圆的焦点相同.

双曲线的定义 双曲线的标准方程
x y ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 a b
y 2 x2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 a b
2 2


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