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【步步高】2017版高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.4 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象及应用 理

【步步高】 (江苏专用)2017 版高考数学一轮复习 第四章 三角函数、 解三角形 4.4 函数 y=Asin(ω x+φ )的图象及应用 理

1.y=Asin(ω x+φ )的有关概念

y=Asin(ω x+
φ )(A>0, ω >0),

振幅

周期

频率

相位 ω x+φ

初相 φ

x∈R

A

T=

2π ω

f= = T 2π

1

ω

2.用五点法画 y=Asin(ω x+φ )一个周期内的简图时,要找五个特征点 如下表所示:

x

0-φ ω 0

π -φ 2 ω π 2

π -φ ω π

3π -φ 2 ω 3π 2

2π -φ ω 2π

ω x+φ

y= Asin(ω x
+φ ) 3.函数 y=sin x 的图象经变换得到 y=Asin(ω x+φ )(A>0,ω >0)的图象的步骤如下: 0

A

0

-A

0

【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“?”) (1) 利 用图象变 换作图时 “ 先平移, 后伸缩” 与“ 先伸缩, 后平移” 中平 移的长度 一 致.( ? )

1

π ? π? ? π? (2)y=sin?x- ?的图象是由 y=sin?x+ ?的图象向右平移 个单位得到的.( √ ) 4? 4? 2 ? ? (3)由图象求解析式时, 振幅 A 的大小是由一个周期内的图象中的最高点的值与最低点的值确 定的.( √ ) )

(4)函数 f(x)=Asin(ω x+φ )的图象的两个相邻对称轴间的距离为一个周期.( ?

(5)函数 y=Acos(ω x+φ )的最小正周期为 T, 那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离 为 .( √ ) 2

T

π? ? 1.y=2sin?2x- ?的振幅、频率和初相分别为 4? ? 1 π 答案 2, ,- π 4



π? π ? 2.已知函数 f(x)=sin?2x+ ?.若 y=f(x-φ ) (0<φ < )是偶函数,则 φ = 6 2 ? ? 答案 解析 π 3

.

π? π? ? ? 因为 y=f(x-φ )=sin?2?x-φ ?+ ?=sin?2x-2φ + ?是偶函数,所以-2φ 6? 6? ? ?

π π π kπ π π + = +kπ ,k∈Z,得 φ =- - ,k∈Z.又 0<φ < ,所以 φ = . 6 2 6 2 2 3 π? ? 3.(2015?湖南改编)将函数 f(x)=sin 2x 的图象向右平移 φ ?0<φ < ?个单位后得到函 2? ? π 数 g(x)的图象,若对满足|f(x1)-g(x2)|=2 的 x1,x2,有|x1-x2|min= ,则 φ = 3 答案 π 6 .

解析 因为 g(x)=sin[2(x-φ )]=sin(2x-2φ ), 所以|f(x1)-g(x2)|=|sin 2x1-sin(2x2-2φ )|=2. 因为-1≤sin 2x1≤1,-1≤sin(2x2-2φ )≤1, 所以 sin 2x1 和 sin(2x2-2φ )的值中,一个为 1,另一个为-1,不妨取 sin 2x1=1,sin(2x2 π π -2φ )=-1,则 2x1=2k1π + ,k1∈Z,2x2-2φ =2k2π - ,k2∈Z,2x1-2x2+2φ =2(k1 2 2 -k2)π +π ,(k1-k2)∈Z, π ? ? 得|x1-x2|=??k1-k2?π + -φ ?. 2 ? ?

2

π π π 因为 0<φ < ,所以 0< -φ < , 2 2 2 π π 故当 k1-k2=0 时,|x1-x2|min= -φ = , 2 3 π 则φ = . 6 4.(教材改编)如图,某地一天从 6~14 时的温度变化曲线近似满足函数 y=Asin(ω x+φ ) +b,则这段曲线的函数解析式为 .

答案 y=10sin?

?π x+3π ?+20,x∈[6,14] 4 ? ?8 ?

解析 从图中可以看出,从 6~14 时的是函数

y=Asin(ω x+φ )+b 的半个周期,
1 所以 A= ?(30-10)=10, 2

b= ?(30+10)=20,
1 2π 又 ? =14-6, 2 ω π 所以 ω = . 8 π 又 ?10+φ =2π , 8 3π 解得 φ = , 4 3π ? ?π 所以 y=10sin? x+ ?+20,x∈[6,14]. 4 ? ?8 π 5.(2014?安徽)若将函数 f(x)=sin(2x+ )的图象向右平移 φ 个单位,所得图象关于 y 4 轴对称,则 φ 的最小正值是 答案 3π 8 .

1 2

π π 解析 ∵函数 f(x)=sin(2x+ )的图象向右平移 φ 个单位得到 g(x)=sin[2(x-φ )+ ] 4 4 π =sin(2x+ -2φ ), 4
3

π π 又∵g(x)是偶函数,∴ -2φ =kπ + (k∈Z). 4 2 ∴φ =-


2



π (k∈Z). 8

3π 当 k=-1 时,φ 取得最小正值 . 8

题型一 函数 y=Asin(ω x+φ )的图象及变换 π? ? 例 1 已知函数 y=2sin?2x+ ?. 3? ? (1)求它的振幅、周期、初相; (2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象; π? ? (3)说明 y=2sin?2x+ ?的图象可由 y=sin x 的图象经过怎样的变换而得到. 3? ? π? ? 解 (1)y=2sin?2x+ ?的振幅 A=2, 3? ? 2π π 周期 T= =π ,初相 φ = . 2 3 π? π ? (2)令 X=2x+ ,则 y=2sin?2x+ ?=2sin X. 3? 3 ? 列表如下:

x X y=sin X y=2sin?2x+ ? 3



π 6

π 12 π 2 1 2

π 3 π 0 0

7π 12 3π 2 -1 -2

5π 6 2π 0 0

0 0 π?

? ?

?

0

描点画出图象,如图所示:

4

(3)方法一 把 y=sin x 的图象上所有的点向左平移 图象;

π ? π? 个单位长度,得到 y=sin?x+ ?的 3? 3 ?

1 ? π? 再把 y = sin ?x+ ? 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍 ( 纵坐标不变 ) ,得到 y = 3? 2 ? π? ? sin?2x+ ?的图象; 3? ? π? ? 最后把 y=sin?2x+ ?上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不变),即可得到 y= 3? ? π? ? 2sin?2x+ ?的图象. 3? ? 1 方法二 将 y=sin x 的图象上所有点的横坐标缩短为原来的 倍(纵坐标不变),得到 y=sin 2 2x 的图象; π? π ? ? π ?? ? 再将 y=sin 2x 的图象向左平移 个单位长度, 得到 y=sin?2?x+ ??=sin?2x+ ?的图象; 6 ?? 3? 6 ? ? ? π? ? 再将 y=sin?2x+ ?的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的 2 倍(横坐标不变),即得到 y= 3? ? π? ? 2sin?2x+ ?的图象. 3? ? 思维升华 (1)五点法作简图:用“五点法”作 y=Asin(ω x+φ )的简图,主要是通过变量 π 3 代换,设 z=ω x+φ ,由 z 取 0, ,π , π ,2π 来求出相应的 x,通过列表,计算得出 2 2 五点坐标, 描点后得出图象. (2)图象变换: 由函数 y=sin x 的图象通过变换得到 y=Asin(ω x +φ )的图象,有两种主要途径:“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”. π 1 (1)把函数 y=sin(x+ )图象上各点的横坐标缩短到原来的 (纵坐标不变), 再 6 2 π 将图象向右平移 个单位长度, 那么所得图象的一条对称轴方程为 3 π π π π ①x=- ;②x=- ;③x= ;④x= . 2 4 8 4 π (2)设函数 f(x)=cos ω x (ω >0),将 y=f(x)的图象向右平移 个单位长度后,所得的图象 3 与原图象重合,则 ω 的最小值等于 答案 (1)① (2)6 π 1 解析 (1)将 y=sin(x+ )图象上各点的横坐标缩短到原来的 (纵坐标不变),得到函数 y 6 2 . (填正确的序号).

5

π π π π =sin(2x+ ); 再将图象向右平移 个单位长度, 得到函数 y=sin[2(x- )+ ]=sin(2x 6 3 3 6 π π - ),故 x=- 是其图象的一条对称轴方程. 2 2 π * (2)由题意可知,nT= (n∈N ), 3 2π π * ∴n? = (n∈N ), ω 3 ∴ω =6n (n∈N ),∴当 n=1 时,ω 取得最小值 6. 题型二 由图象确定 y=Asin(ω x+φ )的解析式 π 例 2 (1)已知函数 y=Asin(ω x+φ ) (A>0,ω >0,|φ |< )的图象上一个最高点的坐标为 2 (2, 2),由这个最高点到其右侧相邻最低点间的图象与 x 轴交于点(6,0),则此函数的解析 式为 .
*

(2)函数 f(x)=Asin(ω x+φ )(A>0,ω >0,|φ |<π )的部分图象如图所示,则函数 f(x) 的解析式为 .

π? ?π 答案 (1)y= 2sin? x+ ? 4? ?8 π (2)f(x)= 2sin(2x+ ) 3

T 2π π ?π ? 解析 (1)由题意得 A= 2, =6-2,所以 T=16,ω = = .又 sin? ?2+φ ?=1,所 4 T 8 ?8 ?
π π π π 以 +φ = +2kπ (k∈Z).又因为|φ |< ,所以 φ = . 4 2 2 4 (2)由题图可知 A= 2,

T 7π
4 =

π π - = , 12 3 4

所以 T=π ,故 ω =2, 因此 f(x)= 2sin(2x+φ ), 又?

? 7 π ,- 2?为最小值点, ? ?12 ?

6

7 3π ∴2? π +φ =2kπ + ,k∈Z, 12 2 π ∴φ =2kπ + ,k∈Z, 3 又|φ |<π , π ∴φ = . 3 π 故 f(x)= 2sin(2x+ ). 3 思维升华 确定 y=Asin(ω x+φ )+b(A>0,ω >0)的步骤和方法: (1)求 A,b,确定函数的最大值 M 和最小值 m, 则 A=

M-m
2

,b=

M+m
2

.

2π (2)求 ω ,确定函数的最小正周期 T,则可得 ω = .

T

(3)求 φ ,常用的方法有: ①代入法:把图象上的一个已知点代入(此时 A,ω ,b 已知)或代入图象与直线 y=b 的交点 求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上). ②特殊点法:确定 φ 值时,往往以寻找“最值点”为突破口.具体如下: π “最大值点”(即图象的“峰点”)时 ω x+φ = ; “最小值点”(即图象的“谷点”)时 ω x 2 3π +φ = . 2 π π? ? 函数 f(x)=2sin(ω x+φ )?ω >0,- <φ < ?的部分图象如图所示,则 φ 2 2? ? = .

π 答案 - 3

T 11 5 解析 ∵ = π - π , 2 12 12
∴T=π . 2π 又 T= (ω >0), ω ∴ 2π =π , ω

∴ω =2. 5 由五点作图法可知当 x= π 时, 12
7

π ω x+φ = , 2 5 π 即 2? π +φ = , 12 2 π ∴φ =- . 3 题型三 三角函数图象性质的应用 命题点 1 三角函数模型的应用 例 3 如图,为了研究钟表与三角函数的关系,建立如图所示的坐标系,设秒针尖位置 P(x,

y).若初始位置为 P0?

? 3 1? , ?,当秒针从 P0(注:此时 t=0)正常开始走时,那么点 P 的纵坐 ? 2 2?


标 y 与时间 t 的函数关系式为

π? ? π 答案 y=sin?- t+ ? 6? ? 30 解析 设点 P 的纵坐标 y 与时间 t 的函数关系式为 y=sin(ω t+φ ).由题意可得,函数的 π π ? 2π ? 初相位是 .又函数周期是 60(秒)且秒针按顺时针旋转,即 T=? ?=60,所以|ω |= , ω 6 30 ? ? π? π ? π 即 ω =- ,所以 y=sin?- t+ ?. 30 6? 30 ? 命题点 2 方程根(函数零点问题) 例4

?π ? 2 已知关于 x 的方程 2sin x- 3sin 2x+m-1=0 在? ,π ?上有两个不同的实数根, 2 ? ?


则 m 的取值范围是 答案 (-2,-1)

解析 方程 2sin x- 3sin 2x+m-1=0 可转化为

2

m=1-2sin2x+ 3sin 2x
=cos 2x+ 3sin 2x π? ? ?π ? =2sin?2x+ ?,x∈? ,π ?. 6? ? ?2 ? 13 ? π ?7 设 2x+ =t,则 t∈? π , π ?, 6 ? 6 ?6
8

∴题目条件可转化为 13 ? ?7 =sin t,t∈? π , π ?,有两个不同的实数根. 6 ? 2 ?6

m

13 ? m ?7 ∴y= 和 y=sin t,t∈? π , π ?的图象有两个不同交点,如图: 6 ? 2 ?6

m 1 由图象观察知, 的范围为(-1,- ), 2 2
故 m 的取值范围是(-2,-1). 引申探究 例 4 中,“有两个不同的实数根”改成“有实根”,则 m 的取值范围是 答案 [-2,1) 1? m ? 解析 由例 4 知, 的范围是?-1, ?,∴-2≤m<1, 2? 2 ? ∴m 的取值范围是[-2,1). 命题点 3 图象性质综合应用 例 5 已知函数 f(x)= 3sin(ω x+φ )-cos(ω x+φ )(0<φ <π ,ω >0)为偶函数,且函 π 数 y=f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为 . 2 .

?π ? (1)求 f? ?的值; ?8? ? π? (2)求函数 y=f(x)+f?x+ ?的最大值及对应的 x 的值. 4? ?
解 (1)f(x)= 3sin(ω x+φ )-cos(ω x+φ ) =2? 1 ? 3 ? sin?ω x+φ ?- cos?ω x+φ ?? 2 ?2 ?

π? ? =2sin?ω x+φ - ?. 6? ? 因为 f(x)是偶函数, π π 则 φ - = +kπ (k∈Z), 6 2 2π 所以 φ = +kπ (k∈Z), 3 2π 又因为 0<φ <π ,所以 φ = , 3
9

π? ? 所以 f(x)=2sin?ω x+ ?=2cos ω x. 2? ? 2π π 由题意得 =2? , ω 2 所以 ω =2. 故 f(x)=2cos 2x. π ?π ? 因此 f? ?=2cos = 2. 8 4 ? ?

? ? π ?? (2)y=2cos 2x+2cos?2?x+ ?? 4 ?? ? ?
π? ? =2cos 2x+2cos?2x+ ? 2? ? =2cos 2x-2sin 2x

?π ? =2 2sin? -2x? ?4 ?
π? ? =-2 2sin?2x- ? 4? ? π π 令 2x- =2kπ - (k∈Z),y 有最大值 2 2, 4 2 π 所以当 x=kπ - (k∈Z)时,y 有最大值 2 2. 8 思维升华 (1)三角函数模型的应用体现在两方面: 一是已知函数模型求解数学问题; 二是把 实际问题抽象转化成数学问题, 建立数学模型再利用三角函数的有关知识解决问题. (2)方程 根的个数可转化为两个函数图象的交点个数.(3)研究 y=Asin(ω x+φ )的性质时可将 ω x +φ 视为一个整体,利用换元法和数形结合思想进行解题. π π 2π 设函数 f(x)=3sin(ω x+φ )(ω >0, - <φ < )的图象关于直线 x= 对称, 2 2 3 它的周期是 π ,则下列说法正确的是 3 ①f(x)的图象过点(0, ); 2 π 2π ②f(x)在[ , ]上是减函数; 12 3 5π ③f(x)的一个对称中心是( ,0); 12 ④将 f(x)的图象向右平移|φ |个单位长度得到函数 y=3sin ω x 的图象. 答案 ①③ 2π 解析 ∵周期为 π ,∴ =π ? ω =2, ω
10

.(填序号)

∴f(x)=3sin(2x+φ ),f(

2π 4π )=3sin( +φ ), 3 3

4π 则 sin( +φ )=1 或-1. 3 π π 4π 5π 11 又 φ ∈(- , ), +φ ∈( , π ), 2 2 3 6 6 ∴ 4π 3π π +φ = ? φ = , 3 2 6

π ∴f(x)=3sin(2x+ ). 6 3 ①:令 x=0? f(x)= ,正确. 2 π π 3π ②:令 2kπ + <2x+ <2kπ + ,k∈Z 2 6 2 π 2π ? kπ + <x<kπ + ,k∈Z. 6 3 令 k=0? π 2π <x< , 6 3

π 2π π π 即 f(x)在( , )上单调递减,而在( , )上单调递增,错误. 6 3 12 6 5π ③:令 x= ? f(x)=3sin π =0,正确. 12 π ④:应平移 个单位长度,错误. 12

4.三角函数图象与性质的综合问题

x π x π 典例 (14 分)已知函数 f(x)=2 3sin( + )?cos( + )-sin(x+π ). 2 4 2 4
(1)求 f(x)的最小正周期; π (2)若将 f(x)的图象向右平移 个单位长度,得到函数 g(x)的图象,求函数 g(x)在区间[0, 6 π ]上的最大值和最小值. 思维点拨 (1)先将 f(x)化成 y=Asin(ω x+φ )的形式再求周期; π (2)将 f(x)解析式中的 x 换成 x- ,得 g(x),然后利用整体思想求最值. 6

11

规范解答

x π x π 解 (1)f(x)=2 3sin( + )?cos( + )-sin(x+π )= 3cos x+sin x[4 分] 2 4 2 4
π =2sin(x+ ),[6 分] 3 2π 于是 T= =2π .[7 分] 1 π π (2)由已知得 g(x)=f(x- )=2sin(x+ ),[9 分] 6 6 π π 7π ∵x∈[0,π ],∴x+ ∈[ , ], 6 6 6 π 1 ∴sin(x+ )∈[- ,1],[12 分] 6 2 π ∴g(x)=2sin(x+ )∈[-1,2].[13 分] 6 故函数 g(x)在区间[0,π ]上的最大值为 2,最小值为-1.[14 分]

解决三角函数图象与性质的综合问题的一般步骤: 第一步:(化简)将 f(x)化为 asin x+bcos x 的形式; 第二步:(用辅助角公式)构造 f(x)= a +b ? (sin x?
2 2

a a +b
2

2

+cos x?
2 2

b a +b2
2

);

第三步:(求性质)利用 f(x)= a +b sin(x+φ )研究三角函数的性质; 第四步:(反思)反思回顾,查看关键点、易错点和答题规范. 温馨提醒 (1)在第(1)问的解法中,使用辅助角公式

b asin α +bcos α = a2+b2sin(α +φ )(其中 tan φ = ),或 asin α +bcos α = a2+b2 a
cos(α -φ )(其中 tan φ = ),在历年高考中使用频率是相当高的,几乎年年使用到、考查 到,应特别加以关注. (2)求 g(x)的最值一定要重视定义域,可以结合三角函数图象进行求解.

a b

[方法与技巧] 1.五点法作图及图象变换问题 (1)五点法作简图要取好五个关键点,注意曲线凸凹方向; (2)图象变换时的伸缩、平移总是针对自变量 x 而言,而不是看角 ω x+φ 的变化.
12

2.由图象确定函数解析式 由图象确定 y=Asin(ω x+φ )时,φ 的确定是关键,尽量选择图象的最值点代入;若选零点 代入,应根据图象升降找“五点法”作图中第一个零点. 3.对称问题 函数 y=Asin(ω x+φ )的图象与 x 轴的每一个交点均为其对称中心, 经过该图象上坐标为(x, ±A)的点与 x 轴垂直的每一条直线均为其图象的对称轴,这样的最近两点间横坐标的差的绝 对值是半个周期(或两个相邻对称中心的距离). [失误与防范] 1.由函数 y=sin x 的图象经过变换得到 y=Asin(ω x+φ )的图象,如先伸缩,再平移时, 要把 x 前面的系数提取出来. 2.复合形式的三角函数的单调区间的求法.函数 y=Asin(ω x+φ )(A>0,ω >0)的单调区间 的确定,基本思想是把 ω x+φ 看做一个整体.若 ω <0,要先根据诱导公式进行转化. 3.函数 y=Asin(ω x+φ )在 x∈[m,n]上的最值可先求 t=ω x+φ 的范围,再结合图象得 出 y=Asin t 的值域.

A 组 专项基础训练 (时间:40 分钟) π? ? 1.函数 y=cos?2x- ?的部分图象可能是 3? ? .

答案 ④ π? π ? 解析 ∵y=cos?2x- ?,∴当 2x- =0, 3? 3 ? π π 即 x= 时,函数取得最大值 1,结合图象看,可使函数在 x= 时取得最大值的只有④. 6 6 2.设偶函数 f(x)=Asin(ω x+φ )(A>0,ω >0,0<φ <π )的部分图象如图

13

1 所示,△KLM 为等腰直角三角形,∠KML=90°,KL=1,则 f( )的值为 6 答案 3 4



1 解析 取 K,L 中点 N,则 MN= , 2 1 因此 A= .由 T=2 得 ω =π . 2 π ∵函数为偶函数,0<φ <π ,∴φ = , 2 1 ∴f(x)= cos π x, 2 1 1 π 3 ∴f( )= cos = . 6 2 6 4 3.已知函数 f(x)=2sin(ω x+φ )(ω >0,且|φ |< 示,则函数 f(x)的单调递增区间是 π 5π 答案 [kπ - ,kπ + ],k∈Z 12 12 1 2 5 解析 由函数的图象可得 T= π - π , 4 3 12 ∴T=π ,则 ω =2. 5 5 又图象过点( π ,2),∴2sin(2? π +φ )=2, 12 12 π ∴φ =- +2kπ ,k∈Z, 3 π ∵|φ |< , 2 π π ∴取 k=0,则 φ =- ,即得 f(x)=2sin(2x- ), 3 3 π π π ∴f(x)的单调增区间为 2kπ - ≤2x- ≤2kπ + ,k∈Z, 2 3 2 π 5π 即单调递增区间为[kπ - ,kπ + ],k∈Z. 12 12 π 4.已知曲线 f(x)=sin ω x+ 3cos ω x (ω >0)相邻的两条对称轴之间的距离为 ,且曲 2 π )的部分图象如图所 2 .

? π? 线关于点(x0,0)中心对称,若 x0∈?0, ?,则 x0= 2? ?

.

14

答案

π 3

解析 f(x)=sin ω x+ 3cos ω x 3 ?1 ? =2? sin ω x+ cos ω x? 2 2 ? ? π? ? =2sin?ω x+ ?. 3? ? π? π ? ∵曲线 f(x)=2sin?ω x+ ?相邻的两条对称轴之间的距离为 , 3? 2 ? 2π ∴最小正周期 T=π = , ω ∴ω =2, π? ? ∴f(x)=2sin?2x+ ?. 3? ? ∵曲线关于点(x0,0)中心对称; π ∴2x0+ =kπ (k∈Z), 3 ∴x0=


2

π - (k∈Z), 6

π ? π? 又 x0∈?0, ?,∴x0= . 2? 3 ? π? π ? 5.函数 f(x)=sin(2x+φ )?|φ |< ?的图象向左平移 个单位后所得函数图象的解析式是 2? 6 ?

? π? 奇函数,则函数 f(x)在?0, ?上的最小值为 2? ?
答案 - 3 2



π? π ? 解析 由函数 f(x)的图象向左平移 个单位得 g(x)=sin?2x+φ + ?的图象, 3? 6 ? π 因为是奇函数,所以 φ + =kπ ,k∈Z, 3 π π 又因为|φ |< ,所以 φ =- , 2 3 π? ? 所以 f(x)=sin?2x- ?. 3? ? π ? π 2π ? ? π? 又 x∈?0, ?,所以 2x- ∈?- , ?, 2? 3 ? 3 ? 3 ? 所以当 x=0 时,f(x)取得最小值为- 3 . 2
15

6.电流强度 I(安)随时间 t(秒)变化的函数 I=Asin(ω t+φ )(A>0, ω >0,0<φ < 安. 答案 -5 π 1 ) 的图象如右图所示,则当 t = 秒时,电流强度是 2 100

T 4 1 1 解析 由图象知 A=10, = - = , 2 300 300 100
2π ∴ω = =100π .∴I=10sin(100π t+φ ).

T

∵图象过点?

? 1 ,10?, ? ?300 ?

1 ∴10sin(100π ? +φ )=10, 300 π π π ∴sin( +φ )=1, +φ =2kπ + ,k∈Z, 3 3 2 π ∴φ =2kπ + ,k∈Z, 6 π π 又∵0<φ < ,∴φ = . 2 6 π? ? ∴I=10sin?100π t+ ?, 6? ? 当 t= 1 秒时,I=-5 安. 100

π ? π 2π ? 7.若函数 f(x)=sin(ω x+φ ) (ω >0 且|φ |< )在区间? , ?上是单调递减函数,且函 3 ? 2 ?6

?π ? 数从 1 减小到-1,则 f? ?= ?4?
答案 3 2

.

解析 由题意可得,函数的周期为 2?? 即

?2π -π ?=π , 6? ? 3 ?

2π =π ,∴ω =2,∴f(x)=sin(2x+φ ). ω

π π ? π ? 由 sin?2? +φ ?=1,|φ |< 可得 φ = , 6 2 6 ? ? π? ? ∴f(x)=sin?2x+ ?, 6? ? π 3 ?π ? ?π π ? ∴f? ?=sin? + ?=cos = . 6 2 ?4? ?2 6?
16

π 8. 已知函数 f(x)=Asin(ω x+φ )(A>0, ω >0, |φ |< )在一个周期内的图象如图所示. 若 2 方程 f(x)=m 在区间[0,π ]上有两个不同的实数 x1,x2,则 x1+x2 的值为 .

答案

π 4 或 π 3 3

π 2 解析 由图象可知 y=m 和 y=f(x)图象的两个交点关于直线 x= 或 x= π 对称, 6 3 π 4 ∴x1+x2= 或 π . 3 3 π? 2 2? 9.(2015?天津)已知函数 f(x)=sin x-sin ?x- ?,x∈R. 6? ? (1)求 f(x)的最小正周期;

? π π? (2)求 f(x)在区间?- , ?上的最大值和最小值. ? 3 4?
π? ? 1-cos?2x- ? 3? 1-cos 2x ? 解 (1)由已知,有 f(x)= - 2 2 1?1 3 ? 1 = ? cos 2x+ sin 2x?- cos 2x 2?2 2 ? 2 = π? 3 1 1 ? sin 2x- cos 2x= sin?2x- ?. 6? 4 4 2 ? 2π =π . 2

所以 f(x)的最小正周期 T=

π? ? π ? π π? ? π? (2)因为 f(x)在区间?- ,- ?上是减函数,在区间?- , ?上是增函数,且 f?- ?= 6? ? 3 ? 6 4? ? 3? 1 - , 4

f?- ?=- ,f? ?= 6 4

? π? ? ?

1 2

?π ? ? ?

3 , 4

3 ? π π? 所以 f(x)在区间?- , ?上的最大值为 , 4 ? 3 4? 1 最小值为- . 2

17

10.设函数 f(x)=

3 2 - 3sin ω x-sin ω xcos ω x(ω >0),且 y=f(x)图象的一个对称中 2 π . 4

心到最近的对称轴的距离为 (1)求 ω 的值;

3π ? ? (2)求 f(x)在区间?π , ?上的最大值和最小值. 2 ? ? 解 (1)f(x)= = = 3 2 - 3sin ω x-sin ω xcos ω x 2

3 1-cos 2ω x 1 - 3? - sin 2ω x 2 2 2 3 1 cos 2ω x- sin 2ω x 2 2

π? ? =-sin?2ω x- ?. 3? ? 2π π 依题意知 =4? ,ω >0,所以 ω =1. 2ω 4 π? ? (2)由(1)知 f(x)=-sin?2x- ?. 3? ? 3π 5π π 8π 当 π ≤x≤ 时, ≤2x- ≤ . 2 3 3 3 所以- π? 3 ? ≤sin?2x- ?≤1. 3? 2 ? 3 . 2

所以-1≤f(x)≤

3π ? 3 ? 故 f(x)在区间?π , ?上的最大值和最小值分别为 ,-1. 2 ? 2 ? B 组 专项能力提升 (时间:20 分钟) π 11.已知函数 f(x)=Asin(ω x+φ ) (A>0,|φ |< ,ω >0)的图象的一部 2 分如图所示,则该函数的解析式为 π? ? 答案 f(x)=2sin?2x+ ? 6? ? 解析 观察图象可知:A=2 且点(0,1)在图象上, 1 π π ∴1=2sin(ω ?0+φ ),即 sin φ = .∵|φ |< ,∴φ = . 2 2 6 .

18

11 11π π 又∵ π 是函数的一个零点, 且是图象递增穿过 x 轴形成的零点, ∴ ω + =2π , ∴ω 12 12 6 =2. π? ? ∴f(x)=2sin?2x+ ?. 6? ? 12.(2014?天津改编)已知函数 f(x)= 3sin ω x+cos ω x(ω >0),x∈R.在曲线 y=f(x) π 与直线 y=1 的交点中,若相邻交点距离的最小值为 ,则 f(x)的最小正周期为 3 答案 π π 解析 f(x)= 3sin ω x+cos ω x=2sin(ω x+ )(ω >0). 6 π π 1 由 2sin(ω x+ )=1 得 sin(ω x+ )= , 6 6 2 π π π 5 ∴ω x+ =2kπ + 或 ω x+ =2kπ + π (k∈Z). 6 6 6 6 π π π 5 令 k=0,得 ω x1+ = ,ω x2+ = π , 6 6 6 6 2π ∴x1=0,x2= . 3ω π 2π π 由|x1-x2|= ,得 = ,∴ω =2. 3 3ω 3 2π 故 f(x)的最小正周期 T= =π . 2 π? 3? ? ? ?π ? 13.已知函数 f(x)=cos?3x+ ?,其中 x∈? ,m?,若 f(x)的值域是?-1,- ?,则 m 3? ? ?6 ? 2 ? ? 的取值范围是 答案 ? . .

?2π ,5π ? ? 18 ? ? 9

解析 画出函数的图象.

由 x∈?

?π ,m?,可知5π ≤3x+π ≤3m+π , ? 6 3 3 ?6 ?

5π 3 ?π ? 因为 f? ?=cos =- , 6 2 ?6?
19

且 f?

?2π ?=cos π =-1, ? ? 9 ? ? ?
3? ?, 2?

要使 f(x)的值域是?-1,-

π 7 2π 5π 所以 π ≤3m+ ≤ π ,则 ≤m≤ , 3 6 9 18 即 m∈?

?2π ,5π ?. ? 18 ? ? 9

π? ? ?π ? ?π ? ?π π ? 14.已知 f(x)=sin?ω x+ ? (ω >0),f? ?=f? ?,且 f(x)在区间? , ?上有最小值, 3? ? ?6? ?3? ?6 3? 无最大值,则 ω = 答案 14 3 .

π π + 6 3 π 解析 依题意,x= = 时,y 有最小值, 2 4 π? ?π ∴sin? ω + ?=-1, 3? ?4 π π 3π ∴ ω + =2kπ + (k∈Z), 4 3 2 14 ∴ω =8k+ (k∈Z), 3

?π π ? ∵f(x)在区间? , ?上有最小值,无最大值, ?6 3?
π π π 14 ∴ - < ,即 ω <12,令 k=0,得 ω = . 3 4 ω 3 1 π 2 15.已知函数 f(x)= 3sin ω xcos ω x+cos ω x- (ω >0),其最小正周期为 . 2 2 (1)求 f(x)的表达式; π (2)将函数 f(x)的图象向右平移 个单位长度,再将图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍 8 π (纵坐标不变),得到函数 y=g(x)的图象,若关于 x 的方程 g(x)+k=0 在区间[0, ]上有 2 且只有一个实数解,求实数 k 的取值范围. 1 2 解 (1)f(x)= 3sin ω xcos ω x+cos ω x- 2 = 3 cos 2ω x+1 1 π sin 2ω x+ - =sin(2ω x+ ), 2 2 2 6

20

π 2π π π 由题意知 f(x)的最小正周期 T= ,T= = = , 2 2ω ω 2 π 所以 ω =2,所以 f(x)=sin(4x+ ). 6 (2)将 f(x)的图象向右平移 π π 个单位长度后,得到 y=sin(4x- )的图象;再将所得图象上 8 3

π 所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),得到 y=sin(2x- )的图象,所以 g(x) 3 π =sin(2x- ), 3 π π π 2π 因为 0≤x≤ ,所以- ≤2x- ≤ , 2 3 3 3 所以 g(x)∈[- 3 ,1]. 2

π 又 g(x)+k=0 在区间[0, ]上有且只有一个实数解,即函数 y=g(x)与 y=-k 在区间[0, 2 π 3 3 ]上有且只有一个交点,由正弦函数的图象可知- ≤-k< 或-k=1, 2 2 2 解得- 3 3 <k≤ 或 k=-1, 2 2 3 3 , ]∪{-1}. 2 2

所以实数 k 的取值范围是(-

21


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