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高考数学专题七立体几何第练空间角与空间距离的求解练习(新)-课件


【步步高】 (浙江专用)2017 年高考数学 专题七 立体几何 第 55 练 空间角与空间距离的求解练习
训练目标 训练题型 解题策略 (1)会求线面角、二面角;(2)会解决简单的距离问题. (1)求直线与平面所成的角;(2)求二面角;(3)求距离. 利用定义、性质去“找”所求角,通过解三角形求角的三角函数值,尽量利用 特殊三角形求解.

一、选择题 1.(2015·上海闵行区三模)如图, 在底面是边长为 a 的正方形的四棱锥

P-ABCD 中,已知 PA⊥平面 ABCD,且 PA=a,则直线 PB 与平面 PCD 所
成的角的余弦值为( A. C. 1 2 2 2 ) B. D. 1 3 3 2

2.(2015·邯郸上学期教学质量检测)在正四棱锥 P-ABCD 中,PA=2,直线 PA 与平面 ABCD 所成角为 60°,E 为 PC 的中点,则异面直线 PA 与 BE 所成的角为( A.90° C.45° B.60° D.30° )

3.如图所示,在三棱锥 S—ABC 中,△ABC 是等腰三角形,AB=BC=2a,∠ABC=120°,SA= 3a,且 SA⊥平面 ABC,则点 A 到平面 SBC 的距离为( A. C. 3a a B. 2 2 5a 7a D. 2 2 )

二、填空题 4. (2015·丽水二模)如图, 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, 点 M 为平面 ABB1A1 的中心,则 MC1 与平面 BB1C1C 所成角的正切值为________.

1

5.如图所示,在三棱锥 S-ABC 中,△SBC,△ABC 都是等边三角形,且 BC =1,SA= 3 ,则二面角 S-BC-A 的大小为________. 2

6.如图,在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,点 P 在线段 AD1 上运动,给出以下命题: ①异面直线 C1P 与 CB1 所成的角为定值; ②二面角 P-BC1-D 的大小为定值; ③三棱锥 D-BPC1 的体积为定值; ④异面直线 A1P 与 BC1 间的距离为定值. 其中真命题的个数为________. 三、解答题 7.(2015·浙江名校交流卷)如图,在△ABC 中,∠ABC=45°, 2 点 O 在 AB 上,且 OB=OC= AB,PO⊥平面 ABC,DA∥PO,DA=AO 3 1 = PO. 2 (1)求证:PB∥平面 COD; (2)求二面角 O-CD-A 的余弦值.

8.(2015·宁波二模)如图,正四棱锥 S-ABCD 中,SA=AB=2,E,

F,G 分别为 BC,SC,CD 的中点.设 P 为线段 FG 上任意一点.
(1)求证:EP⊥AC; (2)当 P 为线段 FG 的中点时,求直线 BP 与平面 EFG 所成角的余弦 值.

2

9.(2015·安徽江南十校上学期期末大联考)如图,四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,PA⊥底面 ABCD,且 PB 与底面 ABCD 所成的角 为 45°,E 为 PB 的中点,过 A,E,D 三点的平面记为 α ,PC 与 α 的交点为 Q. (1)试确定 Q 的位置并证明; (2)求四棱锥 P-ABCD 被平面 α 所分成上下两部分的体积之比; (3)若 PA=2,截面 AEQD 的面积为 3,求平面 α 与平面 PCD 所成的锐二面角的正切值.

3

答案解析 1.D [设 B 到平面 PCD 的距离为 h,直线 PB 与平面 PCD 所成的角为 α ,则由等体积法可得 1 1 1 1 × × 2a·a·h= × a·a·a, 3 2 3 2 ∴h= 2 a. 2

1 又∵PB= 2a,∴sin α = , 2 π 3 又∵α ∈(0, ),∴cos α = .故选 D.] 2 2 2.C [如图,连接 AC,BD 交于点 O,连接 OE,OP. 因为 E 为 PC 中点,所以 OE∥PA, 所以∠OEB 即为异面直线 PA 与 BE 所成的角. 因为四棱锥 P-ABCD 为正四棱锥, 所以 PO⊥平面 ABCD, 所以 AO 为 PA 在平面 ABCD 内的射影, 所以∠PAO 即为 PA 与平面 ABCD 所成的角, 即∠PAO=60°. 因为 PA=2,所以 OA=OB=1,OE=1. 所以在直角三角形 EOB 中,∠OEB=45°, 即异面直线 PA 与 BE 所成的角为 45°.故选 C.] 3.A [作 AD⊥CB 交 CB 的延长线于点 D,连接 SD,如图所示. ∵SA⊥平面 ABC,BC? 平面 ABC,∴SA⊥BC.又 BC⊥AD,SA∩AD=A,SA? 平面 SAD,AD? 平面 SAD,∴BC⊥平面 SAD,又 BC? 平面 SBC,∴平面 SBC ⊥平面 ASD,且平面 SBC∩平面 ASD=SD.在平面 ASD 内,过点 A 作 AH⊥SD 于点 H, 则 AH⊥平面 SBC, AH 的长即为点 A 到平面 SBC 的距离. 在 Rt△SAD 中, SA = 3a , AD = AB·sin 60°= 3 a. 由

AH AD SA·AD = ,得 AH = = SA SD SD

SA·AD 3a 3a = ,即点 A 到平面 SBC 的距离为 .] 2 2 2 2 SA +AD
4. 5 5

解析

4

如图,过点 M 作 BB1 的垂线,垂足为 N, 则 MN⊥平面 BB1C1C, 连接 NC1, 则∠MC1N 为 MC1 与平面 BB1C1C 所成的角. 设正方体的棱长为 2a, 则 MN=a,NC1= 5a, 所以 tan∠MC1N= 5.60° 解析 取 BC 的中点 O,连接 SO,AO, 因为 AB=AC,O 是 BC 的中点, 所以 AO⊥BC,同理可证 SO⊥BC, 所以∠SOA 是二面角 S-BC-A 的平面角. 在△AOB 中,∠AOB=90°,∠ABO=60°,AB=1, 所以 AO=1×sin 60°= 同理可求 SO= 又 SA= 3 . 2 3 . 2 5 . 5

3 ,所以△SOA 是等边三角形, 2

所以∠SOA=60°, 所以二面角 S-BC-A 的大小为 60°. 6.4 解析 对于①,因为在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, 点 P 在线段 AD1 上运动, 在正方体中有 B1C⊥平面 ABC1D1, 而 C1P? 平面 ABC1D1, 所以 B1C⊥C1P, 所以这两个异面直线所成的角为定值 90°,故①正确; 对于②,因为二面角 P-BC1-D 的实质为平面 ABC1D1 与平面 BDC1 所成的二面角, 而这两个平面为固定不变的平面, 所以夹角也为定值,故②正确; 对于③,三棱锥 D-BPC1 的体积还等于三棱锥 P-DBC1 的体积, 而△DBC1 面积一定, 又因为 P∈AD1,
5

而 AD1∥平面 BDC1, 所以点 A 到平面 DBC1 的距离即为点 P 到该平面的距离, 所以三棱锥的体积为定值,故③正确; 对于④,因为直线 A1P 和 BC1 分别位于平面 ADD1A1, 平面 BCC1B1 中,且这两个平面平行, 由异面直线间的距离定义及求法, 知这两个平面间的距离即为所求的异面直线间的距离, 所以这两个异面直线间的距离为定值,故④正确. 7.(1)证明 因为 PO⊥平面 ABC,AD∥PO,AB? 平面 ABC, 所以 PO⊥AB,DA⊥AB. 1 又 DA=AO= PO,所以∠AOD=45°. 2 2 因为 OB= AB, 3 1 1 所以 OA= AB,所以 OA= OB, 3 2 1 又 AO= PO,所以 OB=OP, 2 所以∠OBP=45°,即 OD∥PB. 又 PB?平面 COD,OD? 平面 COD, 所以 PB∥平面 COD. (2)解 如图,过 A 作 AM⊥DO,垂足为 M, 过 M 作 MN⊥CD 于 N, 连接 AN, 则∠ANM 为二面角 O-CD-A 的平面角. 设 AD=a, 在等腰直角三角形 AOD 中, 得 AM= 2 3 a,在直角三角形 COD 中,得 MN= a, 2 3 30 a, 6

在直角三角形 AMN 中,得 AN= 所以 cos∠ANM= 10 . 5

8.(1)证明 设 AC 交 BD 于 O, ∵S-ABCD 为正四棱锥, ∴SO⊥底面 ABCD,BD⊥AC,
6

又 AC? 平面 ABCD, ∴SO⊥AC,∵BD∩SO=O, ∴AC⊥平面 SBD, ∵E,F,G 分别为 BC,SC,CD 的中点, ∴FG∥SD,BD∥EG. 又 FG∩EG=G,SD∩BD=D, ∴平面 EFG∥平面 BSD, ∴AC⊥平面 GEF. 又∵PE? 平面 GEF,∴PE⊥AC. (2)解 过 B 作 BH⊥GE 于 H,连接 PH, ∵BD⊥AC,BD∥GH, ∴BH∥AC, 由(1)知 AC⊥平面 GEF, 则 BH⊥平面 GEF. ∴∠BPH 就是直线 BP 与平面 EFG 所成的角. 在 Rt△BHP 中,BH= 故 cos∠BPH= = 2 13 15 ,PH= ,PB= , 2 2 2

PH PB

195 . 15

9.解 (1)Q 为 PC 的中点.证明如下: 因为 AD∥BC,AD?平面 PBC,BC? 平面 PBC, 故 AD∥平面 PBC. 又由于平面 α ∩平面 PBC=EQ,故 AD∥EQ, 所以 BC∥EQ. 又 E 为 PB 的中点,故 Q 为 PC 的中点. (2)如图,连接 EQ,DQ, 因为 PA⊥底面 ABCD, 所以 PB 与底面 ABCD 所成的角为∠PBA=45°. 故 PA=AB. 又因为 E 为 PB 的中点, 所以 PE⊥AE. 因为四边形 ABCD 是矩形, 所以 AD⊥AB. 又 PA⊥底面 ABCD,AD? 底面 ABCD,所以 AD⊥PA.

7

又 PA∩AB=A,所以 AD⊥平面 PAB, 又 PE? 平面 PAB,所以 AD⊥PE. 又 AE∩AD=A,AE? 平面 α ,AD? 平面 α , 故 PE⊥平面 α . 设 PA=h,AD=2a, 设四棱锥 P-ABCD 被平面 α 所分成的上下两部分的体积分别为 V1 和 V2,则 EQ=a. 又因为 AD⊥平面 PAB,AE? 平面 PAB,所以 AD⊥AE.

V 上= PE·S 梯形 AEQD
1 2h 1 2h ah = · · (a+2a)· = , 3 2 2 2 4
2

1 3

V 下= PA·S 底面 ABCD-V 上
1 ah 5ah = ·h·2a·h- = , 3 4 12
2 2

1 3

ah2
所以 4 V上 3 = = . V下 5ah2 5 12 (3)过 E 作 EF⊥DQ,连接 PF, 因为 PE⊥平面 α ,所以 PE⊥DF. 又由于 EF∩PE=E,所以 DF⊥平面 PEF,则 DF⊥PF. 所以∠PFE 是平面 α 和平面 PCD 所成的二面角. 因为 PA=2,即 h=2,截面 AEQD 的面积为 3, 1 2 所以 S 梯形 AEQD= (a+2a) h=3, 2 2 解得 a= 2. 又因为 AD∥EQ, 1 且 EQ= AD, 2 1 故 S△EQD= S 梯形 AEQD=1, 3

QD= (AD-QE)2+AE2=2.
1 又 S△EQD= EF·DQ=1,解得 EF=1. 2 1 又 PE= PB= 2. 2
8

在直角三角形 PEF 中,tan∠PFE= = 2, 即平面 α 与平面 PCD 所成的锐二面角的正切值为 2.

PE EF

9


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