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河南省许昌市五校高二数学上学期第一次联考试题理

许昌市五校联考高二第一次考试 理科数学试卷 考试时间:120 分钟 一、选择题: (每题 5 分,计 60 分) 分值:150 分 1. 已知集合 A. 个 B. 个 ,那么集合 C. 个 的子集个数为( D. 个 ) 2. 设 A. C. ,则( B. D. ) 3. 如果一个几何体的三视图如图所示,主视图与左视图是边长 为 2 的正三角形、俯视图轮廓为正方形, (单位:cm) ,则此 几何体的侧面积是( ) A. C. 8 B. D. 14 4. 已知函数 A. 5. 函数 ≤ <0 B. ≤ 是 R 上的增函数,则 的取值范围是( C. 恒过定点为( ≤ ≤ ) ) D. <0 A. B. C. D. 6.下列命题中错误的是( ) A.如果 B.如果 C.如果平面 D.如 果 ,那么 ,那么 内一定存在直线平行于平面 内所有直线都垂直于平面 ,那么 内一定不存在直线垂直于平面 ,那么 ,那么空白的判断框中应填入的条件是( ) 不垂直平面 , , 7. 阅读如下程序框图,如果输出 1 A. B. C. D. 8.一只蜜蜂在一个棱长为 3 的正方体内自由飞行,若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方 体 6 个表面的距离均大于 1,称其为“安全飞行” ,则蜜蜂“安全飞行”的概率为( ) 4π A. 81 B. 81-4π 81 1 C. 27 7 D. 16 9.函数 的单调减区间为( ) A. B. C. D. 10.已知 ,则 的值为( ) A. B. C. D. 的最小值是( ) 11.若 是三角形的最小内角,则函数 A. 12.已知 是圆 的最小值是( ) C. 的结果是 , ,且 .若 的部分图象如右图, B. 的直径,点 C. 为直线 D. 上任意一点,则 A. B. 二、填空题: (每题 5 分 ,计 20 分) 13.化简 14.已知两条直线 15.已知函数 D. . 平行,则 等于_________. 且与 轴交点 ,则 2 16.已知如图,在△ 中, , , , 则 , 的值为______. , , 三、解答题: (共 6 题,计 70 分) 17.(本题满分 10 分 ) 已知平面向量 (1)若 ,求 ; . (2)若 与 夹角为锐角,求 的取值范围. 18.(本题满分 12 分) 已知函数 (1)求 在 上的单调区间; 。 (2)设 求 的值。 19.(本小题满分 12 分) 某校从参加高一年级期中考试的学生中抽出 60 名学生,将其数学成绩(均为整数) 分成六段 , …, , ,然后画出如下 部分频率分布直方图. 观察图形的信息,回答下列问题: (1)求第四小组的频率,并补全这个频率分布直方图; (2)估计这次考试的及格率(60 分及 60 分以上为及格)和平均分; (3)把从 B 组, 分数段选取的最高分的两人组成 分数段的学生组成 C 组,现从 B,C 两组中选两人参加科 普知识竞赛,求 这两个学生都来自 C 组的概率. 20. (本小题满分 12 分) 如图 4,在边长为 1 的等边三角形 中, 分别是 边上的点, , 3 是 的中点, 与 交于点 ,将 沿 折起,得到如图 5 所示的三棱锥 , 其中 (1) 证明: //平面 . ; (2) 证明: 平面 ; (3) 当 时,求三棱锥 的体积 . 21.(本题满分 12 分) 已知圆 点. (1)若 (2)若点 ,求直线 的倾斜角; 满足 ,求此时直线 的方程. , 直线 , 且直线 与圆 交于 两 22.(本小题满分 12 分) 已知函数 (1)用定义法 证明 , 在 上是增函数; 的实数 构成的集合; ,都存在一个实数 ,使得 ,求 (2)求出所有满足不等式 (3)对任意的实数 实数 的取值范围。 4 1—5 BACCB 13. 0 三.解答题 14 6---10 或 数学答案(理科) BBCBB 11---12 AD 15. 16. 17.(本题满分 10 分) 解:(1) 或 18、 (本题满分 12 分)(1)因为 ; (2) ,当 , 在 上的单调增区间为: ,减区间 (2)因为 即 ,所以 。 又因为 即 ,因为 所以 ,因为 ,所以 , 所以 19.(本题满分 12 分) = (3) 分数段的学生人数为: 人,即 C 组只有 3 人;把从 B 组 抽取的 2 人记为 、 ; 组的 3 人记为 、 、 ,则从 B、C 两组的 5 人中抽选 2 5 人去参加竞赛的基本事件有: (b1,b2) , (b 1,c1) , (b1,c2) , (b1,c3) , (b2,c1) , (b2,c2) , (b2,c3),( c1,c2), ( c1,c3), ( c2,c3)共 10 种.设选中的 2 人都来 C 组的事件为 ,则 包含的基本事件有( c1,c2), ( c1,c3), ( c2,c3)共 3 种. 因此 . 故选中的 2 人都来自 C 组的概率为 ………………12 分 20. (1) 也成立, 平面 , , ,在折叠后的三棱锥 平面 平面 , 中 ; ………………… 6 分 (2)在等边三角形 中, 是 的中点,所以 ①, . 在三棱锥 中, , ; ………………… 8 分 ② (3)由(1)可知 ,结合(2)可得 . ……… 12 分 21、 (本题满分 12 分) (1)由圆 ,得圆的半径 ,又 , 故弦心距 .再由点到直线的距离公式可得 , ∴ ,解得 .即直线 的斜率等于 , 故直线 的倾斜角等于 (2)设 或 .----6 分 ,由题意 ,∴ ,即 ,化简可得 可得 .①----8 分 再把直线方程

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