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高中数学必修五 数列通项公式常见求法


求数列通项公式的方法
1. 叠加法

an?1 ? an ? f (n) ,且 f (1) ? f (2) ? ? ? f (n) 比较好求.
【例题】数列 ?an ? 的首项为 3 , ?bn ? 为等差数列且 bn ? an?1 ? an (n ? N*) .若则 b3 ? ?2 ,

b10 ? 12 ,则 a8 ?

.

★练习 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 2. 叠乘法

1 1 , an ?1 ? an ? 2 ,求数列 ?an ? 的通项公式. 2 n ?n

an?1 ? f (n)an ,且 f (1) ? f (2) ??? f (n) 比较好求.
【例题】在数列{ an }中, a1 =1, ★练习 在数列{ an }中, a1 =1, 3. 待定系数法 (1)an =qan-1 +p(q、p 为常数,q≠1 且 p≠0) ,可化为 an +λ=q(an-1 +λ).构造出一个以 q 为公比的等 比数列{an +λ},然后化简用待定系数法求 λ,从而求出 an . (2)对于 an?1 ? qan ? f (n)(其中q为常数) 这种形式,一般我们讨论两种情况: ①当 f(n)为多项式时,可化为 an ?1 ? g ? n ? 1? ? q ? ? an +g ? n ? ? ? 的形式来求通项,其中 g(n)是 f(n)的齐次式. 【例题】设数列 ?an ? 中, a1 ? 1, an?1 ? 3an ? 2n ? 1 ,求 ?an ? 的通项公式. ★练习 设数列 ?an ? 中, a1 ? 1, an?1 ? 2an ? n2 ? n ,求 ?an ? 的通项公式. ②当 f(n)为指数幂即递推公式为 an?1 ? qan ? r ? pn (q、r、p为常数), 可两边同时除以 p n ?1 化为
an ?1 q an r ?a ? ? ? n ? 的形式,可以求出数列 ? nn ? 的通项公式,从而求出 an . n ?1 p p p p ?p ?

a n?1 = 2n · an ,则 ?an ? 的通项公式为

(n+1)· a n?1 =n· an ,则 ?an ? 的通项公式为 .

.

【例题】设数列 ?an ? 中, a1 ? 1, an?1 ? 4an ? 2 ,求 ?an ? 的通项公式.
n

★练习 设数列 ?an ? 中, a1 ? 1, an?1 ? 3an ? 2 ? 3n ,求 ?an ? 的通项公式.

4. 倒数法

an ?

an ?1 ,可以两边取倒数; an ? an?1 ? an?1 ? an ,可以两边同时除以 an an?1 . kan ?1 ? b
an ? 1 ,求 ?an? 的通项公式. 3an ? 1 ? 1

【例题】已知数列 ?an? 满足: a1 ? 1, an ? ★练习 在数列{ an }中, a1 ? 5. 对数法

1 , an ? an?1 ? an?1 ? an ,求数列{ an }的通项公式. 3

an?1 ? qanp (q、p为常数),两边分别取对数,进行降次.
2 【例题】已知数列 ?an ? 满足: a1 ? 3, an?1 ? an ,求 ?an ? 的通项公式. 2 ★练习 已知数列 ?an? 满足: a1 ? 2, an?1 ? an ? 2an ,求 ?an? 的通项公式.

6. 特征方程法 (1)an+2=A an+1 +B an (A、B 是常数) ,特征方程为 x2-Ax-B=0, ①当方程有两个相异的实根 p、q 时,有:an ? c1 ? pn ? c2 ? qn ,其中 c1 与 c2 由 a1和a2 确定; ②当方程有两个相同的实根 p 时,有 an ? (c1 ? n ? c2 ) p n ,其中 c1 与 c2 由 a1和a2 确定. 【例题】已知数列 {an } 满足 a1 ? 2, a2 ? 3, an?2 ? 3an?1 ? 2an (n ? N * ) ,求 {an } 的通项公式. ★练习 已知数列 {an } 满足 a1=2,a2=3, an ? 2 ? 2an ?1 ? an ,求 {an } 的通项公式.

(2) an ?1 ?

ax ? b a ? an ? b (a、b、c、d 为常数) ,特征方程为 x ? , cx ? d c ? an ? d

①当方程有两个相异的实根 p、q 时,数列 ? 等比数列; ②当方程有两个相同的实根 p 时,数列 ? 数列. 【例题】已知数列 {an } 满足 a1 ? 2, an ?

? an ? p ? a1 ? p a ? cp 为首项, 为公比的 ? 是以 a1 ? q a ? cq ? an ? q ?

?

2c 1 1 ? 为首项, 为公差的等差 ? 是以 a?d a1 ? p ? an ? p ?

an?1 ? 2 (n ? 2) ,求数列 {an } 的通项 an . 2an?1 ? 1


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