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2011届高三数学一轮复习:基础知识归纳(高中全部)

2011 届高三数学一轮复习:基础知识归纳
第一部分 集合 1.理解集合中元.素.的.意.义.是解决集合问题的关键:元素是函数关系中自变量的取值?还
是因变量的取值?还是曲线上的点?… 2.数.形.结.合.是解集合问题的常用方法:解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩
图等工具,将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化,然后利用数形结合的思想方法 解决
3.(1) 元素与集合的关系: x ? A ? x ?CU A , x ?CU A ? x ? A . (2)德摩根公式: CU ( A B) ? CU A CU B;CU ( A B) ? CU A CU B .
(3)
A B ? A ? A B ? B ? A ? B ? CU B ? CU A ? A CU B ? ?
? CU A B ? R
注意:讨论的时候不要遗忘了 A ? ? 的情况.
(4)集合{a1, a2 , , an} 的子集个数共有 2n 个;真子集有 2n –1 个;非空子集有 2n –1 个; 非空真子集有 2n –2 个.
4.? 是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.

第二部分 函数与导数 1.映射:注意: ①第一个集合中的元素必须有象;②一对一或多对一. 2.函数值域的求法:①分析法 ;②配方法 ;③判别式法 ;④利用函数单调性 ;⑤换元法 ;

⑥利用均值不等式 ab ? a ? b ? a2 ? b2 ; ⑦利用数形结合或几何意义(斜率、距离、

2

2

绝对值的意义等);⑧利用函数有界性( a x 、 sin x 、 cos x 等);⑨平方法;⑩ 导数法
3.复合函数的有关问题: (1)复合函数定义域求法:
① 若 f(x)的定义域为[a,b],则复合函数 f[g(x)]的定义域由不等式 a ≤ g(x) ≤ b 解出 ② 若 f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域,相当于 x∈[a,b]时,求 g(x)的值 域. (2)复合函数单调性的判定:
①首先将原函数 y ? f [g(x)]分解为基本函数:内函数 u ? g(x) 与外函数 y ? f (u)
②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性 ③根据“同性则增,异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性. 4.分段函数:值域(最值)、单调性、图象等问题,先分段解决,再下结论。 5.函数的奇偶性:

-1-

⑴函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必.要.条.件.
⑵ f (x) 是奇函数 ? f (?x) ? ? f (x) ; f (x) 是偶函数 ? f (?x) ? f (x) .

⑶奇函数 f (x) 在 0 处有定义,则 f (0) ? 0
⑷在关于原点对称的单调区间内:奇函数有相同的单调性,偶函数有相反的单调性 ⑸若所给函数的解析式较为复杂,应先等价变形,再判断其奇偶性 6.函数的单调性: ⑴单调性的定义:
① f (x) 在区间 M 上是增函数 ? ?x1, x2 ? M , 当 x1 ? x2 时有 f (x1) ? f (x2 ) ;
② f (x) 在区间 M 上是减函数 ? ?x1, x2 ? M , 当 x1 ? x2 时有 f (x1) ? f (x2 ) ;
⑵单调性的判定:①定义法:一般要将式子 f (x1 ) ? f (x2 ) 化为几个因式作积或作商的形式,
以利于判断符号;②导数法(见导数部分);③复合函数法;④图像法 注:证明单调性主要用定义法和导数法。 7.函数的周期性:
(1)周期性的定义:对定义域内的任意 x ,若有 f (x ? T ) ? f (x) (其中T 为非零常数),

则称函数 f (x) 为周期函数,T 为它的一个周期。所有正周期中最小的称为函数的最
小正周期。如没有特别说明,遇到的周期都指最小正周期。
(2)三角函数的周期:① y ? sin x : T ? 2? ;② y ? cosx : T ? 2? ;

③ y ? tan x : T ? ? ;④ y ? Asin(?x ? ?), y ? Acos(?x ? ?) : T ? 2? ; |? |

⑤ y ? tan?x : T ? ? |? |
(3)与周期有关的结论:
f (x ? a) ? f (x ? a) 或 f (x ? 2a) ? f (x)(a ? 0) ? f (x) 的周期为 2a
8.基本初等函数的图像与性质:
㈠.⑴指数函数: y ? a x (a ? 0, a ? 1) ;⑵对数函数: y ? log a x(a ? 0, a ? 1) ;
⑶幂函数: y ? x? (? ? R) ;⑷正弦函数: y ? sin x ;⑸余弦函数: y ? cosx ;

(6)正切函数: y ? tan x ;⑺一元二次函数: ax2 ? bx ? c ? 0 (a≠0);⑻其它常用函

数:

① 正比例函数:y ? kx(k ? 0) ;②反比例函数:y ? k (k ? 0) ;③函数 y ? x ? a (a ? 0)

x

x

-2-

m
㈡.⑴分数指数幂: a n

?

n

am

?m
;a n

?

1
m

(以上 a

? 0, m, n ? N ? ,且 n ?1 ).

an

⑵.① ab ? N ? log a N ? b ;

② log a ?MN ? ? log a M ? log a N ;

③ log a

M N

? log a

M

? log a

N



④ logam

bn

?

n m

loga

b

.

⑶.对数的换底公式: loga

N

?

logm N logm a

.对数恒等式: aloga N

?

N

.

9.二次函数:

⑴解析式:①一般式: f (x) ? ax2 ? bx ? c ;②顶点式: f (x) ? a(x ? h)2 ? k ,(h, k) 为顶

点;

③零点式: f (x) ? a(x ? x1)( x ? x2 ) (a≠0).

⑵二次函数问题解决需考虑的因素: ①开口方向;②对称轴;③端点值;④与坐标轴交点;⑤判别式;⑥两根符号。

二次函数

y

?

ax2

?

bx

?

c

的图象的对称轴方程是

x

?

?

b 2a

,顶点坐标是 ???? ?

b ,4ac ? 2a 4a

b2

????



10.函数图象: ⑴图象作法 :①描点法 (特别注意三角函数的五点作图)②图象变换法 ③导数法 ⑵图象变换:

① 平移变换:ⅰ) y ? f (x) ? y ? f (x ? a) , (a ? 0) ———左“+”右“-”;

ⅱ) y ? f (x) ? y ? f (x) ? k, (k ? 0) ———上“+”下“-”;
② 对称变换:ⅰ) y ? f (x) ?(?0?,0)? y ? ? f (?x) ;ⅱ) y ? f (x) ?? y?0? y ? ? f (x) ;
ⅲ) y ? f (x) ?x??0? y ? f (?x) ; ⅳ) y ? f (x) ?? y??x? x ? f ( y) ;
③ 翻折变换:
ⅰ) y ? f (x) ? y ? f (| x |) ———(去左翻右)y 轴右不动,右向左翻( f (x) 在 y 左侧图象
去掉);
ⅱ) y ? f (x) ? y ?| f (x) | ———(留上翻下)x 轴上不动,下向上翻(| f (x) |在 x 下面无
图象); 11.函数图象(曲线)对称性的证明:
(1)证明函数 y ? f (x) 图像的对称性,即证明图像上任意点关于对称中心(对称轴)的
对称点仍在图像上;
(2)证明函数 y ? f (x) 与 y ? g(x) 图象的对称性,即证明 y ? f (x) 图象上任意点关于

对称中心(对称轴)的对称点在 y ? g(x) 的图象上,反之亦然。

-3-

注:①曲线 C1:f(x,y)=0 关于原点(0,0)的对称曲线 C2 方程为:f(-x,-y)=0; 曲线 C1:f(x,y)=0 关于直线 x=0 的对称曲线 C2 方程为:f(-x, y)=0; 曲线 C1:f(x,y)=0 关于直线 y=0 的对称曲线 C2 方程为:f(x, -y)=0; 曲线 C1:f(x,y)=0 关于直线 y=x 的对称曲线 C2 方程为:f(y, x)=0
②f(a+x)=f(b-x) (x∈R) ? y=f(x)图像关于直线 x= a ? b 对称; 2
特别地:f(a+x)=f(a-x) (x∈R) ? y=f(x)图像关于直线 x=a 对称.
③ y ? f (x) 的图象关于点 (a,b) 对称 ? f ?a ? x? ? f ?a ? x? ? 2b . 特别地: y ? f (x) 的图象关于点 (a, 0) 对称 ? f ?a ? x? ? ? f ?a ? x? .
④函数 y ? f (x ? a) 与函数 y ? f (a ? x) 的图象关于直线 x ? a 对称;

函数 y ? f (a ? x) 与函数 y ? f (a ? x) 的图象关于直线 x ? 0对称。

12.函数零点的求法:

⑴直接法(求 f (x) ? 0 的根);⑵图象法;⑶二分法.

(4)零点定理:若 y=f(x)在[a,b]上满足 f(a)·f(b)<0 , 则 y=f(x)在(a,b)内至少有一 个零点。 13.导数:

⑴导数定义:f(x)在点 x0 处的导数记作 y?

x ? x0

?

f

?( x0

)

?

lim
?x?0

f (x0

? ?x) ? ?x

f (x0 )

⑵常见函数的导数公式: ① C ' ? 0 ;② (x n )' ? nxn?1 ;③ (sin x)' ? cos x ;

④ (cos

x)'

?

? sin

x ;⑤ (a x )'

?

ax

ln

a ;⑥ (e x )'

?

ex

;⑦ (loga

x)'

?

1 x ln a



⑧ (ln x)' ? 1 。 x

⑶导数的四则运算法则:

(u

?

v)?

?

u?

?

v?; (uv)?

?

u?v

?

uv?;(u )? v

?

u?v ? uv? v2

;

⑷(理科)复合函数的导数: y?x ? yu? ? u?x ;

⑸导数的应用: ①利用导数求切线:注意:ⅰ)所给点是切点吗?ⅱ)所求的是“在”还是“过”该点的
切线? ②利用导数判断函数单调性:i) f ?(x) ? 0 ? f (x) 是增函数;ii) f ?(x) ? 0 ? f (x) 为 减函数;iii) f ?(x) ? 0 ? f (x) 为常数;

③利用导数求极值:ⅰ)求导数 f ?(x) ;ⅱ)求方程 f ?(x) ? 0 的根;ⅲ)列表得极值。

④ 利用导数求最大值与最小值:ⅰ)求极值;ⅱ)求区间端点值(如果有);ⅲ)比较 得最值。

第三部分 三角函数、三角恒等变换与解三角形

1.⑴角度制与弧度制的互化:? 弧度 ? 180? ,1? ? ? 弧度,1弧度 ? (180)? ? 57?18'

180

?

-4-

⑵弧长公式: l ? ?R ;扇形面积公式: S ? 1 lR ? 1 ?R 2 。
22
2.三角函数定义:角? 终边上任一点(非原点)P (x, y) ,设| OP |? r 则:

sin ? ? y , cos? ? x , tan? ? y

r

r

x

3.三角函数符号规律:一全正,二正弦,三正切,四余弦;(简记为“全 s t c”)

4.诱导公式记忆规律:“奇变偶不变,符号看象限”

5.⑴ y ? Asin(?x ? ?) 对称轴:令?x ? ? ? k? ? ? ,得 x ? ?; 对称中心: 2

(k? ? ? ,0)(k ? Z) ; ?

⑵ y ? Acos(?x ? ?) 对称轴:令?x ? ? ? k? ,得 x ? k? ? ? ;对称中心: ?

k? (

?

? 2

??

,0)(k

?Z)



?

⑶周期公式:①函数 y ? Asin(?x ??) 及 y ? Acos(?x ??) 的周期T ? 2? (A、ω 、? 为 ?
常数,
且 A≠0).②函数 y ? A tan??x ? ? ? 的周期T ? ? (A、ω 、? 为常数,且 A≠0).
?

6.同角三角函数的基本关系: sin 2 x ? cos2 x ? 1; sin x ? tan x c os x
7.三角函数的单调区间及对称性:



y

?

sin

x

的单调递增区间为

???2k?

?

? 2

,

2k?

?

? 2

? ??

k

?

Z

,单调递减区间为

???2k?

?

? 2

,

2k?

?

3? 2

? ??

k

?

Z

,对称轴为

x

?

k?

?

? 2

(k

?

Z)

,对称中心为 ?k? ,

0?

(k

?

Z)

.

⑵ y ? cos x 的 单 调 递 增 区 间 为 ?2k? ??, 2k? ?k ?Z , 单 调 递 减 区 间 为

?2k?,2k? ?? ?k ?Z ,

对称轴为

x

?

k?

(k

?Z)

,对称中心为

? ??

k?

?

? 2

,

0

? ??

(k

?

Z)

.



y

?

tan

x

的单调递增区间为

? ??

k?

?

? 2

,

k?

?

? 2

? ??

k

?

Z

,对称中心为

?? k? ,0?? ?k ? Z ? .
?2 ?
8.两角和与差的正弦、余弦、正切公式:
① sin(? ? ? ) ? sin? cos ? ? cos? sin ? ; cos(? ? ? ) ? cos? cos ? sin? sin ? ;

-5-

tan(? ? ? ) ? tan? ? tan ? . 1 tan? tan ?
② sin(? ? ? ) sin(? ? ? ) ? sin2 ? ? sin2 ? ; cos(? ? ? ) cos(? ? ? ) ? cos2 ? ? sin2 ? .

③ asin? ? bcos? = a2 ? b2 sin(? ??) (其中,辅助角? 所在象限由点 (a, b) 所在的象限

决定, tan? ? b ). a

9.二倍角公式:① sin 2? ? 2sin? cos? . (sin? ? cos? )2 ? 1? 2sin? cos? ? 1? sin 2?

② cos 2? ? cos2 ? ? sin2 ? ? 2cos2 ? ?1 ?1? 2sin2 ? (升幂公式).

cos2 ? ? 1? cos 2? ,sin2 ? ? 1? cos 2? (降幂公式).

2

2

10.正、余弦定理:

⑴正弦定理: a ? b ? c ? 2R ( 2R 是 ?ABC外接圆直径 ) sin A sin B sin C

注:① a : b : c ? sin A: sin B : sin C ;② a ? 2Rsin A,b ? 2Rsin B,c ? 2Rsin C ;

③a ?b ? c ?

a?b?c



sin A sin B sin C sin A ? sin B ? sin C

⑵余弦定理: a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A 等三个; cos A ? b2 ? c 2 ? a 2 等三个。 2bc

11.几个公式:⑴三角形面积公式:①

S

?

1 2

aha

?

1 2

bhb

?

1 2

chc( ha、hb、hc 分别表示

a、

b、c 边上的高);② S ? 1 ab sin C ? 1 bc sin A ? 1 ca sin B .③

2

2

2

S?OAB

?

1 2

(| OA | ? | OB |)2 ? (OA?OB)2

⑵内切圆半径 r= 2S?ABC ; 外接圆直径 2R= a ? b ? c ;

a?b?c

sin A sin B sin C

第四部分 立体几何

1.三视图与直观图:⑴画三视图要求:正视图与俯视图长对正;正视图与侧视图高平齐;侧

视图与俯视图宽相等。 ⑵斜二测画法画水平放置几何体的直观图的要领。

2.表(侧)面积与体积公式:

⑴柱体:①表面积:S=S 侧+2S 底;②侧面积:S 侧= 2?rh ;③体积:V=S 底 h

⑵锥体:①表面积:S=S 侧+S 底;②侧面积:S 侧=?rl ;③体积:V= 1 S 底 h: 3

⑶台体:①表面积:S=S

侧+ S 上底

?S

下底;②侧面积:S

侧=? (r

?

r ' )l

;③体积:V= 1(S+ 3

h;

SS ' ? S ' )

⑷球体:①表面积:S= 4?R 2 ;②体积:V= 4 ?R3 . 3
3.位置关系的证明(主要方法):

-6-

⑴直线与直线平行:①公理 4;②线面平行的性质定理;③面面平行的性质定理。
⑵直线与平面平行:①线面平行的判定定理;②面面平行 ?线面平行。
⑶平面与平面平行:①面面平行的判定定理及推论;②垂直于同一直线的两平面平行。 ⑷直线与平面垂直:①直线与平面垂直的判定定理;②面面垂直的性质定理。 ⑸平面与平面垂直:①定义----两平面所成二面角为直角;②面面垂直的判定定理。 注:以上理科还可用向量法。 4.求角:(步骤-------Ⅰ.找或作角;Ⅱ.求角) ⑴异面直线所成角的求法:
①平移法:平移直线,构造三角形;②用向量法 ⑵直线与平面所成的角:
①直接法(利用线面角定义);②用向量法 5.结论: ⑴棱锥的平行截面的性质如果棱锥被平行于底面的平面所截,那么所得的截面与底面相似,截
面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比(对应角相等,对应边对应成 比例的多边形是相似多边形,相似多边形面积的比等于对应边的比的平方);相应小棱锥与 小棱锥的侧面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比.

⑵长方体从一个顶点出发的三条棱长分别为 a,b,c,则体对角线长为 a2 ? b2 ? c2 ,
全面积为 2ab+2bc+2ca,体积 V=abc。

⑶正方体的棱长为 a,则体对角线长为 3a ,全面积为 6a 2 ,体积 V= a 3 。
⑷球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长. 球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是 正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.
⑷正四面体的性质:设棱长为 a ,则正四面体的:

① 高:h ? 6 a ;②对棱间距离: 2 a ;③内切球半径: 6 a ;④外接球半径: 6 a 。

3

2

12

4

第五部分 直线与圆

1.斜率公式: k

?

y2 x2

? ?

y1 x1

,其中 P1(x1,

y1) 、 P2 (x2 ,

y2 ) .

直线的方向向量 v ? ?a,b?,则直线的斜率为 k = b (a ? 0) .
a

2.直线方程的五种形式:

(1)点斜式: y ? y1 ? k(x ? x1) (直线 l 过点 P1(x1, y1) ,且斜率为 k ). (2)斜截式: y ? kx ? b ( b 为直线 l 在 y 轴上的截距).

(3)两点式:

y ? y1 y2 ? y1

?

x ? x1 x2 ? x1

(

P1 ( x1 ,

y1) 、 P2 (x2 ,

y2 )

x1 ? x2 , y1 ? y2 ).

(4)截距式: x ? y ? 1 (其中 a 、 b 分别为直线在 x 轴、 y 轴上的截距,且 a ? 0,b ? 0 ). ab

(5)一般式: Ax ? By ? C ? 0 (其中 A、B 不同时为 0).

3.两条直线的位置关系:

(1)若 l1 : y ? k1x ? b1 , l2 : y ? k2 x ? b2 ,则:

-7-

① l1 ∥ l2 ? k1 ? k2 , b1 ? b2 ; ② l1 ? l2 ? k1k2 ? ?1. (2)若 l1 : A1x ? B1 y ? C1 ? 0 , l2 : A2 x ? B 2 y ? C2 ? 0 ,则:
① l1 // l2 ? A1B2 ? A2 B1 ? 0 且 A1C2 ? A2C1 ? 0 ;② l1 ? l2 ? A1A2 ? B1B2 ? 0 .
4.求解线性规划问题的步骤是: (1)列约束条件;(2)作可行域,写目标函数;(3)确定目标函数的最优解。 5.两个公式:
⑴点 P(x0,y0)到直线 Ax+By+C=0 的距离: d ? Ax0 ? By0 ? C ;
A2 ? B2
⑵两条平行线 Ax+By+C1=0 与 Ax+By+C2=0 的距离 d ? C1 ? C2 A2 ? B2
6.圆的方程:
⑴标准方程:① (x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 ;② x 2 ? y 2 ? r 2 。
⑵一般方程: x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ( D2 ? E 2 ? 4F ? 0)
注:Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 表示圆 ? A=C≠0 且 B=0 且 D2+E2-4AF>0
7.圆的方程的求法:⑴待定系数法;⑵几何法。 8.点、直线与圆的位置关系:(主要掌握几何法)
⑴点与圆的位置关系:( d 表示点到圆心的距离) ① d ? R ? 点在圆上;② d ? R ? 点在圆内;③ d ? R ? 点在圆外。 ⑵直线与圆的位置关系:( d 表示圆心到直线的距离) ① d ? R ? 相切;② d ? R ? 相交;③ d ? R ? 相离。
⑶圆与圆的位置关系:( d 表示圆心距, R, r 表示两圆半径,且 R ? r )
① d ? R ? r ? 相离;② d ? R ? r ? 外切;③ R ? r ? d ? R ? r ? 相交; ④ d ? R ? r ?内切;⑤ 0 ? d ? R ? r ? 内含。
9.直线与圆相交所得弦长| AB |? 2 r2 ? d 2

第六部分 圆锥曲线
1.定义:⑴椭圆:| MF1 | ? | MF2 |? 2a, (2a ?| F1F2 |) ;

⑵双曲线:|| MF1 | ? | MF2 ||? 2a, (2a ?| F1F2 |) ; ⑶抛物线:|MF|=d

2.结论 :⑴直线与圆锥曲线相交的弦长公式:若弦端点为 A (x1, y1 ), B(x2 , y2 ) ,则

AB ?

(x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 ,或 AB ? x1 ? x2

1 ? k 2 , 或 AB ? y1 ? y2

1? 1 . k2

注:①抛物线: AB =x1+x2+p;②通径(最短弦):ⅰ)椭圆、双曲线: 2b 2 ;ⅱ)抛 a
物线:2p.

⑵过两点的椭圆、双曲线标准方程可设为:mx 2 ? ny 2 ? 1 ( m, n 同时大于 0 时表示椭

-8-

圆;

mn ? 0 时表示双曲线);当点 P 与椭圆短轴顶点重合时 ?F1PF2 最大;

⑶双曲线中的结论:

①双曲线 x 2 ? y 2 ? 1(a>0,b>0)的渐近线: x 2 ? y 2 ? 0 ;

a2 b2

a2 b2

②共渐进线 y ? ? b x 的双曲线标准方程可设为 x 2 ? y 2 ? ?(? 为参数, ? ≠ 0);

a

a2 b2

③双曲线为等轴双曲线 ? e ? 2 ? 渐近线互相垂直;
⑷焦点三角形问题求解:利用圆锥曲线定义和余弦定理联立求解。 3.直线与圆锥曲线问题解法: ⑴直接法(通法):联立直线与圆锥曲线方程,构造一元二次方程求解。
注意以下问题:①联立的关于“ x ”还是关于“ y ”的一元二次方程?②直线斜率不
存在时 考虑了吗?③判别式验证了吗?
⑵设而不求(点差法-----代点作差法):--------处理弦中点问题

步骤如下:①设点 A(x1,y1)、B(x2,y2);②作差得 k AB

?

y1 ? y2 x1 ? x2

? ?? ;③解决问题。

4.求轨迹的常用方法:(1)定义法:利用圆锥曲线的定义; (2)直接法(列等式);(3) 代入法(又称相关点法或坐标转移法);⑷待定系数法;(5)消参法;(6)交轨法;(7) 几何法。

第七部分 平面向量
1.平面上两点间的距离公式: d A,B ? (x2 ? x1)2 ? ( y2 ? y1)2 ,其中 A (x1, y1) ,B (x2 , y2 ) . 2.向量的平行与垂直: 设 a = (x1, y1) , b = (x2 , y2 ) ,且 b ? 0 ,则:
① a ∥ b ? b =λ a ? x1 y2 ? x2 y1 ? 0 ; ② a ? b ( a ? 0 ) ? a · b =0 ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0 .
3.a·b=|a||b|cos<a,b>= x 1 x2+y1y2;
注:①|a|cos<a,b>叫做 a 在 b 方向上的投影;|b|cos<a,b>叫做 b 在 a 方向上的投影; ②a·b 的几何意义:a·b 等于|a|与|b|在 a 方向上的投影|b|cos<a,b>的乘积。

a?b

4.cos<a,b>=



| a || b |

5.三点共线的充要条件:P,A,B 三点共线 ? OP ? xOA ? yOB且x ? y ? 1。

1.定义:

第八部分 数列

-9-

(1)等差数列{an}? an?1 ? an ? d (d为常数, n ? N ?)? an ? an?1 ? d (n ? 2) ? 2an ? an?1 ? an?1 (n ? 2, n ? N*) ? an ? kn ? b ? Sn ? An2 ? Bn

⑵等比数列{an } ?

a n ?1 an

? q(q

? 0) ?

an 2

? an-1 ? an?1 (n

? 2, n ? N? )

2.等差、等比数列性质: 等差数列

等比数列

通项公式 an ? a1 ? (n ?1)d

an ? a1q n?1

前 n 项和

Sn

?

n(a1 ? 2

an )

?

na1

?

n(n ?1) 2

d

1.q ? 1时,Sn ? na1;

2.q

? 1时,Sn

?

a1 (1 ? q n ) 1? q

? a1 ? an q 1? q

性质

①an=am+ (n-m)d, ②m+n=p+q 时 am+an=ap+aq

①an=amqn-m; ②m+n=p+q 时 aman=apaq

③ Sk , S2k ? Sk , S3k ? S2k ,? 成 AP ③ Sk , S2k ? Sk , S3k ? S2k ,? 成 GP

④ ak , ak?m , ak?2m ,?成 AP, d' ? md ④ ak , ak?m , ak?2m ,?成 GP, q' ? q m

3.常见数列通项的求法:

⑴定义法(利用 AP,GP 的定义);⑵累加法( an ?1 ? an ? cn 型);⑶公式法:an=

S1 Sn-Sn-1

⑷累乘法( an?1 an

? cn 型);⑸待定系数法( an?1

? kan

? b 型)转化为 an?1

? x ? k(an

? x)

(n=1) (n≥2)

(6)间接法(例如: an?1

? an

? 4an an?1

?

1 an

?

1 an?1

?

4 );(7)(理科)数学归纳法。

4.前 n 项和的求法:⑴分组求和法;⑵错位相减法;⑶裂项法。
5.等差数列前 n 项和最值的求法:



S

n

最大值

?a ??a

n ?0 n?1 ?

0????

或S

n

最小值???aann?1??0

0

????

;⑵利用二次函数的图象与性质。

第九部分 不等式

1.均值不等式: ab ? a ? b ? a2 ? b2 (a,b ? 0)

2

2

注意:①一正二定三相等;②变形: ab ? ( a ? b )2 ? a 2 ? b2 (a,b ? R) 。

2

2

- 10 -

2.极值定理:已知 x, y 都是正数,则有:

(1)如果积 xy 是定值 p ,那么当 x ? y 时和 x ? y 有最小值 2 p ;

(2)如果和 x ? y 是定值 s ,那么当 x ? y 时积 xy 有最大值 1 s 2 . 4
3.解一元二次不等式 ax2 ? bx ? c ? 0(或 ? 0) :若 a ? 0 ,则对于解集不是全集或空集时,对应

解集为“大两边,小中间”.如:当 x1 ? x2 , ?x ? x1 ??x ? x2 ? ? 0 ? x1 ? x ? x2 ; ?x ? x1 ??x ? x2 ? ? 0 ? x ? x2或x ? x1 .
4.含有绝对值的不等式:当 a ? 0 时,有:① x ? a ? x2 ? a2 ? ?a ? x ? a ;

② x ? a ? x2 ? a2 ? x ? a 或 x ? ?a .

5.分式不等式:

(1)

f ?x? g?x?

?

0

?

f ?x?? g?x? ? 0 ;

(2)

f ?x? g?x?

?

0

?

f ?x?? g?x? ? 0 ;

(3)

f ?x? g?x?

?

0

?

? f ?x?? g?x? ??g?x? ? 0

?

0



(4)

f ?x? g?x?

?

0

?

? f ?x?? g?x? ??g?x? ? 0

?

0

.

6.指数不等式与对数不等式

? f (x) ? 0 (1)当 a ?1时, a f (x) ? ag(x) ? f (x) ? g(x) ; loga f (x) ? loga g(x) ? ??g(x) ? 0 .
?? f (x) ? g(x)

? f (x) ? 0 (2)当 0 ? a ?1时, a f (x) ? ag(x) ? f (x) ? g(x) ;loga f (x) ? loga g(x) ? ??g(x) ? 0
?? f (x) ? g(x)
3.不等式的性质:

⑴ a ? b ? b ? a ;⑵ a ? b,b ? c ? a ? c ;⑶ a ? b ? a ? c ? b ? c ; a ? b,c ? d

? a ? c ? b ? d ;⑷ a ? b,c ? 0 ? ac ? bd ; a ? b,c ? 0 ? ac ? bc ;

a ? b ? 0, c ? d ? 0

? ac ? bd ;⑸ a ? b ? 0 ? a n ? bn ? 0(n ? N ? ) ;⑹ a ? b ? 0 ? n a ? n b (n ? N ? )

第十部分 复数
1.概念:
⑴z=a+bi∈R ? b=0 (a,b∈R) ? z= z ? z2≥ 0;⑵z=a+bi 是虚数 ? b≠ 0(a,b∈R); ⑶z=a+bi 是纯虚数 ? a=0 且 b≠ 0(a,b∈R) ? z+ z =0(z≠ 0) ? z2<0; ⑷a+bi=c+di ? a=c 且 c=d(a,b,c,d∈R);
2.复数的代数形式及其运算:设 z1= a + bi , z2 = c + di (a,b,c,d∈R),则:
(1) z 1± z2 = (a + b) ± (c + d)i;⑵ z1.z2 = (a+bi)·(c+di)=(ac-bd)+ (ad+bc)i;

- 11 -

⑶ z1 = (a ? bi)(c ? di) ? z2 (c ? di)(c ? di)

ac ? bd ? bc ? ad i (z2≠ 0) ; c2 ? d2 c2 ? d 2

3.几个重要的结论:

① (1? i) 2 ? ?2i ;② 1? i ? i; 1? i ? ?i; 1?i 1?i

③ i 性质:T=4; i 4n ? 1, i 4n?1 ? i, i 4n?2 ? ?1, i 4n?3 ? ?i ; i 4n ? i 4n?1 ? i 4?2 ? i 4n?3 ? 0;

4.模的性质:⑴ |

z1 z 2

|?|

z1

||

z2

| ;⑵|

z1 z2

|?

| z1 | z2

| ;⑶| |

zn

|?|

z

|n 。

5.实系数一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0 的解:

①若 ? ? b2 ? 4ac ? 0 ,则 x1,2 ? ?b ?

b2 2a

?

4ac

;②若 ?

?

b2

? 4ac

?

0 ,则

x1

?

x2

?

?

b 2a

;

③若 ? ? b2 ? 4ac ? 0 ,它在实数集 R 内没有实数根;在复数集 C 内有且仅有两个共轭复数

根 x ? ?b ? ?(b2 ? 4ac)i (b2 ? 4ac ? 0) . 2a

第十一部分 概率 1.事件的关系:
⑴事件 B 包含事件 A:事件 A 发生,事件 B 一定发生,记作 A ? B ;

⑵事件 A 与事件 B 相等:若 A ? B, B ? A ,则事件 A 与 B 相等,记作 A=B;

⑶并(和)事件:某事件发生,当且仅当事件 A 发生或 B 发生,记作 A ? B(或 A ? B ); ⑷并(积)事件:某事件发生,当且仅当事件 A 发生且 B 发生,记作 A ? B(或 AB ) ;

⑸事件 A 与事件 B 互斥:若 A ? B 为不可能事件( A ? B ? ? ),则事件 A 与互斥;

⑹对立事件: A ? B 为不可能事件, A ? B 为必然事件,则 A 与 B 互为对立事件。
2.概率公式: ⑴互斥事件(有一个发生)概率公式:P(A+B)=P(A)+P(B);

⑵古典概型: P( A) ?

A包含的基本事件的个数 基本事件的总数



⑶几何概型:

P(

A)

?

构成事件 A的区域长度(面积或体 积等) 试验的全部结果构成的 区域长度(面积或体积

等)



第十二部分 统计与统计案例 1.抽样方法: ⑴简单随机抽样:一般地,设一个总体的个数为 N,通过逐个不放回的方法从中抽取一个容量
为 n 的样本,且每个个体被抽到的机会相等,就称这种抽样为简单随机抽样。
注:①每个个体被抽到的概率为 n ; N
②常用的简单随机抽样方法有:抽签法;随机数表法。 ⑵系统抽样:当总体个数较多时,可将总体均衡的分成几个部分,然后按照预先制定的规则,
- 12 -



每一个部分抽取一个个体,得到所需样本,这种抽样方法叫系统抽样。

注:步骤:①编号;②分段;③在第一段采用简单随机抽样方法确定起始的个体编号;④

按预

先制定的规则抽取样本。

⑶分层抽样:当已知总体有差异比较明显的几部分组成时,为使样本更充分的反映总体的情

况,

将总体分成几部分,然后按照各部分占总体的比例进行抽样,这种抽样叫分层抽样。

注:每个部分所抽取的样本个体数=该部分个体数? n N
注:以上三种抽样的共同特点是:在抽样过程中每个个体被抽取的概率相等

2.频率分布直方图与茎叶图:⑴用直方图反映样本的频率分布规律的直方图称为频率分

布直方图。⑵当数据是两位有效数字时,用中间的数字表示十位数,即第一个有效数字,

两边的数字表示个位数,即第二个有效数字,它的中间部分像植物的茎,两边像植物茎

上长出来的叶子,这种表示数据的图叫做茎叶图。

3.总体特征数的估计:

? ⑴样本平均数 x

?

1 n

( x1

?

x2

?????

xn )

?

1 n

n i ?1

xi



? ⑵样本方差 S 2

?

1 n [(x1

?

x)2

?

(x2

?

x)2

?

???

?

(xn

?

x)2]

?

1 n

n i ?1

( xi

?

x)2



? ⑶样本标准差 S ?

1 n

[(

x1

?

x)2

?

( x2

?

x)2

?

?

?

?

?

( xn

?

x)2]

=

1 n

n i ?1

( xi

?

x)2

3.相关系数(判定两个变量线性相关性):

n

n

?? xi ? x ?? yi ? y ?

?? xi ? x ?? yi ? y ?

r ? i?1

?

i ?1

n

n

n

n

? ? (xi ? x )2 ( yi ? y)2

? ? ( xi2 ? nx 2 )( yi2 ? ny 2 )

i ?1

i ?1

i ?1

i ?1

注:⑴ r >0 时,变量 x, y 正相关; r <0 时,变量 x, y 负相关;⑵当| r | 越接近于 1,两

个变量的线性相关性越强;当| r | 越接近于 0 时,两个变量之间几乎不存在线性相关关

系。 4. 回归直线方程

? ? ?
?

n

n

? xi ? x ?? yi ? y ?

xi yi ? nx y

? ?b ? i?1
y ? a ? bx ,其中 ? ?

n
? xi ? x ?2

?

i ?1

? i?1 n ? xi2 ? nx 2 i ?1

?a ? y ? bx

1.程序框图:

第十三部分 算法初步
- 13 -

⑴图形符号:



终端框(起止框);②

输入、输出框;



处理框(执行框);④

判断框;⑤

流程线 ;

⑵程序框图分类:

①顺序结构:

②条件结构:

③循环结构:

r =0? 否

求 n 除以 i 的余数

输入 n



n 不是质数 n 是质数

i=i+1

i=2

i ? n 或 r=0? 否



注:循环结构分为:Ⅰ.当型(while 型) ——先判断条件,再执行循环体;

Ⅱ.直到型(until 型)——先执行一次循环体,再判断条件。

2.基本算法语句:

⑴输入语句 INPUT “提示内容”;变量 ;输出语句:PRINT “提示内容”;表达式

赋值语句: 变量=表达式

⑵条件语句:① IF 条件 THEN 语句体 END IF

② IF 条件 THEN 语句体 1 ELSE 语句体 2 END IF

⑶循环语句:①当型: WHILE 条件 循环体 WEND

②直到型: DO 循环体 LOOP UNTIL

条件

第十四部分 常用逻辑用语与推理证明

1.充要条件的判断:

(1)定义法----正、反方向推理

注意区分:“甲是乙的充分条件(甲 ?乙)”与“甲的充分条件是乙(乙 ?甲)”

(2)利用集合间的包含关系:例如:若 A ? B ,则 A 是 B 的充分条件或 B 是 A 的必要条

件;若 A=B,则 A 是 B 的充要条件。

2.逻辑联结词:

⑴且(and) :命题形式 p ? q;

p q p?q p?q ?p

⑵或(or): 命题形式 p ? q;

真真 真 真 假

⑶非(not):命题形式 ? p .

真假 假 真 假

假真 假 真 真

假假 假 假 真

3.四种命题的相互关系

- 14 -

原命题 若p则q
互 否
否命题 若非p则非q

互逆

逆命题

若q则p





















逆否命题

互逆

若非q则非p

4。四种命题:

⑴原命题:若 p 则 q;

⑵逆命题:若 q 则 p;

⑶否命题:若 ? p 则 ? q;

⑷逆否命题:若 ? q 则 ? p

注:原命题与逆否命题等价;逆命题与否命题等价。

5.全称量词与存在量词

⑴全称量词-------“所有的”、“任意一个”等,用 ? 表示;

全称命题 p: ?x ? M , p(x) ;

全称命题 p 的否定 ? p: ?x ? M , ?p(x) 。

⑵存在量词--------“存在一个”、“至少有一个”等,用 ? 表示;

特称命题 p: ?x ? M , p(x) ;

特称命题 p 的否定 ? p: ?x ? M , ?p(x) ;

6.常见结论的否定形式

原结论

反设词

原结论

反设词

是 都是

不是 不都是

至少有一个 一个也没有 至多有一个 至少有两个

大于 小于
对所有 x ,
成立

不大于 不小于
存在某 x ,
不成立

至少有 n 个 至多有 n 个
p或q

至多有( n ?1)个 至少有( n ?1)个
?p 且 ?q

对任何 x , 存在某 x ,

不成立

成立

p且q

?p 或 ?q

第十五部分 推理与证明

1.推理:

⑴合情推理:归纳推理和类比推理都是根据已有事实,经过观察、分析、比较、联想,在进

行归纳、类比,然后提出猜想的推理,我们把它们称为合情推理。

①归纳推理:由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些

特征的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理,称为归纳推理,简称归纳。

注:归纳推理是由部分到整体,由个别到一般的推理。

②类比推理:由两类对象具有类似和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具

有这些特征的推理,称为类比推理,简称类比。

注:类比推理是特殊到特殊的推理。

⑵演绎推理:从一般的原理出发,推出某个特殊情况下的结论,这种推理叫演绎推理。

注:演绎推理是由一般到特殊的推理。

“三段论”是演绎推理的一般模式,包括:⑴大前提---------已知的一般结论;⑵小前提

---------所研究的特殊情况; ⑶结论---------根据一般原理,对特殊情况得出的判断。

- 15 -

2.证明: ⑴直接证明 ①综合法:一般地,利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等,经过一系 列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法。综合法又叫顺 推法或由因导果法。 ②分析法:一般地,从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至最后,把要 证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定义、定理、公理等),这种证明 的方法叫分析法。分析法又叫逆推证法或执果索因法。
(2)间接证明(反证法):一般地,假设原命题不成立,经过正确的推理,最后得出矛盾, 因此说明假设错误,从而证明原命题成立,这种证明方法叫反证法。
- 16 -


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