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2017_2018版高中数学第二章数列2.5.1等比数列的前n项和学业分层测评新人教A版必修5

2.5.1 等比数列的前 n 项和 (建议用时:45 分钟) [学业达标] 一、选择题 1. 设{an}是公比为 q 的等比数列, Sn 是它的前 n 项和, 若{Sn}是等差数列, 则 q 等于( A.1 B.0 C.1 或 0 D.-1 ) 【解析】 因为 Sn-Sn-1=an, 又{Sn}是等差数列, 所以 an 为定值, 即数列{an}为常数列, 所以 q= an =1. an-1 【答案】 A 2.等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 S3=a2+10a1,a5=9,则 a1=( A. C. 1 3 1 9 1 B.- 3 1 D.- 9 ) 【解析】 设公比为 q,∵S3=a2+10a1,a5=9, ∴? ? ?a1+a2+a3=a2+10a1, ?a1q =9, ? 2 4 ?a1q =9a1, ? ∴? 4 ?a1q =9, ? 1 解得 a1= ,故选 C. 9 【答案】 C 3.一座七层的塔,每层所点的灯的盏数都等于上面一层的 2 倍,一共点 381 盏灯,则 底层所点灯的盏数是( A.190 C.192 ) B.191 D.193 1 【解析】 设最下面一层灯的盏数为 a1,则公比 q= ,n=7,由 2 解得 a1=192. 【答案】 C 4. 设数列 1, (1+2), …, (1+2+2 +…+2 2 a1?1-? ?7? 2 1 1- 2 ? ? ?1? ? ? ?? =381, n-1 ), …的前 n 项和为 Sn, 则 Sn 的值为( ) 1 A.2 C.2 n B.2 -n -n D.2 n+1 n n+1 -n-2 【解析】 法一:特殊值法,由原数列知 S1=1,S2=4,在选项中,满足 S1=1,S2=4 的只有答案 D. 法二:看通项,an=1+2+2 +…+2 ∴Sn= - 2-1 n 2 n-1 =2 -1, n -n=2 n+1 -n-2. 【答案】 D 5.已知数列{an}为等比数列,Sn 是它的前 n 项和,若 a2·a3=2a1,且 a4 与 2a7 的等差中 5 项为 ,则 S5=( 4 A.35 C.31 【解析】 设数列{an}的公比为 q, ∵a2·a3=a1·q =a1·a4=2a1, ∴a4=2. 又∵a4+2a7=a4+2a4q =2+4q 5 =2× , 4 1 ∴q= , 2 ∴a1= 3=16,S5= 【答案】 C 二、填空题 6.在等比数列{an}中,若公比 q=4,且前 3 项之和等于 21,则该数列的通项公式 an =________. 【解析】 ∵在等比数列{an}中,前 3 项之和等于 21, ∴ 3 3 2 3 ) B.33 D.29 a4 q a1 1-q5 =31. 1-q a1 -4 1-4 3 =21, n-1 ∴a1=1,∴an=4 【答案】 4 n-1 . 7.设数列{an}是首项为 1,公比为-2 的等比数列,则 a1+|a2|+a3+|a4|=________. 【解析】 法一:a1+|a2|+a3+|a4|=1+|1×(-2)|+1×(-2) +|1×(-2) |=15. 法二:因为 a1+|a2|+a3+|a4|=|a1|+|a2|+|a3|+|a4|,数列{|an|}是首项为 1,公比 2 3 2 1-2 为 2 的等比数列,故所求代数式的值为 =15. 1-2 【答案】 15 8. 在数列{an}中,a1=2,an+1=2an, Sn 为{an}的前 n 项和.若 Sn=126,则 n=________. 【解析】 ∵a1=2,an+1=2an, ∴数列{an}是首项为 2,公比为 2 的等比数列, 又∵Sn=126,∴ 【答案】 6 三、解答题 9.等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 S1,S3,S2 成等差数列. (1)求{an}的公比 q; (2)若 a1-a3=3,求 Sn. 【解】 (1)依题意有 a1+(a1+a1q)=2(a1+a1q+a1q ), 由于 a1≠0,故 2q +q=0. 1 又 q≠0,从而 q=- . 2 2 2 4 -2 1-2 n =126,∴n=6. ? 1?2 (2)由已知可得 a1-a1?- ? =3, ? 2? 故 a1=4. ? ? 1?n? 4?1-?- ? ? ? ? 2? ? 8? ? 1?n? 从而 Sn= = ?1-?- ? ?. 1? 3? ? 2? ? ? - 1-? ? ? 2? 1 1 1 * 10.已知数列{an}和{bn}满足 a1=2,b1=1,an+1=2an(n∈N ),b1+ b2+ b3+…+ bn 2 3 n =bn+1-1(n∈N ). (1)求 an 与 bn; (2)记数列{anbn}的前 n 项和为 Tn,求 Tn. 【解】 (1)由 a1=2,an+1=2an,得 an=2 (n∈N ). 由题意知: 当 n=1 时,b1=b2-1,故 b2=2. 1 当 n≥2 时, bn=bn+1-bn. n * * n 整理得 bn+1 bn = , n+1 n * 所以 bn=n(n∈N ). 3 (2)由(1)知 anbn=n·2 , 因此 Tn=2+2·2 +3·2 +…+n·2 , 2Tn=2 +2·2 +3·2 +…+n·2 2 3 2 3 4 2 3 n n n+1 , n+1 所以 Tn-2Tn=2+2 +2 +…+2 -n·2 故 Tn=(n-1)2 n+1 n . +2(n∈N ). [能力提升] * 1.在等比数列{an}中,a1+a2+…+an=2 -1(n∈N ),则 a1+a2+…+an等于( A.(2 -1) C.4 -1 n n n 2 n * 2 2 2 ) 1 n 2 B. (2 -1) 3 1 n D. (4 -1) 3 n

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