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广东省14市2016届高三上学期期末考试数学(文科)分类汇编:选修(4-1与4-4)


广东省 14 市 2016 届高三上学期期末考试数学(文科)分类汇编 选修 4-1 与选修 4-4
1、(潮州市 2016 届高三上学期期末) (22)、(本小题满分 10 分)选修 4-1: 如图所示,已知 AB 是圆 O 的直径,AC 是弦,AD⊥CE,垂足为 D,AC 平分∠BAD。 (I)求证:直线 CE 是圆 O 的切线; (II)求证:AC2=AB?AD。

(23)、(本小题满分 10 分)选修 4-4: 在直角坐标系 xoy 中,圆 C 的参数方程 ?

? x ? 1 ? cos ? (? 为参数)。 ? y ? sin ?

以 O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系。 (I)求圆 C 的极坐标方程; (II)射线 OM: ? ?

?

4

学科网 与圆 C 的交点 O、P 两点,求 P 点的极坐标。

2、(东莞市 2016 届高三上学期期末) (22).(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,已知圆 O 的内接四边形 BCED,BC 为圆 O 的直径,BC=2,延长 CB、ED 交于 A 点,使得 ∠DOB=∠ECA,过 A 作圆 O 的切线,切点为 P。 (I)求证:BD=DE; (II)若∠ECA=45° ,求 AP2 的值。

(23).(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xoy 中,以原点 O 为极点,x 轴正半轴为极轴,建立极坐标系,已知曲线 C 的参数方程是 ?

? ? x ? 2(cos? ? sin ? ) ? ? y ? 2(cos? ? sin ? )

( ? 为参数),曲线 C 与 l 的交点的极坐标为(2,

? ? )和(2, )。 3 6
(I)求直线 l 的普通方程;
1

(II)设 P 点为曲线 C 上的任意一点,求 P 点到直线 l 的距离的最大值。 3、(佛山市 2016 届高三教学质量检测(一)(期末) (22).(本小题满分 10 分)选修 4 ? 1 :几何证明选讲 如 图 5, 四 边 形 A B C D 是 圆 内 接 四 边 形 , BA 、 CD 的 延 长 线 交 于 点 P , 且

AB ? AD , BP ? 2 BC . (Ⅰ) 求证: PD ? 2 AB ; (Ⅱ) 当 BC ? 2 , PC ? 5 时,求 AB 的长.
C

B

A P D

图5

(23).(本小题满分 10 分)选修 4 ? 4 :坐标系与参数方程选讲 已知直线 l 的方程为 y ? x ? 4 ,圆 C 的参数方程为 ? 极点, x 轴正半轴为极轴,建立极坐标系. (Ⅰ) 求直线 l 与圆 C 的交点的极坐标; (Ⅱ) 若 P 为圆 C 上的动点,求 P 到直线 l 的距离 d 的最大值. 4、(广州市 2016 届高三 1 月模拟考试) (22)(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图 ?ACB ? 90? , CD ? AB 于点 D ,以 BD 为直径的 e O 与 BC 交于点 E . (Ⅰ)求证: BC ? CE ? AD ? DB ;
o (Ⅱ)若 BE ? 4 ,点 N 在线段 BE 上移动, ?ONF ? 90 ,

? x ? 2cos ? ( ? 为参数),以原点为 ? y ? 2 ? 2sin ?

C E N A D O B F

NF 与 e O 相交于点 F ,求 NF 的最大值.

(23)(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 在平 面直角坐 标系 xOy 中,已知 曲线 C1 : ?

? x ? t ? 1, ( t 为 参数)与曲 线 C2 : ? y ? 1 ? 2t

? x ? a cos ?, ( ? 为参数, a ? 0 ). ? ? y ? 3sin ?
(Ⅰ)若曲线 C1 与曲线 C2 有一个公共点在 x 轴上,求 a 的值; (Ⅱ)当 a ? 3 时, 曲线 C1 与曲线 C2 交于 A , B 两点,求 A , B 两点的距离.

2

5、(惠州市 2016 届高三第三次调研) (22)(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,正方形 ABCD 的边长为 2,以 D 为圆心、 DA 为半径的圆弧 与以 BC 为直径的半圆 O 交于点 F ,连结 CF 并延长交 AB 于点 E . (Ⅰ)求证: AE ? EB ;(Ⅱ)求 EF ? FC 的值. (23)(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 已知曲线 C 的参数方程是 ?
E F A D

B

O

C

? x ? 1 ? cos? ( ? 为参数),直线 l 的极坐标方程为 y ? 2 ? sin ? ?

? sin ?? ?

? ?

??

(其中坐标系满足极坐标原点与直角坐标系原点重合,极轴与直角坐 ?? 2. 4?

标系 x 轴正半轴重合,单位长度相同。) (Ⅰ)将曲线 C 的参数方程化为普通方程,把直线 l 的极坐标方程化为直角坐标方程; (Ⅱ)设 M 是直线 l 与 x 轴的交点, N 是曲线 C 上一动点,求 | MN | 的最大值.

6、(揭阳市 2016 届高三上学期期末学业水平考试) (22).(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图 5,四边形 ABCD 内接于 ,过点 A 作 的切线 EP 交 CB 0 C 的延长线于 P,已知 ?PAB ? 25 .
(I)若 BC 是⊙O 的直径,求 ?D 的大小; (II)若 ?DAE ? 250 ,求证: DA2 ? DC ? BP .
O

D E A 图 4 图5

B P

(23).(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程

2? ? x ? t cos ? 3 在平面直角坐标系 xOy 中,已知直线 l 的参数方程为 ? (t 为参数) ,以 ? 2 ? ? y ? 4 ? t sin ? 3 ?
坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程是 ? ? 4 . (Ⅰ)写出直线 l 的普通方程与曲线 C 的直角坐标系方程; (Ⅱ)设直线 l 与曲线 C 相交于 A、B 两点,求 ?AOB 的值. 7、(茂名市 2016 届高三第一次高考模拟) (22). (本小题满分 10 分)选修 4-1,几何证明选讲 如图,在△ABC 中,∠ABC=90° ,以 AB 为直径的圆 O 交 AC 于点 E,点 D 是 BC 边
3

的中点,连接 OD 交圆 O 于点 M。 (1)若∠EDO=30° ,求∠AOD; (2)求证:DE· BC=DM· AC+DM· AB

(23). (本小题满分 10 分)选修 4—4:极坐标与参数方程

已知曲线 C 的极坐标方程是 ? ? 2cos ? ,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为 x

? 3 x? t?m ? ? 2 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线 l 的参数方程是 ? (t 为参数)。 1 ?y ? t ? ? 2
(1)求曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 普通方程; (2)当 m=2 时,直线 l 与曲线 C 交于 A、B 两点,求|AB|的值。 8、(清远市 2016 届高三上学期期末) (22).(本题满分 10 分)如图,已知 AD 是△ABC 的外角∠EAC 的平分线,交

BC 的延长线于点 D, 延长 DA 交△ABC 的外接圆于点 F, 连接 FB,FC. (1)求证:FB=FC; (2)若 AB 是△ABC 外接圆的直径,∠EAC=120° , BC=6 cm,求 AD 的长.
23.(本小题满分 10 分)在直角坐标系 xoy 中,曲线 C1 的参数方程为

2 ? x? ? k? 1 ? t an2 ? ?? ,k ? z ) ( ? 为参数, , M 是 C1 上的动点,P 点满足 OP ? OM , P ? 2 2 ?y ? 2 ? t an? ?
点的轨迹为曲线 C 2 。在以 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,直线 l 的极坐标 方程是 ? sin(? ?

?
4

) ? 2 ? 0 ,直线 l 与曲线 C 2 相交于 A 、 B 。
(2)求 ?ABO 的面积。

(1)求曲线 C1、C 2 的普通方程;

4

9、(汕头市 2016 届高三上学期期末) (22).(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲

? 为切点, C 两点, 如图 5 所示, 已知 ?? 与 ? ? 相切, 过点 ? 的割线交圆于 ? , 弦 CD//?? ,
?D , ? C 相交于点 ? , F 为 C ? 上一点,且 D?2 ? ?F ??C .
(I)求证: C? ? ?? ? ?F ? ?? ; (II)若 C? : ?? ? 3: 2 , D? ? 3 , ?F ? 2 ,求 ?? 的长.

(23).(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

1 ? x ? 2? t ? 2 ? 在平面直角坐标系 x?y 中,直线 l 的参数方程是 ? ( t 为参数);以坐标原点为 ?y ? 3 t ? ? 2
极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 4cos ? . (I)直线 l 的参数方程化为极坐标方程; (II)求直线 l 与曲线 C 交点的极坐标.(其中 ? ? 0 , 0 ? ? ? 2? )

10、(汕尾市 2016 届高三上学期调研) (22)已知:如图,四边形ABCD 是圆O 的内接四边形,对角线AC、BD 交于点E,直线 AP 是圆O 的切线,切点为A,∠PAB=∠BAC. 2 (1)求证: AB =BD?BE; (2)若∠FED=∠CED,求证:点A、B、E、F四点共圆. (23).(本小题满分10 分)选修4—4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系XOY 中,以原点O 为极点,X 轴的正半 轴为极轴建立极坐标系, 已知曲线C1 的极坐标方程为 ? =1, 曲线C2 参数方程为 是参数).

5

(1)求曲线C1 和C2 的直角坐标系方程; (2)若曲线C1 和C2 交于两点A、B,求|AB|的值.

11、(韶关市 2016 届高三上学期调研) (22)(本题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图, AF 是圆 E 切线, F 是切点, 割线 ABC BM 是圆 E 的直径, EF 交 AC 于 D ,

AB ?

1 AC , ?EBC ? 300 , MC ? 2 . 3
B

A

(Ⅰ)求线段 AF 的长; (Ⅱ)求证: AD ? 3ED .
E

D

F

M C

(23)(本小题满分 10 分)选修 4—4:极坐标与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系.已知曲 线 C1 : ?

? x ? 4 ? cos t , ? x ? 6cos ? , ( t 为参数) , C2 : ? ( ? 为参数). ? y ? ?3 ? sin t , ? y ? 2sin ? ,

(Ⅰ)化 C1 , C2 的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线;

? ,Q 为 C2 上的动点,求线段 PQ 的中点 M 2 到直线 C3 : ? cos? ? 3? sin ? ? 8 ? 2 3 距离的最小值.
(Ⅱ)若 C1 上的点 P 对应的参数为 t ? ?

12、(肇庆市 2016 届高三第二次统测(期末) (22)(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图 5,⊙O 的半径为 r,MN 切⊙O 于点 A,弦 BC 交 OA 于点 Q,,BP⊥BC,交 MN 于点 P. (Ⅰ)求证:PQ∥AC; (Ⅱ)若 AQ=a,AC=b,求 PQ .

图5

(23)(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在极坐标系中,圆 C 的方程为 ? ? 2a cos ? ( a ? 0) ,以极点为坐标原点,极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系,设直线 l 的参数方程为 ?
6

? x ? 3t ? 1 (t 为参数). ? y ? 4t ? 3

(Ⅰ)求圆 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程; (Ⅱ)若直线 l 与圆 C 恒有公共点,求实数 a 的取值范围. 13、(珠海市 2016 届高三上学期期末) (22).(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,已知四边形 ABCD 是 ? O 的内接四边形,过点 A 的切线与 CB 的延长线交于点 P ,且

PA ? 8 2 , PB ? 8 .
(1)若 ?APB ? 45? 求 ?D 的大小; (2)若 ? O 的半径为 5,求圆心 O 到直线 BC 的距离.
D

A P O

B

C

(23).(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知曲线 C 的极坐标方程为 ? sin 2 ? ? 4cos? ,直线 l 1:? ?

?
3

第(22)题图 , l 2:? sin ? ? 4 3 分别与

曲线 C 交于 A, B 两点 ( A 不为极点 ) , (1) 求 A, B 两点的极坐标方程; (2) 若 O 为极点,求

?AOB 的面积.

参考答案: 1、 (22).(本小题共 10 分) 证明:(Ⅰ)连接 OC ,因为 OA ? OC ,所以 ?OCA ? ?OAC .………….…..2 分 ? 又因为 AD ? CE ,所以 ?ACD ? ?CAD ? 90 . 又因为 AC 平分 ? BAD ,所以 ?OAC ? ?CAD ,…………….…..4 分 o 所以 ?OCA ? ?ACD ? 90 ,即 OC ? CE . 所以 CE 是 e O 的切线……………………………………………….….6 分 (Ⅱ)连接 BC ,因为 AB 是圆 O 的直径,所以 ?BCA ? ?ADC ? 90 , 又因为 ?OAC ? ?CAD ,…………………………………….………8 分 所以 ?ABC ∽ ?ACD
0

所以

AC AD 2 ? ,即 AC ? AB ? AD ………………………………..10 分 AB AC
2

(23).(本小题共 10 分) 解:(Ⅰ)圆 C 的参数方程化为普通方程是 ( x ?1) 即x
2

? y2 ? 1 .

? y 2 ? 2x ? 0 ……………………………………………………….…2 分 2 2 2 又 ? ? x ? y , x ? ? cos ? . 2 于是 ? ? 2? cos? ? 0 ,又 ? ? 0 不满足要求. 所以圆 C 的极坐标方程是 ? ? 2 cos ? ……………………………….……5 分 ? (Ⅱ)因为射线 OM : ? ? 的普通方程为 y ? x ( x ? 0) .……………………6 分 4
7

?( x ?1) ? y ? 1 解得 x ? 1 或 x ? 0 ,所以 P 点的直角坐标为 (1 , 1) ……………………8 分 ? 所以 P 点的极坐标为 ( 2 , ) …………………………….……………10 分 4 ? ? 解法 2:把 ? ? 代入 ? ? 2 cos ? 得 ? ? 2 cos ? 2 4 4 ? 所以 P 点的极坐标为 ( 2, ) ………………..……………10 分 4
2 2

联立方程组 ?

?y ? x , x ? 0

消去

y 并整理得 x 2 ? x ? 0 .

2



3、(22).【解析】(Ⅰ)因为四边形 ABCD 是圆内接四边形, 所以 ?PAD ? ?PCB ,…………1 分

PD AD ? ,…3 分 PB CB 而 BP ? 2 BC ,所以 PD ? 2 AD ,又 AB ? AD ,所以 PD ? 2 AB .……………5 分 (Ⅱ)依题意 BP ? 2 BC ? 4 ,设 AB ? t ,由割线定理得 PD ? PC ? PA ? PB ,……………7 分 8 8 即 2t ? 5 ? ? 4 ? t ? ? 4 ,解得 t ? ,即 AB 的长为 .……………10 分 7 7
又 ?APD ? ?CPB ,所以 ?APD ? ?CPB ,
2 (23).【解析】(Ⅰ)直线 l : y ? x ? 4 ,圆 C : x ? ? y ? 2 ? ? 4 ,……………………1 分 2

8

联立方程组 ?

? ? x ? ?2 ? x ? 0 ?y ? x ? 4 , 解得 或? ,……………………3 分 ? 2 2 y ? 2 y ? 4 x ? y ? 2 ? 4 ? ? ? ? ? ?

对应的极坐标分别为 ? 2 2,

? ?

3? ? ? ? ? ? , ? 4, ? .………………………………………………5 分 4 ? ? 2?

(Ⅱ)[方法 1]设 P ? 2cos? , 2 ? 2sin ? ? ,则

d?

2cos ? ? 2sin ? ? 2 2
? ?

? 2

?? ? 2 cos ?? ? ? ? 1 , 4? ?

当 cos ? ? ?

??

? ? 1 时, d 取得最大值 2 ? 2 .……………………………………10 分 4?

[方法 2]圆心 C ? 0,2? 到直线 l 的距离为

2 2

? 2 ,圆的半径为 2 ,

所以 P 到直线 l 的距离 d 的最大值为 2 ? 2 .……………………………………10 分 4 、

9

5、 (22).【解析】(Ⅰ)以 D 为圆心 DA 为半径作圆,又 ABCD 为正方形,∴EA 为圆 D 的切线 (1 分) 2 依据切割线定理得 EA ? EF ? EC (2 分) 另外圆 O 以 BC 为直径,∴EB 是圆 O 的切线, (3 分) 2 同样依据切割线定理得 EB ? EF ? EC (4 分) 故 AE ? EB (5 分) (Ⅱ)连结 BF ,∵BC 为圆 O 直径,∴ BF ? EC (6 分) 由 S ?BCE ?

1 1 1? 2 2 5 BC ? BE ? CE ? BF ,得 BF ? ? 2 2 5 5
2

(8 分)

又在 Rt?BCE 中,由射影定理得 EF ? FC ? BF ?

4 5

(10 分)

A

D

E

F

B

O

C

(23).【解析】(Ⅰ)曲线 C 的参数方程可化为
10

?x ? 1?2 ? ? y ? 2?2 ? 1

(2

分) 直线 l 的方程为 ? sin ?? ? 直线 l 的直角坐标方程为

? ?

??

? ? 2 .可化为 ? cos? ? ? sin ? ? 2 4?
x? y?2?0
(6 分) (7 分)

(4 分)

(Ⅱ)令 y ? 0 ,得 x ? 2 ,即 M 点的坐标为(2,0)

又曲线 C 为圆,圆 C 的圆心坐标为 ?1,2? ,半径 r ? 1 ,则 MC ? 5 所以 MN ≤ MC ? r ? 5 ? 1 ,? MN 的最大值为 5 ? 1 .

(8 分) (10 分)

6、
(22).解:(I)? EP 与⊙O 相切于点 A,??ACB ? ?PAB ? 250 ,-----------------------1 分 又 BC 是⊙O 的直径,??ABC ? 650 ----------------------------------------------3 分

? 四边形 ABCD 内接一于⊙O,??ABC ? ?D ? 1800
??D ? 1150. -------------------------------------------------------------------5 分
(II)? ?DAE ? 250 , ??ACD ? ?PAB, ?D ? ?PBA,

??ADC ? ?PBA.---------------------------------------------------------------7 分 DA DC ? ? . -------------------------------------------------------------------8 分 BP BA
又 DA ? BA, ? DA2 ? DC ? BP. --------------------------------------------------10 分

(23).解:(I)直线 l 的普通方程为 3x ? y ? 4 ? 0 ,------------------------------------2 分 曲线 C 的直角坐标系方程为 x ? y ? 16. --------------------------------------------4 分
2 2

(II)⊙C 的圆心(0,0)到直线 l : 3x ? y ? 4 ? 0 的距离

d?
∴ cos

4 ( 3) 2 ? 12

? 2, ------------------------------------------------------------6 分

1 2 1 ?AOB ? ? , --------------------------------------------------------8 分 2 4 2 1 ? ∵ 0 ? ?AOB ? , 2 2 1 ? 2? ? ?AOB ? , 故 ?AOB ? .-----------------------------------------------10 分 2 3 3
7
11



12

8、 (22).(1)证明:

因为 AD 平分∠EAC,

所以∠EAD=∠DAC.………1 分 因为四边形 AFBC 内接于圆, 所以∠DAC=∠FBC.
………2 分

因为∠EAD=∠FAB=∠FCB,………3 分 所以∠FBC=∠FCB,………4 分; (2)解: 所以 FB=FC. ………5 分

因为 AB 是圆的直径,所以∠ACB=90° ,………6 分

又∠EAC=120° ,所以∠ABC=30° ,………7 分 1 ∠DAC=2∠EAC=60° ,………8 分 因为 BC=6,所以 AC=BCtan∠ABC=2 3,………9 分 所以 AD=
? x?

AC =4 3(cm).………10 分 cos∠DAC

(23).解:(1) ? ?

2 ?1? , t an2 ? ? ?y ? 2 , ?2 ? ? t an? ?

将(2)平方与(1)相除化简得曲线 C1 的普通方程. y 2 ? 2 x ,……………1 分 设 P ( x, y ) ,由 OP ?

1 OM ,得 M (2 x,2 y) ,……………………3 分 2
∴ (2 y) 2 ? 2(2x)
2

∵ M 是 C1 上的动点,
2

……………………4 分

∴ y ? x ,即 C 2 的普通方程为 y ? x( x ? 0) ……………………5 分 (2)解法一:在极坐标系中,直线 l : ? sin(? ?

?
4

) ? 2 ? 0 与极轴相交于 C (2,0) ,…6 分

13

曲线 C 2 的极坐标方程是 ? sin 2 ? ? cos? ( ? ? 0) ,……7 分

? ? ? sin(? ? ) ? 2 ? 0 ,得 ? sin ? ? 2 ,或 ? sin ? ? ?1 ……………………8 分 由? 4 ? ? ? sin 2 ? ? cos? ?
设 A( ?1 , ?1 ) , B( ? 2 ,? 2 ) , ∴ S ?ABO ? S ?ACO ? S ?BCO ? 解法二:直线 l : ? sin(? ?

?
4

1 1 ? 2? | ?1 sin ?1 | ? ? 2? | ? 2 sin ? 2 |? 3 ………10 分 2 2

) ? 2 ? 0 的直角坐标方程为 x-y-2=0………6 分

且 l 与 x 轴交于 D(2,0) ………7 分;
? ? y2 ? x 联立 ? ,消元得 y 2 ? y ? 2 ? 0 ,………8 分;; ? x ? y ? 2 ? 0 ?

设 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y 2 ) ,则 y1 ? y 2 ? 1, y1 ? y 2 ? 2 ………9 分 △ABO 的面积 sV ABO ?
1 ? OD? | y1 ? y2 | ………9 分,计算得 S△ABO=3 ………10 分 2

9 (22).(本小题满分 10 分)(注:第(1)问 5 分,第(2)问 5 分) 解:(Ⅰ)∵ DE ? EF ? EC , ?DEF ? ?DEF
2

∴ ?DEF ∽ ?CED ,∴ ?EDF ? ?C ……………………………………3 分 又∵ CD // AP ,∴ ?P ? ?C , ∴ ?EDF ? ?P , ?DEF ? ?PEA

EA EP ? , ∴ EA? ED ? EF ? EP EF ED 又∵ EA ? ED ? CE ? EB ,∴ CE ? EB ? EF ? EP . ………………………………5 分
∴ ?EDF ∽ ?EPA, ∴ (Ⅱ)∵ DE ? EF ? EC , DE ? 3, EF ? 2
2

∴ EC ?

9 ,∵ CE : BE ? 3 : 2 2

∴ BE ? 3

由(Ⅰ)可知: CE ? EB ? EF ? EP ,解得 EP ? ∴ BP ? EP ? EB ?
2 ∴ PA ?

27 . 4

…………………………2 分

15 2 . ∵ PA 是⊙ O 的切线,∴ PA ? PB ? PC 4

15 27 9 15 3 ? ( ? ) ,解得 PA ? . ……………………………………5 分 4 4 2 4

(23).(本小题满分 10 分)(注:第(1)问 4 分,第(2)问 6 分)

14

1 ? x ? 2? t ? 2 ? 解:(Ⅰ)将直线 l : ? ( t 为参数)消去参数 t , ? y? 3t ? ? 2
化为普通方程 3x ? y ? 2 3 ? 0 ,……………………2 分 将?

? x ? ? cos ? 代入 3x ? y ? 2 3 ? 0 得 3? cos? ? ? sin ? ? 2 3 ? 0 .…………4 分 ? y ? ? sin ?

(Ⅱ)方法一:曲线 C 的普通方程为 x2 ? y 2 ? 4 x ? 0 .………………2 分 由?

? 3x ? y ? 2 3 ? 0 ? ? ? x ?1 或 ? ? x ? 3 ………………4 分 解得: ? ? 2 2 ? ? ? x ? y ? 4x ? 0 ?y ? ? 3 ? ?y ? 3

所以 l 与 C 交点的极坐标分别为: (2, 方法二:由 ?

5? ? ) , (2 3, ) .………………6 分 3 6

? ? 3? cos ? ? ? sin ? ? 2 3 ? 0 ,……………2 分 ? ? 4 cos ? ? ?

得: sin(2? ?

?
3

) ? 0 ,又因为 ? ? 0, 0 ? ? ? 2? ………………4 分

?? ? 2 3 ? ? ?2 ? ? 所以 ? 5? 或 ? ? ?? ? ? ?? 3 ? 6 ?
所以 l 与 C 交点的极坐标分别为: (2, 10、22. 证明:(1)

5? ? ) , (2 3, ) .………………6 分 3 6

∵AP 是圆 O 的切线 ∴∠PAB=∠ADB………………………1 分 ∴由∠PAB=∠BAC 得∠ADB=∠BAC 又∵∠ABD=∠EBA ∴△ABD∽△EBA ……………………………………………………3 分 ∴
AB BD ? EB BA

∴ AB 2 ? BD ? BE ……………………………………………………5 分 (2)由(1)可知∠BAD=∠BEA………………………………………………6 分 ∵∠BEA=∠CED,∠FED=∠CED
15

∴∠BAD=∠FED ………………………………………………8 分 ∴∠BAF+∠BEF=∠BAD+∠BEF=∠FED+∠BEF=180° ………………10 分 ∴点A、B、E、F四点共圆. 23. 解:(1)依题意 ? 2 =1 得 x2 ? y 2 =1 , 所以曲线 C1 的直角坐标系方程为 x2 ? y 2 =1 ;……①………………2 分
? ? x ? 2 ? 5 cos ? 因为曲线 C2 参数方程为 ? , (? 是参数) y ? 2 ? 5 sin ? ? ?

?( x ? 2)2 ? 5cos2 ? 得? ,所以 ( x ? 2)2 ? ( y ? 2)2 ? 5(cos2 ? ? sin 2 ? ) ? 5 , 2 2 ?( y ? 2) ? 5sin ?
故曲线 C2 的直角坐标系方程为 ( x ? 2)2 ? ( y ? 2)2 ? 5 ;……②…… 5 分 (2)由②-①化简可得直线 AB 的方程为 x ? y ? 1 ,………………7 分 由(1)可知曲线 C1 为圆,圆心坐标为 O(0,0), 设圆心到直线 AB 的距离为 d,则 d=

| 0 ? 0 ? 1| 12 ? 12

?

2 , ………………9 分 2

∴|AB|= 2 r 2 ? d 2 ? 2 1 ?

1 ? 2 ………………10 分 2

11、 (22)(本题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 解:(Ⅰ)因为 BM 是圆 E 直径 所以, ?BCM ? 90 ,………………………………1 分
0 0 又 MC ? 2 , ?EBC ? 30 ,

A

B D H

E

F

所以 BC ? 2 3 ,………………………………………………2 分

M C

1 又 AB ? AC , 3 1 可知 AB ? BC ? 3 ,所以 AC ? 3 3 2
根据切割线定理得:

…………………………………3 分

16

AF 2 ? AB ? AC ? 3 ? 3 3 ? 9 ,…………………………………………………4 分
即 AF ? 3 …… …………………………………… …………………………………5 分 (Ⅱ)过 E 作 EH ? BC 于 H ,……………………………………………………………6 分 则 ?EDH ~?ADF ,……………………………… …………………………………7 分

ED EH ? ,…………………………………………………………………8 分 AD AF 1 又由题意知 CH ? BC ? 3, EB ? 2 2
从而有 所以 EH ? 1 , 因此 …………………………………9 分 …………………………………10 分

ED 1 ? ,即 AD ? 3ED AD 3

(23)(本小题满分 10 分)
(Ⅰ) C1 : ( x ? 4)
2

? ( y ? 3)2 ? 1, ,…………………………………………………1 分

x2 y 2 C2 : ? ?1 …………………………… ………………………………………2 分 36 4 ………………………………………3 分 C1 为圆心是 (4, ?3) ,半径是 1 的圆. C2 为中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,长半轴长是 6 ,短半轴长是 2 的椭圆.
(Ⅱ)当 t ?

? 时, P(4, ?4) ,………………………………………………………5 分 2 设 Q(6cos ? , 2sin ? )
则 M (2 ? 3cos ? , ?2 ? sin ? ) , ………………………………………6 分

…………………………………………………………4 分

C3 为直线 x ? 3 y ? (8 ? 2 3) ? 0 ,……………………………………7 分

M 到 C3 的距离 d ?
?

(2 ? 3cos ? ) ? 3( ?2 ? sin ? ) ? (8 ? 2 3) 2

……………………8 分

3cos ? ? 3 sin ? ? 6 2

2 3 cos(? ? ) ? 6 6 ? 2
? 3 ? 3 cos(? ?
从而当 cos(? ?

?

?
6

)

………………………………………9 分 ………………………………10 分

?
6

) ? 1, 时, d 取得最小值 3 ? 3

12、

17

(22)(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 (Ⅰ)证明:如图,连结 AB. ∵MN 切⊙O 于点 A,∴OA⊥MN.? 又∵BP⊥BC,∴B、P、A、Q 四点共圆, 所以∠QPA =∠ABC.? 又∵∠CAN =∠ABC,∴∠CAN =∠QPA.? ∴PQ∥AC.? (1 分) (2 分) (3 分) (4 分) (5 分)

(Ⅱ)过点 A 作直径 AE,连结 CE,则△ECA 为直角三角形.?(6 分) ∵∠CAN =∠E,∠CAN =∠QPA,∴∠E =∠QPA. ∴Rt△PAQ∽Rt△ECA,∴ 故 PQ ? (7 分) (9 分) (10 分)

PQ AQ = , EA CA

AQ ? EA 2ar = . b CA

(23)(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 解:(Ⅰ)由 ?

? x ? 3t ? 1 x ?1 y ? 3 ? 得, , 3 4 ? y ? 4t ? 3
(2 分) (3 分) (4 分)
2 2 2

∴直线 l 的普通方程为 4 x ? 3 y ? 5 ? 0 . 由 ? ? 2a cos ? 得, ? 2 ? 2a ? cos ? , ∴ x ? y ? 2ax ,
2 2

∴圆 C 的平面直角坐标方程为 ( x ? a) ? y ? a . (Ⅱ)∵直线 l 与圆 C 恒有公共点,∴

(5 分)

| 4a ? 5 | 42 ? (?3)2

?| a | ,

(7 分)

解得 a ? ?

5 或 a ? 5, 9

(9 分)

∴ a 的取值范围是 (?? ,? ] ? [5,?? ) .

5 9

(10 分)

13、(22).解:(1)在 ?PAB 中,有 PA ? 8 2 , PB ? 8 , ?APB ? 45? 由余弦定理得: AB ? 8 所以 ?PAB 为 Rt ? ,即 AB ? PC --------------2-分 所以 ?ABC ? 90? , 又因为四边形 ABCD 是 ? O 的内接四边形,
18

所以 ?D ? 90? ; ---------------5 分 OC OM ? BC (2)连接 ,作 于M 由垂径定理可知: M 为 BC 的中点, 由切割线定理得: PA ? PB ? PC
2

A

--------------6 分 ---------------7 分
D O B

P

又 PA ? 8 2 , PB ? 8 , 所以 PC ? 16 , BC ? 8 , MC ? 4 ---------------9 分 因为 ? O 的半径为 5,所以在 Rt ?OMT 中有, OM ? 3 所求圆心 O 到直线 BC 的距离为 3 . ---------------10 分


C

? ? sin 2 ? ?4cos ? ? (23).解(1)由 ? ,显然极点 ? 0,? ? 为该方程的解,但由于 A 不为极点 ? ?? ? 3 ?
8 ? ?? ? ? ?8 ? ? 3 所以得 ? ,所以 A ? , ? ?3 3 ? ?? ? ? ? 3 ?
? ? sin 2 ? ?4cos ? ? 由? ? ? ? sin ? ? 4 3

---------------3 分

?? ? 8 3 ?? ? ? 解得: ? ? 所以 B ? 8 3, 3 ? ? ? ?? ? 6 ?
(2)由(1)得 A ? , 所以 ?AOB ? 所以 S ?AOB

---------------6 分

?? ?8 ? ? ? ? , B ? 8 3, ? 3? ?3 3 ? ?
?
, OA ?

8 ---------------8 分 , OB ? 8 3 3 6 1 8 1 64 1 3 ---------------10 分 ? OA OB sin ?AOB ? ? ? 8 3 ? ? 3 2 3 2 2

19


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