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2011届高三数学一轮复习:基础知识归纳(高中全部)


届高三数学一轮复习: 2011 届高三数学一轮复习:基础知识归纳
第一部分 集合 1.理解集合中元素的意义是解决集合问题的关键:元素是函数关系中自变量的取值?还 ..... 是因变量的取值?还是曲线上的点?… 2.数形结合是解集合问题的常用方法:解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩 .... 图等工具,将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化,然后利用数形结合的思想方法 解决 3.(1) 元素与集合的关系: x ∈ A ? x ? CU A , x ∈ CU A ? x ? A . (2)德摩根公式: CU ( A I B ) = CU A U CU B; CU ( A U B ) = CU A I CU B . (3)

A I B = A ? A U B = B ? A ? B ? CU B ? CU A ? A I CU B = Φ ? CU A U B = R
注意:讨论的时候不要遗忘了 A = φ 的情况. (4)集合 {a1 , a2 ,L , an } 的子集个数共有 2n 个;真子集有 2n –1 个;非空子集有 2n –1 个; 非空真子集有 2n –2 个. 4. φ 是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.

第二部分 函数与导数 映射: 1.映射:注意: ①第一个集合中的元素必须有象;②一对一或多对一. 函数值域的求法: 2.函数值域的求法:①分析法 ;②配方法 ;③判别式法 ;④利用函数单调性 ;⑤换元法 ; ⑥利用均值不等式

a+b ab ≤ ≤ 2

a2 + b2 ; ⑦利用数形结合或几何意义 (斜率、 距离、 2
x

绝对值的意义等) ;⑧利用函数有界性( a 、 sin x 、 cos x 等) ;⑨平方法;⑩ 导数法 3.复合函数的有关问题: 复合函数的有关问题: (1)复合函数定义域求法: ① 若 f(x)的定义域为[a,b],则复合函数 f[g(x)]的定义域由不等式 a ≤ g(x) ≤ b 解出 ② 若 f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域,相当于 x∈[a,b]时,求 g(x)的值 域. (2)复合函数单调性的判定: ①首先将原函数 y = f [ g ( x )] 分解为基本函数:内函数 u = g ( x ) 与外函数 y = f (u ) ②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性 ③根据“同性则增,异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性. 分段函数: 、单调性、图象等问题,先分段解决,再下结论。 4.分段函数:值域(最值) 函数的奇偶性: 5.函数的奇偶性:

-1-

⑴函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件 必要条件 .... ⑵ f (x ) 是奇函数 ? f ( ? x ) = ? f ( x ) ; f (x ) 是偶函数 ? f ( ? x) = f ( x ) . ⑶奇函数 f (x ) 在 0 处有定义,则 f (0) = 0 ⑷在关于原点对称的单调区间内:奇函数有相同的单调性,偶函数有相反的单调性 ⑸若所给函数的解析式较为复杂,应先等价变形,再判断其奇偶性 函数的单调性: 6.函数的单调性: ⑴单调性的定义: ① f (x ) 在区间 M 上是增函数 ? ?x1 , x 2 ∈ M , 当 x1 < x 2 时有 f ( x1 ) < f ( x2 ) ; ② f (x) 在区间 M 上是减函数 ? ?x1 , x 2 ∈ M , 当 x1 < x 2 时有 f ( x1 ) > f ( x2 ) ; ⑵单调性的判定:①定义法:一般要将式子 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) 化为几个因式作积或作商的形式, 以利于判断符号;②导数法(见导数部分) ;③复合函数法;④图像法 注:证明单调性主要用定义法和导数法。 函数的周期性: 7.函数的周期性: , (1)周期性的定义:对定义域内的任意 x ,若有 f ( x + T ) = f ( x) (其中 T 为非零常数) 则称函数 f (x) 为周期函数, T 为它的一个周期。所有正周期中最小的称为函数的最 小正周期。如没有特别说明,遇到的周期都指最小正周期。 (2)三角函数的周期:① y = sin x : T = 2π ;② y = cos x : T = 2π ; ③ y = tan x : T = π ;④ y = A sin(ωx + ? ), y = A cos(ωx + ? ) : T =

2π ; |ω |

⑤ y = tan ωx : T = (3)与周期有关的结论:

π |ω |

f ( x + a ) = f ( x ? a ) 或 f ( x ? 2a ) = f ( x)(a > 0) ? f (x) 的周期为 2a
8.基本初等函数的图像与性质: 基本初等函数的图像与性质: ㈠.⑴指数函数: y = a x (a > 0, a ≠ 1) ;⑵对数函数: y = log a x ( a > 0, a ≠ 1) ; ⑶幂函数: y = x α ( α ∈ R ) ;⑷正弦函数: y = sin x ;⑸余弦函数: y = cos x ; (6)正切函数: y = tan x ;⑺一元二次函数: ax + bx + c = 0 (a≠0) ;⑻其它常用函
2

数: ②反比例函数: y = ① 正比例函数: y = kx (k ≠ 0) ;

k ( k ≠ 0) ; ③函数 x

y = x+

a ( a > 0) x

-2-

㈡.⑴分数指数幂: a n =
b

m

n

am ; a

?

m n

=

1 a
m n

(以上 a > 0, m, n ∈ N ? ,且 n > 1 ).

⑵.① a = N ? log a N = b ; ③ log a

② log a (MN ) = log a M + log a N ;

M n = log a M ? log a N ; ④ log am b n = log a b . N m log m N log N ⑶.对数的换底公式: log a N = .对数恒等式: a a = N . log m a
9.二次函数: 二次函数: ⑴解析式:①一般式: f ( x ) = ax 2 + bx + c ;②顶点式: f ( x ) = a ( x ? h) 2 + k , ( h, k ) 为顶 点; ③零点式: f ( x) = a ( x ? x1 )( x ? x 2 ) (a≠0). ⑵二次函数问题解决需考虑的因素: ①开口方向;②对称轴;③端点值;④与坐标轴交点;⑤判别式;⑥两根符号。 二次函数 y = ax 2 + bx + c 的图象的对称轴方程是 x = ?

? b 4ac ? b 2 b , 顶点坐标是 ? ? ? 2 a , 4a 2a ?

? ?。 ? ?

10.函数图象: 10.函数图象: ⑴图象作法 :①描点法 (特别注意三角函数的五点作图)②图象变换法 ③导数法 ⑵图象变换: ① 平移变换:ⅰ) y = f ( x ) → y = f ( x ± a ) , (a > 0) ———左“+”右“-”; ⅱ) y = f ( x ) → y = f ( x ) ± k , ( k > 0) ———上“+”下“-”;

? ② 对称变换:ⅰ) y = f (x ) ?? → y = ? f ( ? x ) ;ⅱ) y = f (x ) ??→ y = ? f (x ) ;
( 0, 0 )

y =0

ⅲ) y = f (x ) ??→ y = f ( ? x ) ; ⅳ) y = f (x ) ??→ x = f ( y ) ; ? ③ 翻折变换: ⅰ) y = f ( x ) → y = f (| x |) ———(去左翻右)y 轴右不动,右向左翻( f (x ) 在 y 左侧图象 去掉) ; ⅱ) y = f ( x ) → y =| f ( x) | ———(留上翻下)x 轴上不动,下向上翻(| f ( x ) |在 x 下面无 图象) ; 11.函数图象(曲线)对称性的证明: 11.函数图象(曲线)对称性的证明: (1)证明函数 y = f ( x ) 图像的对称性,即证明图像上任意点关于对称中心(对称轴)的 对称点仍在图像上; (2)证明函数 y = f ( x ) 与 y = g ( x ) 图象的对称性,即证明 y = f ( x ) 图象上任意点关于 对称中心(对称轴)的对称点在 y = g ( x ) 的图象上,反之亦然。
-3-

x =0

y=x

注:①曲线 C1:f(x,y)=0 关于原点(0,0)的对称曲线 C2 方程为:f(-x,-y)=0; 曲线 C1:f(x,y)=0 关于直线 x=0 的对称曲线 C2 方程为:f(-x, y)=0; 曲线 C1:f(x,y)=0 关于直线 y=0 的对称曲线 C2 方程为:f(x, -y)=0; 曲线 C1:f(x,y)=0 关于直线 y=x 的对称曲线 C2 方程为:f(y, x)=0 ②f(a+x)=f(b-x) (x∈R) ? y=f(x)图像关于直线 x=

特别地:f(a+x)=f(a-x) (x∈R) ? y=f(x)图像关于直线 x=a 对称. ③ y = f ( x) 的图象关于点 (a, b) 对称 ? f (a + x ) + f (a ? x ) = 2b . ④函数 y = f ( x ? a ) 与函数 y = f ( a ? x) 的图象关于直线 x = a 对称; 函数 y = f ( a + x ) 与函数 y = f ( a ? x) 的图象关于直线 x = 0 对称。 12.函数零点的求法: 12.函数零点的求法: ⑴直接法(求 f ( x ) = 0 的根) ;⑵图象法;⑶二分法.

a+b 对称; 2

特别地: y = f ( x) 的图象关于点 (a, 0) 对称 ? f (a + x ) = ? f (a ? x ) .

(4)零点定理:若 y=f(x)在[a,b]上满足 f(a)·f(b)<0 , 则 y=f(x)在(a,b)内至少有一 个零点。 13.导数: 13.导数: ⑴导数定义:f(x)在点 x0 处的导数记作 y ′
' x = x0

= f ′( x0 ) = lim

?x →0

f ( x 0 + ?x ) ? f ( x 0 ) ?x

⑵常见函数的导数公式: ① C = 0 ;② ( x n ) ' = nx n ?1 ;③ (sin x) ' = cos x ; ④ (cos x) ' = ? sin x ;⑤ ( a x ) ' = a x ln a ;⑥ (e x ) ' = e x ;⑦ (log a x) =
'

1 ; x ln a

⑧ (ln x) =
'

1 。 x
u v u ′v ? uv ′ ; v2

⑶导数的四则运算法则: (u ± v) ′ = u ′ ± v ′; (uv )′ = u ′v + uv ′; ( )′ =

′ x ⑷(理科)复合函数的导数: y ′ = y u ? u ′ ; 理科) x
⑸导数的应用: ①利用导数求切线:注意:ⅰ)所给点是切点吗?ⅱ)所求的是“在”还是“过”该点的 切线? ②利用导数判断函数单调性:i) f ′( x ) > 0 ? f ( x ) 是增函数;ii) f ′( x ) < 0 ? f ( x ) 为 减函数;iii) f ′( x ) ≡ 0 ? f ( x ) 为常数; ③利用导数求极值:ⅰ)求导数 f ′(x) ;ⅱ)求方程 f ′( x) = 0 的根;ⅲ)列表得极值。 ④ 利用导数求最大值与最小值:ⅰ)求极值;ⅱ)求区间端点值(如果有) ;ⅲ)比较 得最值。 三角函数、 第三部分 三角函数、三角恒等变换与解三角形 1.⑴角度制与弧度制的互化: π 弧度 = 180 , 1 = 角度制与弧度制的互化:
o

o

π
180

弧度, 1 弧度 = (

180

π

) o ≈ 57 o18 '

-4-

扇形面积公式: ⑵弧长公式: l = θR ;扇形面积公式: S = 弧长公式:

1 1 lR = θR 2 。 2 2

2.三角函数定义:角 α 终边上任一点(非原点)P ( x, y ) ,设 | OP |= r 则: 三角函数定义:
sin α = y x y , cos α = , tan α = r r x

三角函数符号规律: (简记为“全 s t c” ) 3.三角函数符号规律:一全正,二正弦,三正切,四余弦; 4.诱导公式记忆规律:“奇变偶不变,符号看象限” 诱导公式记忆规律 5.⑴ y = A sin(ωx + ? ) 对称轴:令 ω x + ? = kπ +

π
2

,得 x = L;

对称中心:

(

kπ ? ?

ω

,0)(k ∈ Z) ;

⑵ y = A cos(ωx + ? ) 对称轴:令 ωx + ? = kπ ,得 x =
kπ + (

kπ ? ?

ω

;对称中心:

π
2

??

ω

,0 )( k ∈ Z ) ;

⑶周期公式:①函数 y = A sin(ω x + ? ) 及 y = A cos(ω x + ? ) 的周期 T = 周期公式: 常数, 且 A≠0).②函数 y = A tan (ωx + φ ) 的周期 T = 6.同角三角函数的基本关系: sin 2 x + cos 2 x = 1; 同角三角函数的基本关系: 7.三角函数的单调区间及对称性: 三角函数的单调区间及对称性: ⑴ y = sin x 的单调递增区间为 ? 2kπ ?



ω

(A、ω、? 为

π (A、ω、 ? 为常数,且 A≠0). ω

sin x = tan x cos x

? ?

π
2

, 2k π +

π?
2? ?

k ∈ Z ,单调递减区间为

π π 3π ? ? ? 2kπ + 2 , 2kπ + 2 ? k ∈ Z ,对称轴为 x = kπ + 2 (k ∈ Z ) ,对称中心为 ( kπ , 0 ) (k ∈ Z ) . ? ? ⑵ y = cos x 的 单 调 递 增 区 间 为 [ 2kπ ? π , 2kπ ] k ∈ Z , 单 调 递 减 区 间 为

[ 2 kπ , 2 kπ + π ] k ∈ Z ,

对称轴为 x = kπ ( k ∈ Z ) ,对称中心为 ? kπ + ⑶ y = tan x 的单调递增区间为 ? kπ ?

? ?

π

? , 0 ? (k ∈ Z ) . 2 ?

? ?

π
2

, kπ +

π?

? k ∈ Z ,对称中心为 2?

? kπ ? ,0 ? (k ∈ Z ) . ? ? 2 ?
8.两角和与差的正弦、余弦、正切公式: 两角和与差的正弦、余弦、正切公式: ① sin(α ± β ) = sin α cos β ± cos α sin β ; cos(α ± β ) = cos α cos β m sin α sin β ;

-5-

tan(α ± β ) =

tan α ± tan β . 1 m tan α tan β
2

② sin(α + β ) sin(α ? β ) = sin

α ? sin 2 β ; cos(α + β ) cos(α ? β ) = cos 2 α ? sin 2 β .

2 2 ③ a sin α + b cos α = a + b sin(α + ? ) (其中,辅助角 ? 所在象限由点 (a, b) 所在的象限

决定, tan ? =

b ). a
2
2 2 2 2

9.二倍角公式:① sin 2α = 2 sin α cos α . (sin α ± cos α ) = 1 ± 2sin α cos α = 1 ± sin 2α 二倍角公式: ② cos 2α = cos α ? sin α = 2 cos α ? 1 = 1 ? 2sin α (升幂公式).

cos 2 α =
10. 10.正、余弦定理: 余弦定理: ⑴正弦定理:

1 + cos 2α 1 ? cos 2α , sin 2 α = (降幂公式). 2 2
( 2 R 是 ?ABC 外接圆直径 )

a b c = = = 2R sin A sin B sin C

注:① a : b : c = sin A : sin B : sin C ;② a = 2 R sin A, b = 2 R sin B, c = 2 R sin C ; ③

a b c a+b+c = = = 。 sin A sin B sin C sin A + sin B + sin C
2 2 2

⑵余弦定理: a = b + c ? 2bc cos A 等三个; cos A = 11.几个公式:⑴三角形面积公式:① S = 1.几个公式: 几个公式

b2 + c2 ? a2 等三个。 2bc

1 1 1 aha = bhb = chc( ha、hb、hc 分别表示 a、 2 2 2 1 1 1 b、c 边上的高);② S = ab sin C = bc sin A = ca sin B .③ 2 2 2 uuu uuu 2 uuu uuu 2 r r r r 1 S ?OAB = (| OA | ? | OB |) ? (OA ? OB ) 2
⑵内切圆半径 r= 2 S ? ABC
a+b+c

; 外接圆直径 2R=

a b c = = ; sinA sinB sinC

第四部分 立体几何 三视图与直观图: 1.三视图与直观图:⑴画三视图要求:正视图与俯视图长对正;正视图与侧视图高平齐;侧 视图与俯视图宽相等。 ⑵斜二测画法画水平放置几何体的直观图的要领。 面积与体积公式: 2.表(侧)面积与体积公式: ⑴柱体:①表面积:S=S 侧+2S 底;②侧面积:S 侧= 2πrh ;③体积:V=S 底 h ⑵锥体:①表面积:S=S 侧+S 底;②侧面积:S 侧= πrl ;③体积:V=

1 S 底 h: 3 1 3
' '

⑶台体: ①表面积: 侧+ S 上底 + S 下底;②侧面积: 侧= π ( r + r ' )l ;③体积: (S+ SS + S ) S=S S V= h; ⑷球体:①表面积:S= 4πR ;②体积:V= πR
2

4 3

3

.

: 3.位置关系的证明(主要方法) 位置关系的证明(主要方法)

-6-

⑴直线与直线平行:①公理 4;②线面平行的性质定理;③面面平行的性质定理。 ⑵直线与平面平行:①线面平行的判定定理;②面面平行 ? 线面平行。 ⑶平面与平面平行:①面面平行的判定定理及推论;②垂直于同一直线的两平面平行。 ⑷直线与平面垂直:①直线与平面垂直的判定定理;②面面垂直的性质定理。 ⑸平面与平面垂直:①定义----两平面所成二面角为直角;②面面垂直的判定定理。 以上理科还可用向量法 理科还可用向量法。 注:以上理科还可用向量法。 4.求角 (步骤------- 找或作角; 求角) 求角: (步骤-------Ⅰ 4.求角: 步骤-------Ⅰ.找或作角;Ⅱ.求角) ⑴异面直线所成角的求法: ①平移法:平移直线,构造三角形;②用向量法 ② ⑵直线与平面所成的角: ①直接法(利用线面角定义) ②用向量法 ;② 5.结论 结论: 5.结论: ⑴棱锥的平行截面的性质如果棱锥被平行于底面的平面所截, 那么所得的截面与底面相似, 截 面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比 (对应角相等, 对应边对应成 比例的多边形是相似多边形,相似多边形面积的比等于对应边的比的平方) ;相应小棱锥与 小棱锥的侧面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比. ⑵长方体从一个顶点出发的三条棱长分别为 a,b,c,则体对角线长为 a + b + c
2 2 2



全面积为 2ab+2bc+2ca,体积 V=abc。 ⑶正方体的棱长为 a,则体对角线长为 3a ,全面积为 6a ,体积 V= a 。 ⑷球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长. 球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是 正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长. ⑷正四面体的性质:设棱长为 a ,则正四面体的: ① 高:h =
2 3

6 2 6 6 a ;②对棱间距离: a ;③内切球半径: a ;④外接球半径: a。 3 2 12 4
第五部分 直线与圆

1.斜率公式: k = 斜率公式:

y2 ? y1 ,其中 P ( x1 , y1 ) 、 P2 ( x2 , y2 ) . 1 x2 ? x1
b (a ≠ 0) . a

直线的方向向量 v = (a, b ) ,则直线的斜率为 k =

2.直线方程的五种形式: 直线方程的五种形式: (1)点斜式: y ? y1 = k ( x ? x1 ) (直线 l 过点 P ( x1 , y1 ) ,且斜率为 k ). 1 (2)斜截式: y = kx + b ( b 为直线 l 在 y 轴上的截距). (3)两点式: (4)截距式:

y ? y1 x ? x1 = ( P ( x1 , y1 ) 、 P2 ( x2 , y2 ) x1 ≠ x2 , y1 ≠ y2 ). 1 y2 ? y1 x2 ? x1

x y + = 1 (其中 a 、 b 分别为直线在 x 轴、 y 轴上的截距,且 a ≠ 0, b ≠ 0 ). a b (5)一般式: Ax + By + C = 0 (其中 A、B 不同时为 0).
3.两条直线的位置关系: 两条直线的位置关系: (1)若 l1 : y = k1 x + b1 , l2 : y = k 2 x + b2 ,则:
-7-

① l1 ∥ l 2 ? k1 = k 2 , b1 ≠ b2 ; ② l1 ⊥ l2 ? k1k2 = ?1 . (2)若 l1 : A1 x + B1 y + C1 = 0 , l2 : A2 x + B 2 y + C2 = 0 ,则: ① l1 // l 2 ? A1 B2 ? A2 B1 = 0 且 A1C 2 ? A2 C1 ≠ 0 ;② l1 ⊥ l2 ? A1 A2 + B1 B2 = 0 . 4.求解线性规划问题的步骤是: 求解线性规划问题的步骤是: (1)列约束条件; (2)作可行域,写目标函数; (3)确定目标函数的最优解。 个公式: 5.两个公式: ⑴点 P(x0,y0)到直线 Ax+By+C=0 的距离: d = Ax 0 + By 0 + C ;
A2 + B 2

⑵两条平行线 Ax+By+C1=0 与 Ax+By+C2=0 的距离 d = 6.圆的方程: 圆的方程:

C1 ? C 2 A2 + B 2

⑴标准方程:① ( x ? a ) 2 + ( y ? b) 2 = r 2 ;② x 2 + y 2 = r 2 。 ⑵一般方程: x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0
2 2

( D 2 + E 2 ? 4 F > 0)
2 2

注:Ax +Bxy+Cy +Dx+Ey+F=0 表示圆 ? A=C≠0 且 B=0 且 D +E -4AF>0 圆的方程的求法: 7.圆的方程的求法:⑴待定系数法;⑵几何法。 直线与圆的位置关系: 主要掌握几何法) (主要掌握几何法 8.点、直线与圆的位置关系: 主要掌握几何法) ( ⑴点与圆的位置关系: d 表示点到圆心的距离) ( ① d = R ? 点在圆上;② d < R ? 点在圆内;③ d > R ? 点在圆外。 ⑵直线与圆的位置关系: d 表示圆心到直线的距离) ( ① d = R ? 相切;② d < R ? 相交;③ d > R ? 相离。 ⑶圆与圆的位置关系: d 表示圆心距, R, r 表示两圆半径,且 R > r ) ( ① d > R + r ? 相离;② d = R + r ? 外切;③ R ? r < d < R + r ? 相交; ④ d = R ? r ? 内切;⑤ 0 < d < R ? r ? 内含。
2 2 9.直线与圆相交所得弦长 | AB |= 2 r ? d

第六部分

圆锥曲线

1.定义:⑴椭圆: | MF1 | + | MF2 |= 2a, ( 2a >| F1 F2 |) ; 定义: ⑵双曲线: || MF1 | ? | MF2 ||= 2a, ( 2a <| F1 F2 |) ; ⑶抛物线:|MF|=d 2.结论 :⑴直线与圆锥曲线相交的弦长公式:若弦端点为 A ( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ) ,则

AB = ( x1 ? x2 )2 + ( y1 ? y2 ) 2 ,或 AB = x1 ? x 2 1 + k 2 , 或 AB = y1 ? y 2 1 +

1 . k2

2b 2 注:①抛物线: AB =x1+x2+p;②通径(最短弦) :ⅰ)椭圆、双曲线: ;ⅱ)抛 a
物线:2p.
2 2 ⑵过两点的椭圆、双曲线标准方程可设为: mx + ny = 1 ( m, n 同时大于 0 时表示椭

-8-

圆;

mn < 0 时表示双曲线) ;当点 P 与椭圆短轴顶点重合时 ∠F1 PF2 最大;
⑶双曲线中的结论:
2 2 2 2 ①双曲线 x ? y = 1 (a>0,b>0)的渐近线: x ? y = 0 ; a2 b2 a2 b2 2 2 b ; ②共渐进线 y = ± x 的双曲线标准方程可设为 x ? y = λ (λ 为参数, λ ≠ 0) 2 2 a a b

③双曲线为等轴双曲线 ? e =

2 ? 渐近线互相垂直;

⑷焦点三角形问题求解:利用圆锥曲线定义和余弦定理联立求解。 直线与圆锥曲线问题解法: 3.直线与圆锥曲线问题解法: ⑴直接法(通法) :联立直线与圆锥曲线方程,构造一元二次方程求解。 注意以下问题:①联立的关于“ x ”还是关于“ y ”的一元二次方程?②直线斜率不 存在时 考虑了吗?③判别式验证了吗? ⑵设而不求(点差法-----代点作差法) :--------处理弦中点问题 步骤如下:①设点 A(x1,y1)、B(x2,y2);②作差得 k AB =

y1 ? y 2 = LL ;③解决问题。 x1 ? x 2

(1)定义法:利用圆锥曲线的定义; (2)直接法(列等式)(3) ; 4.求轨迹的常用方法: 求轨迹的常用方法: 代入法(又称相关点法或坐标转移法) ;⑷待定系数法; (5)消参法; (6)交轨法; (7) 几何法。 第七部分 1.平面上两点间的距离公式: 1.平面上两点间的距离公式: d A, B = 平面上两点间的距离公式 平面向量
2

( x2 ? x1 ) + ( y2 ? y1 ) 2 ,其中 A ( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y2 ) .

2.向量的平行与垂直: 设 a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) ,且 b ≠ 0 ,则: 2.向量的平行与垂直: 向量的平行与垂直 ① a ∥ b ? b =λ a ? x 1 y2 ? x2 y1 = 0 ; ② a ⊥ b ( a ≠ 0 ) ? a · b =0 ? x 1 x2 + y1 y2 = 0 . 3.a·b a b a,b>= x 1 x2+y1y2; 3.a·b=|a||b|cos<a,b a·b a,b 注:①|a|cos<a,b a a,b>叫做 a 在 b 方向上的投影;|b|cos<a,b a,b>叫做 b 在 a 方向上的投影; a,b b a,b ②a·b 的几何意义:a·b 等于|a|与|b|在 a 方向上的投影|b|cos<a,b a,b>的乘积。 a·b a·b a b b a,b 4.cos<a,b a,b>= 4. a,b

a ?b | a || b |



5.三点共线的充要条件:P,A,B 三点共线 ? OP = xOA + yOB且x + y = 1 。 5. 第八部分 1.定义: 定义: 数列

uuu r

uuu r

uuu r

-9-

(1)等差数列{a n} a n +1 ? a n = d (d为常数, n ∈ N ?) a n ? a n ?1 = d (n ≥ 2) ? ? ? 2a n = a n +1 + a n?1 (n ≥ 2, n ∈ N *) ? a n = kn + b ? S n = An 2 + Bn
⑵等比数列 {a n } ?

a n +1 2 = q(q ≠ 0) ? a n = a n -1 ? a n +1 (n ≥ 2, n ∈ N ? ) an
等比数列

2.等差、等比数列性质: 等差、等比数列性质: 等差数列 通项公式

a n = a1 + (n ? 1)d

a n = a1 q n ?1
1.q = 1时, S n = na1 ; 2.q ≠ 1时, S n = = a1 ? a n q 1? q
n-m

n(a1 + a n ) n(n ? 1) 前 n 项和 S n = = na1 + d 2 2

a1 (1 ? q n ) 1? q

性质

①an=am+ (n-m)d, ②m+n=p+q 时 am+an=ap+aq ③ S k , S 2 k ? S k , S 3k ? S 2 k , L 成 AP ④ a k , a k + m , a k + 2m , L 成 AP, d ' = md

①an=amq ; ②m+n=p+q 时 aman=apaq ③ S k , S 2 k ? S k , S 3k ? S 2 k , L 成 GP ④ a k , a k + m , a k + 2m , L 成 GP, q ' = q m

3.常见数列通项的求法: 常见数列通项的求法: 数列通项的求法 (n=1) ⑴定义法(利用 AP,GP 的定义) ;⑵累加法( a n +1 ? a n = c n 型) ;⑶公式法: a = S1 n Sn-Sn-1 (n≥2) ⑷累乘法 (

a n +1 = c n 型) ⑸待定系数法 a n+1 = ka n + b 型) ; ( 转化为 a n +1 + x = k ( a n + x ) an
1 1 ? = 4 )(7) 理科)数学归纳法。 ; (理科) a n a n ?1

(6)间接法(例如: a n ?1 ? a n = 4a n a n ?1 ?

项和的求法: 4.前 n 项和的求法:⑴分组求和法;⑵错位相减法;⑶裂项法。 项和最值的求法: 5.等差数列前 n 项和最值的求法: ⑴ S n 最大值 ?

?a n ≥ 0 ? ?a ≤ 0 ? ? 或S n 最小值? n ? a n+1 ≤ 0? a n +1 ≥ 0 ? ? ? ? ?

;⑵利用二次函数的图象与性质。

第九部分 不等式

a+b 均值不等式: ≤ 1.均值不等式: ab ≤ 2

a2 + b2 ( a , b ≥ 0) 2 a + b 2 a2 + b2 ) ≤ ( a, b ∈ R ) 。 2 2

注意:①一正二定三相等;②变形: ab ≤ (

- 10 -

2.极值定理:已知 x, y 都是正数,则有: 极值定理: (1)如果积 xy 是定值 p ,那么当 x = y 时和 x + y 有最小值 2 p ; (2)如果和 x + y 是定值 s ,那么当 x = y 时积 xy 有最大值

1 2 s . 4

3.解一元二次不等式 2 3.解一元二次不等式 ax + bx + c > 0(或 < 0) :若 a > 0 ,则对于解集不是全集或空集时,对应 的 解集为“大两边,小中间”.如:当 x1 < x 2 , ( x ? x1 )( x ? x 2 ) < 0 ? x1 < x < x 2 ;

(x ? x1 )(x ? x 2 ) > 0 ? x > x2或x < x1 .
2 2

4.含有绝对值的不等式: 4.含有绝对值的不等式:当 a > 0 时,有:① x < a ? x < a ? ? a < x < a ; 含有绝对值的不等式
2 2

② x >a? x >a ? x>a或x < ?a . 5.分式不等式: 5.分式不等式: 分式不等式 (1)

f (x ) f (x ) > 0 ? f (x ) ? g (x ) > 0 ; (2) < 0 ? f (x ) ? g (x ) < 0 ; g (x ) g (x ) ? f (x ) ? g (x ) ≥ 0 ? f (x ) ? g (x ) ≤ 0 f (x ) f (x ) (3) ≥0?? ; (4) ≤0?? . g (x ) g (x ) ? g (x ) ≠ 0 ? g (x ) ≠ 0
? f ( x) > 0 ? ? f ( x) > g ( x) ; log a f ( x) > log a g ( x) ? ? g ( x) > 0 . ? f ( x ) > g ( x) ?
g (x)

6.指数不等式与对数不等式 6.指数不等式与对数不等式 (1)当 a > 1 时, a
f ( x)

>a

g (x)

(2)当 0 < a < 1 时, a

f ( x)

>a

? f ( x) > 0 ? ? f ( x) < g ( x) ;log a f ( x) > log a g ( x) ? ? g ( x) > 0 ? f ( x) < g ( x) ?

3.不等式的性质: 不等式的性质: ⑴ a > b ? b < a ;⑵ a > b, b > c ? a > c ;⑶ a > b ? a + c > b + c ; a > b, c > d ⑵ ⑶

? a + c > b + d ;⑷ a > b, c > 0 ? ac > bd ; a > b, c < 0 ? ac < bc ; ⑷

a > b > 0, c > d > 0
? ac > bd ;⑸ a > b > 0 ? a n > b n > 0(n ∈ N ? ) ;⑹ a > b > 0 ? ⑸
第十部分 复数
n

a >

n

b (n ∈ N ? )

1.概念: 概念: 2 ⑴z=a+bi∈R ? b=0 (a,b∈R) ? z= z ? z ≥ 0;⑵z=a+bi 是虚数 ? b≠ 0(a,b∈R); 2 ⑶z=a+bi 是纯虚数 ? a=0 且 b≠ 0(a,b∈R) ? z+ z =0(z≠ 0) ? z <0; ⑷a+bi=c+di ? a=c 且 c=d(a,b,c,d∈R); 复数的代数形式及其运算: 2.复数的代数形式及其运算:设 z1= a + bi , z2 = c + di (a,b,c,d∈R),则: (1) z 1± z2 = (a + b) ± (c + d)i;⑵ z1.z2 = (a+bi)·(c+di)=(ac-bd)+ (ad+bc)i;

- 11 -



z1 (a + bi )(c ? di ) = = ac + bd + bc ? ad i (z2≠ 0) ; z 2 (c + di )(c ? di ) c2 + d 2 c2 + d 2

3.几个重要的结论: 几个重要的结论: ① (1 ± i ) 2 = ±2i ;② 1 + i = i; 1 ? i = ?i; 1? i 1+ i ③ i 性质:T=4; i
4n

= 1, i 4 n +1 = i, i 4 n + 2 = ?1, i 4 n +3 = ?i ; i 4n + i 4n +1 + i 4+ 2 + i 4 n+ 3 = 0;

4.模的性质:⑴ | z1 z 2 |=| z1 || z 2 | ;⑵ | 模的性质:
2

z1 |z | |= 1 ;⑶ | z n |=| z | n 。 z2 | z2 |

的解: 5.实系数一元二次方程 5.实系数一元二次方程 ax + bx + c = 0 的解: ①若 ? = b ? 4ac > 0 ,则 x1,2 =
2

?b ± b2 ? 4ac b 2 ;②若 ? = b ? 4ac = 0 ,则 x1 = x2 = ? ; 2a 2a 2 ③若 ? = b ? 4ac < 0 ,它在实数集 R 内没有实数根;在复数集 C 内有且仅有两个共轭复数
?b ± ?(b 2 ? 4ac)i 2 (b ? 4ac < 0) . 2a
第十一部分 概率

根x=

1.事件的关系: 事件的关系: ⑴事件 B 包含事件 A:事件 A 发生,事件 B 一定发生,记作 A ? B ; ⑵事件 A 与事件 B 相等:若 A ? B, B ? A ,则事件 A 与 B 相等,记作 A=B; ; ⑶并(和)事件:某事件发生,当且仅当事件 A 发生或 B 发生,记作 A ∪ B(或 A + B ) ⑷并 (积) 事件: 某事件发生, 当且仅当事件 A 发生且 B 发生, 记作 A ∩ B(或 AB ) ; ⑸事件 A 与事件 B 互斥:若 A ∩ B 为不可能事件( A ∩ B = φ ) ,则事件 A 与互斥; ⑹对立事件: A ∩ B 为不可能事件, A ∪ B 为必然事件,则 A 与 B 互为对立事件。 概率公式: 2.概率公式: ⑴互斥事件(有一个发生)概率公式:P(A+B)=P(A)+P(B); ⑵古典概型: P ( A) =

A包含的基本事件的个数 ; 基本事件的总数

⑶几何概型: P ( A) =

构成事件A的区域长度(面积或体积等) ; 试验的全部结果构成的区域长度(面积或体积等)
第十二部分 统计与统计案例

1.抽样方法: 抽样方法: ⑴简单随机抽样:一般地,设一个总体的个数为 N,通过逐个不放回的方法从中抽取一个容量 为 n 的样本,且每个个体被抽到的机会相等,就称这种抽样为简单随机抽样。 注:①每个个体被抽到的概率为

n ; N

②常用的简单随机抽样方法有:抽签法;随机数表法。 ⑵系统抽样:当总体个数较多时,可将总体均衡的分成几个部分,然后按照预先制定的规则,
- 12 -

从 每一个部分抽取一个个体,得到所需样本,这种抽样方法叫系统抽样。 注:步骤:①编号;②分段;③在第一段采用简单随机抽样方法确定起始的个体编号;④ 按预 先制定的规则抽取样本。 ⑶分层抽样:当已知总体有差异比较明显的几部分组成时,为使样本更充分的反映总体的情 况, 将总体分成几部分,然后按照各部分占总体的比例进行抽样,这种抽样叫分层抽样。 注:每个部分所抽取的样本个体数=该部分个体数 ×

n N

注:以上三种抽样的共同特点是:在抽样过程中每个个体被抽取的概率相等 频率分布直方图与茎叶图: 2.频率分布直方图与茎叶图:⑴用直方图反映样本的频率分布规律的直方图称为频率分 布直方图。 ⑵当数据是两位有效数字时, 用中间的数字表示十位数, 即第一个有效数字, 两边的数字表示个位数,即第二个有效数字,它的中间部分像植物的茎,两边像植物茎 上长出来的叶子,这种表示数据的图叫做茎叶图。 总体特征数的估计: 3.总体特征数的估计:
n ⑴样本平均数 x = 1 ( x1 + x 2 + ? ? ? + x n ) = 1 ∑ x i ;

n

n

i =1

n ⑵样本方差 S 2 = 1 [( x1 ? x ) 2 + ( x2 ? x ) 2 + ? ? ? + ( xn ? x ) 2 ] = 1 ∑ ( xi ? x ) 2 ; n n i =1

n ⑶样本标准差 S = 1 [( x1 ? x ) 2 + ( x2 ? x ) 2 + ? ? ? + ( xn ? x )2 ] = 1 ∑ ( x ? x )2 i

n

n

i =1

: 3.相关系数(判定两个变量线性相关性) 相关系数(判定两个变量线性相关性)

r=

∑ ( xi ? x )( yi ? y )
i =1

n

∑ (x ? x ) ∑ ( y ? y )
2 i =1 i i =1 i

n

n

=
2

∑ ( x ? x )( y ? y )
i =1 i i

n

(∑ xi 2 ? nx 2 )(∑ yi 2 ? ny 2 )
i =1 i =1

n

n

注:⑴ r >0 时,变量 x, y 正相关; r <0 时,变量 x, y 负相关;⑵当 | r | 越接近于 1,两 个变量的线性相关性越强;当 | r | 越接近于 0 时,两个变量之间几乎不存在线性相关关 系。 4. 回归直线方程
n ? ∑ ( xi ? x )( yi ? y ) ? i =1 = n $ = a + bx ,其中 ?b = 2 y ? ∑ ( xi ? x ) ? i =1 ? ?a = y ? bx

∑ x y ? nx y
i =1 n i i

n

∑x
i =1

2

i

? nx 2

第十三部分 算法初步 1.程序框图: 程序框图:

- 13 -

⑴图形符号: ① 终端框(起止框) ;② ③

输入、输出框;

处理框(执行框) ;④ 判断框;⑤ 流程线 ; ⑵程序框图分类: ①顺序结构: ②条件结构: ③循环结构: r =0? 否 求 n 除以 i 的余数 输入 n 是 n 不是质数 n 是质数 i=i+1 i=2 i ≥ n 或 r=0? 否 是 注:循环结构分为:Ⅰ.当型(while 型) ——先判断条件,再执行循环体; Ⅱ.直到型(until 型)——先执行一次循环体,再判断条件。 基本算法语句: 2.基本算法语句: ⑴输入语句 INPUT “提示内容”;变量 ;输出语句:PRINT “提示内容”;表达式 赋值语句: ⑵条件语句:① IF 条件 THEN 语句体 END IF 变量=表达式 ② IF 条件 THEN 语句体 1 ELSE 语句体 2 END IF ②直到型: DO 循环体 LOOP UNTIL 条件

⑶循环语句:①当型: WHILE 条件 循环体 WEND

第十四部分 常用逻辑用语与推理证明 1.充要条件的判断: 充要条件的判断: (1)定义法----正、反方向推理 ”与“甲的充分条件是乙(乙 ? 甲) ” 注意区分: “甲是乙的充分条件(甲 ? 乙) (2)利用集合间的包含关系:例如:若 A ? B ,则 A 是 B 的充分条件或 B 是 A 的必要条 件;若 A=B,则 A 是 B 的充要条件。 逻辑联结 联结词 2.逻辑联结词: ⑴且(and) :命题形式 p ∧ q; p ⑵或(or) 命题形式 p ∨ q; : 真 ⑶非(not) :命题形式 ? p . 真 假 假 3.四种命题的相互关系

q 真 假 真 假

p∧q p∨q 真 真 假 真 假 真 假 假

?p
假 假 真 真

- 14 -

原命题 若p则q 互 互 否 否 否命题 若非p则非q 为 逆

互逆 互 为 逆 否 互逆

逆命题 若q则p 互 否

逆否命题 若非q则非p

4。四种命题: 四种命题: ⑴原命题:若 p 则 q; ⑵逆命题:若 q 则 p; ⑶否命题:若 ? p 则 ? q; ⑷逆否命题:若 ? q 则 ? p 注:原命题与逆否命题等价;逆命题与否命题等价。 5.全称量词与存在量词 5.全称量词与存在量词 ⑴全称量词-------“所有的”、“任意一个”等,用 ? 表示; 全称命题 p: ?x ∈ M , p ( x) ; 全称命题 p 的否定 ? p: ?x ∈ M , ?p ( x) 。

⑵存在量词--------“存在一个”、“至少有一个”等,用 ? 表示; 特称命题 p: ?x ∈ M , p ( x ) ; 6.常见结论的否定形式 6.常见结论的否定形式 原结论 是 都是 大于 小于 对所有 x , 成立 对任何 x , 不成立 特称命题 p 的否定 ? p: ?x ∈ M , ?p ( x ) ;

反设词 不是 不都是 不大于 不小于 存在某 x , 不成立 存在某 x , 成立

原结论 至少有一个 至多有一个 至少有 n 个 至多有 n 个

反设词 一个也没有 至少有两个 至多有( n ? 1 )个 至少有( n + 1 )个

p 或q p 且q

?p 且 ?q ?p 或 ?q

第十五部分 推理与证明 1.推理: 推理: ⑴合情推理:归纳推理和类比推理都是根据已有事实,经过观察、分析、比较、联想,在进 行归纳、类比,然后提出猜想的推理,我们把它们称为合情推理。 ①归纳推理:由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些 特征的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理,称为归纳推理,简称归纳。 注:归纳推理是由部分到整体,由个别到一般的推理。 ②类比推理:由两类对象具有类似和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具 有这些特征的推理,称为类比推理,简称类比。 注:类比推理是特殊到特殊的推理。 ⑵演绎推理:从一般的原理出发,推出某个特殊情况下的结论,这种推理叫演绎推理。 注:演绎推理是由一般到特殊的推理。 “三段论”是演绎推理的一般模式,包括:⑴大前提---------已知的一般结论;⑵小前提 ---------所研究的特殊情况; ⑶结论---------根据一般原理,对特殊情况得出的判断。

- 15 -

2.证明: 证明: ⑴直接证明 ①综合法:一般地,利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等,经过一系 列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法。综合法又叫顺 推法或由因导果法。 ②分析法:一般地,从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至最后,把要 证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定义、定理、公理等) ,这种证明 的方法叫分析法。分析法又叫逆推证法或执果索因法。 (2)间接证明(反证法) :一般地,假设原命题不成立,经过正确的推理,最后得出矛盾, 因此说明假设错误,从而证明原命题成立,这种证明方法叫反证法。

- 16 -


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