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浙江省嘉兴市2017届高三上学期期末考试数学试卷(WORD版).


2016-2017 学年浙江省嘉兴市高三(上)期末数学试卷
一、选择题(共 10 小题,每小题 4 分,满分 40 分)

1 ? mi (i 是虚数单位)是实数,则实数 m=( 1? i 1 3 A.1 B.2 C. D. 2 2 1 2.若 a ∈R,则“a>0”是“ a ? ≥2”的( ) a
1.若复数 z= A.必要不充分条件 C.充要条件 B.充分不必要条件 D.既非充分也非必要条件 )



3.已知直线 a,b 和平面 α,则下列命题正确的是( A.若 a∥b,b∥α,则 a∥α C.若 a∥b,b⊥α,则 a⊥α

B.a⊥b,b⊥α,则 a∥α D.若 a⊥b,b∥α,则 a⊥α )

4.设数列{an}是等差数列,且 a2=﹣2,a8=6,数列{an}的前 n 项和为 Sn,则 S9=( A.27 B.18 C.20 D.9 )

5.sin ,cos ,tan 的大小关系为( A.sin <cos <tan C.sin <tan <cos

B.cos <sin <tan D.tan <sin <cos = + , = +2 , =2 ﹣ , = ﹣ ,则下列结论正确

6.已知任意两个向量 , 不共线,若 的是( )

A.A,B,C 三点共线 C.A,C,D 三点共线

B.A,B,D 三点共线 D.B,C,D 三点共线 ) D.f(x)=x+tanx ,则 a2=( )

7.下列函数中既是奇函数,又在区间[﹣1,1]上单调递增的是( A.f(x)= 8.若 A. B. C. D.

x

?

1 2

B.f(x)=sin(2x+

x x ) C.f(x)=3﹣ ﹣3

9.如图,△ABC 中,AB=BC,∠ABC=120° ,若以 A,B 为焦点的双曲线的渐近线经过点 C,则该双曲 线的离心率为( )

A.

B.

C.

D.

10.已知 a、b、c∈R,a>b>c,a+b+c=0,若实数 x,y 满足不等式组

,则目标函数 z=2x+y



) B.无最大值,有最小值 D.无最大值,无最小值

A.有最大值,无最小值 C.有最大值,有最小值

二、填空题(共 7 小题,多空题 6 分,单空题 4 分,满分 36 分) 11. (6 分)已知集合 M={x||x﹣1|≤2},N={x|2x>1},则 M∩N= ,M∪?RN= . cm2.

12. (6 分) 已知某三棱锥的三视图 (单位: cm) 如图所示, 则此三棱锥的体积是

cm3, 表面积是

13. (6 分)已知 α、β 都是锐角,cosα= ,cos(α+β)=﹣

,则 tanα=

,cosβ=

. ,

14. (6 分) 从 4 名男生和 2 名女生中任选 3 人参加演讲比赛, 则恰好选到 2 名男生和 1 名女生的概率为 所选 3 人中至少有 1 名女生的概率为 15.已知椭圆 + .

=1(a>b>0)的两焦点为 F1,F2,A,B 分别是椭圆的左顶点和上顶点,若线段 . .

AB 上存在点 P,使 PF1⊥PF2,则椭圆的离心率的取值范围为
2

16.若对于任意的 x∈[a,2a],都有 y∈[a,a ]满足 logax+logay=3,则实数 a 的取值范围是

17.如图,已知 E,F 分别是正方形 ABCD 的边 AB、CD 的中点,现将正方形沿 EF 折成 60° 的二面角, 则异面角直线 AE 与 BF 所成角的余弦值是 .

三、解答题(共 5 小题,满分 74 分) 18. (14 分)在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c,且 (1)求角 A 的大小; (2)若 a= ,b=2c,求△ABC 的面积. = .

19. (15 分)已知单调递增的等比数列{an}满足:a2+a3+a4=28,且 a3+2 是 a2,a4 的等差中项. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若 bn=an? an,Sn=b1+b2+…+bn,求使 Sn+n?2n+1>50 成立的正整数 n 的最小值.

20. (15 分)如图,平面 ABE⊥平面 ABCD,四边形 ABCD 为直角梯形,∠CBA=90° ,AD∥BC∥EF,△ ABE 为等边三角形,AB=2 ,BC=2,AD=4,EF=3 (Ⅰ)求证:平面 CDF⊥平面 ABCD; (Ⅱ)求直线 AF 与平面 CDF 所成角的正切值.

21. (15 分)已知过抛物线 y2=4x 的焦点 F 的直线 l 交抛物线于 A,B 两点. (Ⅰ)求 F 点坐标; (Ⅱ)试问在 x 轴上是否存在一点 T(不与 F 重合) ,使∠ATF=∠BTF?若存在,求出 T 点坐标;若不存 在,请说明理由. (Ⅲ)若 P 是抛物线上异于 A,B 的任意一点,l1 是抛物线的准线,直线 PA、PB 分别交 l1 于点 M、N, 求证: ? 为定值,并求出该定值. .

22. (15 分)已知函数 f(x)=x﹣lnx,g(x)= (1)求 f(x)的最小值; (2)求证:f(x)>g(x) ; (3)若 f(x)+ax+b≥0,求 的最小值.

2016-2017 学年浙江省嘉兴市高三(上)期末数学试卷 参考答案

一、选择题(共 10 小题,每小题 4 分,满分 40 分) 1.A. 2.C. 3.C. 4.B. 5.C. 6.B. 7.D. 8.C. 9.D. 10.C. 二、填空题(共 7 小题,多空题 6 分,单空题 4 分,满分 36 分) 11.{x|x≤3} . 12. 2 cm3, 5+3 + cm2. 13.tanα= 4 14. 15. 16. 17. [2,+∞) . . , ,cosβ= . . .

三、解答题(共 5 小题,满分 74 分) 18. B、 C 的对边分别为 a, b, c, 【解答】 解: (1) △ABC 中, 角 A、 且 化简可得 b2+c2﹣a2=﹣bc,∴cosA= (2)∵△ABC 中,a= =﹣ ,∴A= . = = ,

,b=2c,∴a2=b2+c2﹣2bc?cosA=5c2﹣4c?(﹣ )=7, = .

∴c=1,∴△ABC 的面积为 bc?sinA= ?2?

19.解: (1)设等比数列{an}的首项为 a1,公比为 q. 依题意,有 2(a3+2)=a2+a4,代入 a2+a3+a4=28, 可得 a3=8,∴a2+a4=20,…(2 分) 即 ,解之得 或 …

又∵数列{an}单调递增,所以 q=2,a1=2, ∴数列{an}的通项公式为 an=2n. …(6 分) (2)因为 ,

所以 Sn=﹣(1×2+2×22+…+n?2n) , 2 3 2Sn=﹣[1×2 +2×2 +…+(n﹣1)?2n+n?2n+1], 两式相减,得 Sn=2+22+23+…+2n﹣n?2n+1=2n+1﹣2﹣n?2n+1. …(10 分) 要使 Sn+n?2n+1>50,即 2n+1﹣2>50,即 2n+1>52. 易知:当 n≤4 时,2n+1≤25=32<52;

当 n≥5 时,2n+1≥26=64>52.故使 Sn+n?2n+1>50 成立的正整数 n 的最小值为 5.…(12 分) 20. 【解答】 (Ⅰ)证明:如图所示,取 AB,CD 的中点 H,G,连接 GH,GF,EH,则 HG ∥AD∥BC∥EF, ∵BC=2,AD=4,∴HG=3, ∵EF=3,∴EF=HG, ∴四边形 EFGH 是平行四边形,∴FG∥EH ∵△ABE 为等边三角形,∴EH⊥AB, ∵平面 ABE⊥平面 ABCD,平面 ABE∩平面 ABCD=AB, ∴EH⊥平面 ABCD, ∴FG⊥平面 ABCD, ∵FG? 平面 CDF, ∴平面 CDF⊥平面 ABCD; (Ⅱ)解:连接 AG,由题意,可得 CD=4,∠ADC=60° ,∵AD=4,∴AG= , ∴AG⊥GD, ∵平面 CDF⊥平面 ABCD,平面 CDF∩平面 ABCD=CD ∴AG⊥平面 CDF,∴∠AFG 为直线 AF 与平面 CDF 所成角, ∵AG= ,FG=3, ∴tan∠AFG= ,即直线 AF 与平面 CDF 所成角的正切值为 .

21. 【解答】解: (Ⅰ)抛物线方程知 F(1,0) ; (Ⅱ)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,设直线 l 的方程为 x=my+1(m≠0) , 2 2 2 代入 y =4x 得 y ﹣4my﹣4=0,△=16m +16>0 恒成立,

假设存在 T(a,0)满足题意,则 kAT+kBT= ∴﹣8m+4m(1﹣a)=0, ∴a=﹣1,∴存在 T(﹣1,0) ; (Ⅲ)设 P(x0,y0) ,则直线 PA 的方程为:y﹣y1=

=0

当 x=﹣1 时,y=

,即 M 点纵坐标为 yM=



同理可得 N 点纵坐标为 yN=



∴yMyN= ∴

×

=

═yMyN+(﹣1)?(﹣1)=﹣3 为定值

22.解答】 (1)解:f(x)的定义域是(0,+∞) , f′(x)=1﹣ = ,

令 f′(x)<0,解得:0<x<1, 令 f′(x)>0,解得:x>1, ∴f(x)在(0,1)递减,在(1,+∞)递增, ∴f(x)的最小值是 f(1)=1; (2)证明:g(x)= ,g′(x)= ,

令 g′(x)>0,解得:0<x<e,令 g′(x)<0,解得:x>e, 故 g(x)在(0,e)递增,在(e,+∞)递减, 故 g(x)max=g(e)= , 由(1)f(x)min=f(1)=1>g(e)= , 故 f(x)>g(x) ; (3)解:f(x)+ax+b≥0,即 x﹣lnx+ax+b≥0. ∴b≥lnx﹣ax﹣x, 令 h(x)=lnx﹣ax﹣x,h′(x)= = ,

若 a+1≤0,则 h′(x)>0,h(x)为增函数,无最大值; 若 a+1>0,由 h′(x)>0,得 0<x< ∴h(x)在(0, ∴h(x)≤h( ,由 h′(x)<0,得 x> )上为减函数, ,

)上为增函数,在( )=﹣1﹣ln(a+1) .

∴b≥﹣1﹣ln(a+1) , ∴ 设 φ(a)= 则 φ′(a)= . . ,

由 φ′(a)>0,得 a>e﹣1;由 φ′(a)<0,得﹣1<a<e﹣1. ∴φ(a)≥φ(e﹣1)= ∴ 的最小值为 . .


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