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高中数学《空间向量及其运算-数量积运算》教案7_新人教A版选修2-1

3.1.3 空间向量的数量积运算
教学要求: 1.掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法; 2.掌握两个向量数量积的概念、性质和计算方法及运算律; 3.掌握两个向量数量积的主要用途,会用它解决立体几何中的长度,角度问题. 教学重点:两个向量的数量积的性质. 教学难点:向量运算在几何证明与计算中的应用. 教学过程: 一、复习引入 1.复习平面向量数量积定义: 2. 平面向量中有两个平面向量的数量积,与其类似,空间两个向量也有数量积. 二、新课讲授 1. 两个向量的数量积:已知空间两个向量 a 与 b,|a||b|cos ? 叫做向量 a、b 的数量积,记作 a·b,即 a·b=|a||b|cos ? . 注:两个非零向量夹角的概念:已知两个非零向量 a 与 b,在空间中 任取一点 O,作 OA =a, OB =b,则∠AOB 叫做向量 a 与 b 的夹角, 记作<a,b>. 注意:①在两向量的夹角定义中,两向量必须是同起点的. ② 0 ? ? ?? 说明:⑴两个向量的数量积是一个实数,不是向量,它的符号由 cos ? 的符号决 定 ⑵符号“· ”在向量运算中不是乘号,既不能省略,也不能用“×”代 替. 2. 空间向量数量积的运算律:与平面向量的数量积一样,空间向量的数量积有 如下运算律: ⑴(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb) ⑵ a·b=b·a (交换律); (分配律) (数乘结合律);
??? ? ??? ?

⑶a·(b+c)=a·b+a·c

3. 空间数量积的性质: 根据定义,空间向量的数量积和平面向量的数量积一样,

1

具有以下性质: ⑴a·e=|a|·cos<a,e>; ⑵a⊥b ? a·b=0 ⑶当 a 与 b 同向时,a·b=|a|·|b|; 当 a 与 b 反向时,a·b=-|a|·|b|. ⑷cos<a,b>=
a ?b ; a?b

⑸a·a=|a|2 或|a|= a ? a ? a 2 . (6)|a·b|≤|a|·|b|. 三、 教学例题 ? ? ? ? ? ? ? ? 例 1.已知向量 a ? b ,向量 c 与 a, b 的夹角都是 60? ,且 | a |? 1,| b |? 2,| c |? 3 ,下列 ? ? ? ? ? ? ? ? 各式的值:1) ( a ? b) 2 ; (2) (a ? 2b) ? (b ? 2c) ; (3) | b ? c | 练 习 : 在 平 行 六 面 体 ABCD-A ' B ' C
'

D ' 中 , AB=4 , AD=3 , AA ' =5 ,

? BAD=90 ? , ? BAA ' = ? DAA ' =60 ? 求 AC ' 的长
例 2. 在正四面体 OABC 中,E、F 分别是 AB、OC 的中点,求异面直线 OE 与 BF 所成的角的余弦值. 练习.在空间四边形 OABC 中, OA ? 8 , AB ? 6 AC ? 4 , BC ? 5 , ?OAC ? 45? , ?OAB ? 60? ,求 OA 与 BC 的夹角的余弦值
王新敞
奎屯 新疆

2


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