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简单的线性规划习题精选答案

简单的线性规划

习题精选(三)答案

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 题号 答案 1 C 2 A 3 C 4 C 5 C 6 D 7 C 8 D 9 D 10 A

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 6 分,共 24 分)

?x ? y ? 0 ? 11. ? x ? 2 ?y ? 0 ?

12. (? 3 ,? 1 )
2 2

13.[2,4]

14. 2

三、解答题(本大题共 6 题,共 76 分) 15. (12 分)

16. (12 分) [解析]:由约束条件作出其所确定的平面区域(阴影部分) ,其四个顶点为 O(0,0) , B(3,0) ,A(0,5) ,P(1,4) .过 P 点作 y 轴的垂线,垂足为 C.

则 AC=|5-4|=1,PC=|1-0|=1,OC=4,OB=3,AP= 2 ,
2 2 PB= (4 ? 0) ? (1 ? 3) ? 2 5

1 1 AC ? PC = , 2 2 1 S梯形COBP ? (CP ? OB ) ? OC ? 8 2 17 所以 S阴影部分 = S ?ACP + S 梯形COBP = , 2
得 S ?ACP ?

C阴影部分 =OA+AP+PB+OB=8+ 2 + 2 5
17. (12 分)

[解析]:作出其可行域如图所示,约束条件所确定的平面区域的五个顶点为(0,4) , (0,6) , (6,0) (10,0) , (10,1) , 作直线 l0:10 x +15 y =0,再作与直线 l0 平行的 直线 l:10 x +15 y =z,由图象可知,当 l 经过点(10,1)时使 z ? 10x ? 15y 取得最大 值,显然 zmax ? 10?10 ? 15?1 ? 115,此时最优解为(10,1) . 18. (12 分)

[解析]:作出其可行域如图所示, 约束条件所确定的平面区域的四个顶点为(1,

5 ) , (1,5) , (3,1) , (5,1) , 作直 3

线 l0:2 x + y =0,再作与直线 l0 平行的直线 l:2 x + y =z,由图象可知,当 l 经过点(1,

5 )时使 z ? 2 x ? y 取得最小值, 3
z min ? 2 ? 1 ? 1 ? 5 11 ? 3 3

当 l 经过点(5,1)时使 z ? 2 x ? y 取得最大值,

z max ? 2 ? 5 ? 1?1 ? 11

19. (14 分) [解析]:由题意可得,A 市、B 市、C 市调往 D 市的机器台数分别为 x、y、 (18- x - y) , 调往 E 市的机器台数分别为(10- x) 、 (10- y) 、[8-(18- x - y)].于是得 W=200 x +800(10- x)+300 y +700(10- y)+400(18- x - y)+500[8-(18- x - y)] =-500 x -300 y +17200 设W=17200-100T,其中T=5 x +3 y , 又由题意可知其约束条件是
?0 ? x ? 10 ?0 ? x ? 10 ? ? 0 ? y ? 10 ? ? ?0 ? y ? 10 ?0 ? 18 ? x ? y ? 8 ?10 ? x ? y ? 18 ? ?

作出其可行域如图:

作直线 l0:5 x +3 y=0, 再作直线 l0 的平行直线 l: 5 x +3 y=T 当直线 l 经过点(0,10)时,T取得最小值, 当直线 l 经过点(10,8)时,T取得最大值, 所以,当 x =10,y =8 时,Wmin=9800(元) 当 x =0,y =10 时,Wmax=14200(元) . 答:W的最大值为 14200 元,最小值为 9800 元. 20. (14 分) 分析:将已知数据列成下表:

解:设生产甲、乙两种棉纱分别为 x 吨、y 吨,利润总额为 z 元,
?2 x ? y ? 300 ? 那么 ? x ? 2 y ? 250 ? ?x ? 0 ? ?y ? 0

z=600x+900y.
作出以上不等式组所表示的平面区域(如图),即可行域.

作直线 l:600x+900y=0,即直线 l:2x+3y=0,把直线 l 向右上方平移至 l1 的位置时, 直线经过可行域上的点 M,且与原点距离最大,此时 z=600x+900y 取最大值.解方程组

?2 x ? y ? 300,得 M 的坐标为 x= 350 ≈117,y= 200 ≈67. ? 3 3 ? x ? 2 y ? 250
答:应生产甲种棉纱 117 吨,乙种棉纱 67 吨,能使利润总额达到最大.


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