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数学-扬州中学2014-2015学年高二下学期期中考试 数学文


江苏省扬州中学 2014—2015 学年度第二学期期中考试

高 二 数 学 试 卷(文)
(注:本试卷满分 160 分,考试时间 120 分钟,请将答案写在答题纸上) 一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分) 1.若全集 U ? R, 集合 M ? x x 2 ? x ? 0 ,则 C U M =

2015 年 4 月

?

?

. . . .

2 ) ,则 f (4) 的值为 2 3. 若函数 f ( x ? 1) ? x2 ? 2 x ? 1 ,则函数 f ( x) 的解析式为
2.已知幂函数 f ( x) 过点 (2,
x

4.已知函数 f ( x) ? ? 5.函数 y ?

? ?2 ? 1, x ? 1 ,若 f ( f (0)) ? 4a ,则实数 a = 2 x ? ax , x ? 1 ? ?

2x 的值域为 . 2x ? 1 1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 6.观察下列等式: 1 ? ,1 ? ? ? 1,1 ? ? ? ... ? ? ,1 ? ? ? ... ? ? 2,.... 由此猜测 2 2 3 2 3 7 2 2 3 15 第 n 个等式为 .. 10i 7. 设 z= ,则 z 的共轭复数是 . 3+i k k ?1 8.函数 y ? 2 x ? log 2 x ? 6 的零点所在的区间是 ( , . ) ,则正整数 k 的值为 2 2 9.定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f ( x ? 6) ? f ( x) .当 ?3 ? x ? -1 时, f ( x) ? ?( x ? 2)2 ;当 ?1 ? x ? 3 时, f ( x) ? x ,则 f (1) ? f (2) ? f (3) ? ... ? f (2014) = . 10.已知 a ? log 510, b ? log 3 6, c ? log 714 ,则 a , b, c 按照由小到大的顺序排列为 .
11.已知 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,且 f ( x) ? x2 ? 4 x( x ? 0) ,则不等式 f ( x) ? x 的解集 是 . 12.下列命题正确的序号是 ①命题“若 a ? b ,则 2 a ? 2b ”的否命题是真命题;

1 1 ,则; ?p “ ; ? 0” : ? 0” x ?1 x ?1 ③若 p 是 q 的充分不必要条件,则 ?p 是 ?q 的必要不充分条件; 1 ④方程 ax 2 ? x ? a ? 0 有唯一解的充要条件是 a ? ? . 2 4 3 2 13. 已知函数 f ( x) ? a0 x ? a1 x ? a2 x ? a3 x ? a4 (a0 , a1 , a2 , a3 , a4 ? R, 且a0 ? 0) 的四个零点构 成公差为 d 的等差数列,则 f ?( x) 的所有零点中最大值与最小值之差为 .
②若命题 p “ :

1? ? 14.已知 ? ( x) ? ax3 ? x2 ? ax(a ? 0) ,若存在实数 a ? ? ??, ? ? ,使得函数 2? ? ? ( x) ? ? ( x) ? ? ?( x) , x ? [?1, b] 在 x ? ?1 处取得最小值,则实数 b 的最大值 为 .

二、解答题(本大题共 6 小题,计 90 分) 15. (本小题 14 分)记函数 f ( x) ? ( x ? 1)( x ?1) 的定义域为 A ,函数

g ( x) ? lg ?( x ? a ? 1)(2a ? x)? (a ? 1) 的定义域为 B (1)求 A 、 B ; (2)若 B ? A ,求实数 a 的取值范围.
1

16.(本小题 14 分)设命题 p:函数 f ( x) ? lg(ax2 ? x ?

1 a) 的定义域为 R,命题 q:不等式 16

3x ? 9 x ? a 对一切实数均成立. (1)如果 p 是真命题,求实数 a 的取值范围; (2)如果命题“p 或 q”为真命题,且“p 且 q”为假命题,求实数 a 的取值范围. I
17.(本小题 14 分)如图,在 ?ABC 的区域内割出一块四边形 区域 BCED ,其中 ?C ? ?D ? 90 , BC ? BD ? 3 , CE ? DE ? 1 ,现准备经过 DB 上一点 P 和 EC 上一点 Q 铺
0
A

绿化 设水

管 PQ ,且 PQ 将四边形 BCED 分成面积相等的两部分. 设

D E P Q C

DP ? x , EQ ? y . (1)求 x , y 的等量关系式; (2)求水管 PQ 长的最小值.
B

第 17 题

18.(本小题 16 分)已知集合 M 是满足下列性质的函数 f ( x) 的全体:存在非零常数 T ,使得 对任意的实数 x ,有 f ( x ? T ) ? Tf ( x) 成立. (1)证明: f ( x) ? x 2 不属于集合 M ; (2)设 f ( x) ? M ,且 T ? 2 .已知当 1 ? x ? 2 时, f ( x) ? x ? lnx ,求当 ?3 ? x ? ?2 时, f ( x) 的 解析式. 19.(本小题 16 分)已知函数 f ( x) ? log 2 (4x ? 1) ? kx(k ? R) 是偶函数. (1)求 k 的值; (2) 设函数 g ( x) ? log 2 (a ? 2x ? a), 其中 a ? 0 . 若函数 f ( x) 与 g ( x) 的图象有且只有一个交 点,求 a 的取值范围. 20.(本小题 16 分) 已知函数 f ( x) ? ln x , g ( x) ? f ( x) ? ax2 ? bx(a, b ? R) .其中函数 y ? g ( x) 的图象在点 (1,g(1)) 处的切线平行于 x 轴. (1)确定 a , b 的等量关系式; (2)若 a ? 0 ,试讨论函数 y ? g ( x) 的单调性; (3)设斜率为 k 的直线与函数 y ? f ( x) 的图象交于点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ( x1 ? x2 ), 求证:

4 3

1 1 ?k? . x2 x1
命题、校对:高一数学组

?要?????答?????题??????

高二(文科)数学期中试卷答题纸
一、填空题: (本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分) 1. 4. 7. 2. 5. 8.
2

2015.4

成绩 3. 6. 9.

___

学号

10. 13.

11. 14.

12.

三、解答题(本大题共 6 小题,计 90 分) 15.解:

: 16.解:

17.
A

I

解:

D E P Q C

B

3

18.解:

请将 19、20 题做在反面

扬州中学 2014—2015 学年度第二学期 高二数学期中考试(文)答案
1.

2015.4

?x 0 ? x ? 1?

2.

1 2

3. f ( x) ? ( x ? 2)2 7. 1 ? 3i 8. 4 12.①③

4.2 9. 337

5. (0,1)

6. 1 ?

1 1 1 n ? ? ... ? n ? 2 3 2 ?1 2

10. c, a , b

11. (?5,0) ? (5, ??)

13. 5 d

14. 5 ………3 分

15. 解:(1)由题意得: ( x ? 1)( x ? 1) ? 0 ,即 A ? ? ??, ?1? ? ?1, ??? 由 ( x ? a ? 1) ? (2a ? x) ? 0 , 得 ( x ? a ? 1) ? ( x ? 2a) ? 0 . ∵ a ? 1 ,∴ a ? 1 ? 2 a , ∴ B ? (2a, a ? 1) .
4

…………… 7 分

(2)∵ B ? A , ∴ 2 a ? 1 或 a ? 1 ? ?1 , 即a?

……………

10 分

1 1 或 a ? ?2 .而 a ? 1 ,∴ ? a ? 1 或 a ? ?2 , 2 2
……………14 分

?1 ? 故当 B ? A 时, 实数 a 的取值范围是 (??, ?2] ? ? ,1? ?2 ?
16. 解:(1)若命题 p 为真命题,则 ax2 ? x ?

若 a ? 0 ,则 ? x ? 0 ,? x ? 0 ,不符合题意…………..3 分 若a ? 0, ?a ? 0 ?a ? 0 ? 则? ?? 1 2 ? a ? 2 ;………….7 分 △ ? 0 1? a ? 0 ? ? ? 4 (2)若命题 q 为真命题,则 3x ? 9x ? a ? a ?

a ? 0, x ? R 恒成立. 16

1 ……9 分 4 ?“p 或 q”为真命题且“p 且 q”为假命题,? p,q 一真一假…………10 分 1 1 ①“p 真 q 假” , a 无解;②“p 假 q 真” , a ?( 2 . 综上 a ? ( ,2] ………….14 分 ] , 4 4
I

17.解: (1)如图,AD= 3 ,AE=2. 则 S△ADE= S△BDE= S△BCE=

A

3 . 2
D E P Q C

1 ?S△APQ= 3 ,即 ( x ? 3)( y ? 2) ? 3 4 ∴ ( x ? 3)( y ? 2) ? 4 3
…………………………………7 分 (2) ?APQ 中, PQ ? AP ? AQ ? 2 AP ? AQ ? cos30?
2 2 2

B

= ( x ? 3) 2 ? (

4 3 x? 3

)2 ? 2 ? 4 3 ? 4 3 x? 3

3 ? 2 ·4 3 ?12 ? 8 3 ?12 2
………………………………10 分

当且仅当 ( x ? 3 ) 2 ? (

) 2 ,即 x ? 24 3 ? 3时 ,
…………………………………………14 分

PQmin ? 8 3 ? 12 ? 2 2 3 ? 3

18.(1) 证明:假设 f ( x) ? M ,则 f ( x ? T ) ? Tf ( x) ,即 ( x ? T )2 ? Tx2 对任意的 x 恒成立,

?1 ? T ? 0 ? 即 (1 ? T ) x ? 2Tx ? T ? 0 对任意的 x 恒成立. ? ?2T ? 0 ,?T 无解. ………8 分 ? 2 ?T ? 0 假设错误,所以 f ( x) ? x 2 不属于集合 M . (2) 由题意, f ( x ? 2) ? 2 f ( x) . ? ?3 ? x ? ?2,?1 ? x ? 4 ? 2 .? f ( x ? 4) ? x ? 4 ? ln( x ? 4) .
2 2

5

? f ( x) ?

1 1 x ? 4 ln( x ? 4) f ( x ? 2) ? f ( x ? 4) ? ? 2 4 4 4

.…….16 分

19.解: (1)由题意 f (? x) ? f ( x) 对任意 x ? R 恒成立,即 log 2 (4? x ? 1) ? kx ? log 2 (4x ? 1) ? kx 恒成立,即 log 2 (4x ? 1) ? 2 x ? kx ? log 2 (4x ? 1) ? kx 恒成立,即 2(k ? 1) x ? 0 对任意 x ? R 恒 成立,? k ? ?1 ………..7 分 4 4 , ?? ) .因为函数 f ( x) 与 g ( x) 的图象有且只有一个交 (2)由a ? 2x ? a ? 0 , 得定义域为 (log 2 3 3 4 4 , ?? ) 上只有一解. 点,?方程 log 2 (4x ? 1) ? x ? log 2 (a ? 2x ? a) 在 (log 2 3 3 4 4x ? 1 4 , ?? ) 上只有一解. 即方程 x ? a ? 2 x ? a 在 (log 2 3 2 3 令 2x ? t ? ( , ??) ,则方程 (a ? 1)t 2 ? at ? 1 ? 0 (*)在 ( , ??) 上只有一解……………..9 分

4 3

4 3

4 3

2a 4 3( a ? 1) 3 2a 3 4 ? 0 ,h(t ) ①当 a ? 1 时,t ? ? ? ( , ??) , 不合题意; ②当 0 ? a ? 1 时, 对称轴 t ? 3(a ? 1) 4 3 4 在 (0, ??) 上递减,且 h(0) ? ?1 ? 0 ,?(*)在 ( , ??) 上无解;③当 a ? 1 时,对称轴 t ? 3 2a 4 16 16 25 ? 0 ,只需 h( ) ? (a ? 1) ? a ? 1 ? ? ? 0 ,此恒成立,? a ? 1 . 3( a ? 1) 3 9 9 9
记 h(t ) ? (a ? 1)t 2 ? at ? 1 ,对称轴 t ? 综上 a ? 1 ………………16 分 (其它解法酌情给分) 20.解: g ( x) ? ln x ? ax 2 ? bx , g ?( x) ?

(1)由题意, g ?(1) ? 2a ? b ? 1 ? 0 ,即 2a ? b ? 1 ? 0 (2) g ?( x) ?

1 ? 2ax ? b . x
……….4 分

1 (2ax ? 1)( x ? 1) ? 2ax ? 2a ? 1 ? ( x ? 0) . …………6 分 x x ?( x ? 1) (i)当 a ? 0 时, g ?( x) ? ( x ? 0) .增区间为 (0,1) ,减区间为 (1, ??) ; x 1 2a( x ? )( x ? 1) 1 1 ? 2a 2 a ( x ? 0) .? ? 1 ? (ii)当 a ? 0 时, g ?( x) ? ,? x 2a 2a 1 1 1 1 ①当 0 ? a ? 时, ? 1 .增区间是 (0,1)和( , ??) ,减区间是 (1, ) ; 2a 2a 2 2a 1 1 1 1 ②当 a ? 时, ? 1 .增区间是 (0, )和(1, ??) ,减区间是 ( ,1) . 2 2a 2a 2a 2 ( x ? 1) 1 1 ? 0 ,增区间是 (0, ??) ,无减区间. ③当 a ? 时, ? 1 . g ?( x) ? x 2 2a 1 综 上 , 当 a ? 0 时 , 增 区 间 为 (0,1) , 减 区 间 为 (1, ??) ; 当 0 ? a ? 时 , 增 区 间 是 2 1 1 1 1 (0,1)和( , ??) ,减区间是 (1, ) ;当 a ? 时,增区间是 (0, ??) ,无减区间;当 a ? 时, 2a 2a 2 2 1 1 增区间是 (0, )和(1, ??) ,减区间是 ( ,1) ………………10 分 2a 2a
6

(3) ? 0 ? x1 ? x2 ,?

x ?x x ?x 1 1 1 ln x2 ? ln x1 1 ?k? ? ? ? ? 2 1 ? ln x2 ? ln x1 ? 2 1 x2 x1 x2 x2 ? x1 x1 x2 x1

x x 1 ? ln 2 ? 2 ? 1 …………………….12 分 x2 x1 x1 x1 1 x ?1 令 h( x) ? ln x ? x ? 1( x ? 1) , h?( x) ? ? 1 ? ? , 所 以 h( x) 在 (1, ??) 上 是 减 函 x x x x x x 数.? h( x) ? h(1) ? 0 .又 2 ? 1 ,? h( 2 ) ? 0 ,即 ln 2 ? 2 ? 1 . x1 x1 x1 x1 ?1?

1 1 1 x ?1 ? 1( x ? 1) , H?( x) ? ? 2 ? 2 , 所 以 H( x) 在 (1, ??) 上 是 增 函 数 , x x x x x2 x2 x 1 ? H( x) ? H(1) ? 0 ,又 ? 1 ,? H( ) ? 0 ,即 ln 2 ? 1 ? . x2 x1 x1 x1 x1 x x 1 综上, 1 ? ? ln 2 ? 2 ? 1 …………………………16 分 x2 x1 x1 x1
令 H( x) ? ln x ?

7


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