koorio.com
海量文库 文档专家
当前位置:首页 >> 数学 >>

湖北省宜昌市长阳一中2015-2016学年高二上学期期中数学试卷(理科) Word版含解析


2015-2016 学年湖北省宜昌市长阳一中高二 (上) 期中数学试卷 (理 科)
一、选择题(每小题 5 分,计 60 分) 1.已知 a,b 为实数,“ab=100”是“lga+lgb=2”的( A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

)

2.某人在打靶中,连续射击 2 次,事件“至少有一次中靶”的互斥事件是( A.至多有一次中靶 B.两次都中靶 C.两次都不中靶 D.只有一次中靶 3.程序的输出结果为( )

)

A.3,4 B.7,7 C.7,8 D.7,11

4.在区间[0,2]上随机地取一个数 x,则事件“﹣1≤log A. B. C. D.

(x+ )≤1”发生的概率为(

)

5.某校从高一年级学生中随机抽取部分学生,将他们的模块测试成绩分成 6 组:[40,50) , [50,60) ,[60,70) ,[70,80) ,[80,90) ,[90,100]加以统计,得到如图所示的频率分布直 方图.已知高一年级共有学生 600 名,据此估计,该模块测试成绩不少于 60 分的学生人数为 ( )

A.588 B.480 C.450 D.120 6.若圆心在 x 轴上、半径为 ) 程是( 的圆 O 位于 y 轴左侧,且与直线 x+2y=0 相切,则圆 O 的方

A. (x﹣

)2+y2=5 B. (x+

)2+y2=5

C. (x﹣5)2+y2=5

D. (x+5)2+y2=5 )

7.运行如下程序框图,如果输入的 t∈[﹣1,3],则输出 s 属于(

A.[﹣4,3] B.[﹣5,2] C.[﹣3,4] D.[﹣2,5]. 8.有下列四个命题: ①“若 x+y=0,则 x,y 互为相反数”的逆命题; ②“全等三角形的面积相等”的否命题; ③“若 q≤1,则 x2+2x+q=0 有实根”的逆否命题; ④“不等边三角形的三个内角相等”逆命题; ) 其中真命题为( A.①② B.①③ C.②③ D.③④ 9.为比较甲,乙两地某月 14 时的气温,随机选取该月中的 5 天,将这 5 天中 14 时的气温数 据(单位:℃)制成如图所示的茎叶图,考虑以下结论: ①甲地该月 14 时的平均气温低于乙地该月 14 时的平均气温; ②甲地该月 14 时的平均气温高于乙地该月 14 时的平均气温; ③甲地该月 14 时的气温的标准差小于乙地该月 14 时的气温的标准差; ④甲地该月 14 时的气温的标准差大于乙地该月 14 时的气温的标准差. ) 其中根据茎叶图能得到的统计结论的编号为(

A.①③

B.①④

C.②③

D.②④

10.若三条直线 l1:4x+y=4,l2:mx+y=0,l3:2x﹣3my=4 不能围成三角形,则实数 m 的取 ) 值最多有( A.2 个 B.3 个 C.4 个 D.5 个

11.已知点 A(﹣1,0) 、B(1,0) ,P(x0,y0)是直线 y=x+2 上任意一点,以 A、B 为焦点 ) 的椭圆过点 P.记椭圆离心率 e 关于 x0 的函数为 e(x0) ,那么下列结论正确的是( A.e 与 x0 一一对应 B.函数 e(x0)无最小值,有最大值 C.函数 e(x0)是增函数 D.函数 e(x0)有最小值,无最大值

12.已知椭圆 E:

+

=1(a>b>0)的右焦点为 F,短轴的一个端点为 M,直线 l:3x﹣

4y=0 交椭圆 E 于 A,B 两点,若|AF|+|BF|=4,点 M 到直线 l 的距离不小于 ,则椭圆 E 的离 心率的取值范围是( A. (0, ] B. (0, ] ) C.[ ,1) D.[ ,1)

二、填空题(每小题 5 分,计 20 分) 13.用“秦九韶算法”计算多项式 f(x)=4x5﹣3x4+4x3﹣2x2﹣2x+3 的值,当 x=3 时, V3=__________. 14.某种产品的广告费支出 x 与销售额 y 之间有如下对应数据(单位:百万元) . x 2 4 5 6 8 y 30 40 60 t 70 根据上表提供的数据,求出 y 关于 x 的线性回归方程为 =6.5x+17.5,则表中 t 的值为 __________. 15.某校早上 8:00 开始上课,假设该校学生小张与小王在早上 7:30~7:50 之间到校,且 每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的,则小张比小王至少早 5 分钟到校的概率为 __________(用数字作答) .

16. 在平面直角坐标系 xOy 中, 已知点 A 在椭圆 且 ?

+

=1 上, 点 P 满足

= (λ﹣1) (λ∈R) ,

=72,则线段 OP 在 x 轴上的投影长度的最大值为__________.

三、解答题(共 6 大题,计 70 分,要求写出详细解答过程) 17.一个盒子里装有三张卡片,分别标记有数字 1,2,3,这三张卡片除标记的数字外完全相 同,随机有放回地抽取 3 次,每次抽取 1 张,将抽取的卡片上的数字依次记为 a,b,c. (1)求“抽取的卡片上的数字满足 a+b=c”的概率; (2)求“抽取的卡片上的数字 a,b,c 不完全相同”的概率. (注:若三个数 a,b,c 满足 a≤b≤c,则称 b 为这三个数的中位数)

18.命题 p:关于 x 的不等式 x2+2ax+4>0,对一切 x∈R 恒成立,命题 q:指数函数 f(x)= (3﹣2a)x 是增函数,若 p∨q 为真,p∧q 为假,求实数 a 的取值范围.

19.已知椭圆 C:

的一个焦点是 F(1,0) ,且离心率为 .

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设经过点 F 的直线交椭圆 C 于 M,N 两点,线段 MN 的垂直平分线交 y 轴于点 P(0, y0) ,求 y0 的取值范围. 20.有 7 位歌手(1 至 7 号)参加一场歌唱比赛,由 500 名大众评委现场投票决定歌手名次, 根据年龄将大众评委分为 5 组,各组的人数如下: C D E 组别 A B 人数 50 100 150 150 50 (Ⅰ) 为了调查评委对 7 位歌手的支持状况,现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委,其 中从 B 组中抽取了 6 人.请将其余各组抽取的人数填入下表. A B C D E 组别 50 100 150 150 50 人数 6 抽取人数 (Ⅱ) 在(Ⅰ)中,若 A,B 两组被抽到的评委中各有 2 人支持 1 号歌手,现从这两组被抽 到的评委中分别任选 1 人,求这 2 人都支持 1 号歌手的概率. 21. 在直角坐标系 xOy 中,已知圆 C 的方程:x2+y2﹣2x﹣4y+4=0,点 P 是直线 l:x﹣2y﹣2=0 上的任意点,过 P 作圆的两条切线 PA,PB,切点为 A、B,当∠APB 取最大值时. (Ⅰ)求点 P 的坐标及过点 P 的切线方程; (Ⅱ)在△ APB 的外接圆上是否存在这样的点 Q,使|OQ|= (O 为坐标原点) ,如果存在,求 出 Q 点的坐标,如果不存在,请说明理由.

22.已知椭圆

=1(a>b>0)的离心率 e=

,左、右焦点分别为 F1、F2,点

,点 F2 在线段 PF1 的中垂线上. (1)求椭圆 C 的方程; (2)设直线 l:y=kx+m 与椭圆 C 交于 M、N 两点,直线 F2M 与 F2N 的倾斜角分别为 α,β, 且 α+β=π,求证:直线 l 过定点,并求该定点的坐标.

2015-2016 学年湖北省宜昌市长阳一中高二(上)期中数 学试卷(理科)
一、选择题(每小题 5 分,计 60 分) 1.已知 a,b 为实数,“ab=100”是“lga+lgb=2”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【分析】ab=100 时,lga+lgb=2 不一定成立;反之,lga+lgb=2,则 a>0,b>0,根据对数的运 算法则,ab=100 一定成立,故 a,b 为实数,“ab=100”是“lga+lgb=2”的必要而不充分条件. 【解答】解:ab=100 时,lga+lgb=2 不一定成立, 例如 a=﹣5,b=﹣20,有 ab=100, 但是 lga+lgb=2 不成立; 反之,lga+lgb=2,则 a>0,b>0, 根据对数的运算法则,lgab=2,ab=100, 所以 ab=100 一定成立, 故 a,b 为实数,“ab=100”是“lga+lgb=2”的必要而不充分条件. 故选 B. 【点评】本题考查充分条件、必要条件、充要条件的判断和应用,是基础题.解题时要认真 审题,仔细解答,注意对数的运算法则的灵活运用. 2.某人在打靶中,连续射击 2 次,事件“至少有一次中靶”的互斥事件是( A.至多有一次中靶 B.两次都中靶 C.两次都不中靶 D.只有一次中靶 )

【考点】互斥事件与对立事件. 【专题】常规题型. 【分析】事件“至少有一次中靶”包含两次都中靶和两次中有一次中靶,它的互斥事件是两次都 不中靶,实际上它的对立事件也是两次都不中靶. 【解答】解:∵事件“至少有一次中靶”包含两次都中靶和两次中有一次中靶, 它的互斥事件是两次都不中靶, 故选 C. 【点评】本题考查互斥事件和对立事件,对立事件是指同一次试验中,不会同时发生的事件, 遇到求用至少来表述的事件的概率时,往往先求它的对立事件的概率. 3.程序的输出结果为( )

A.3,4 B.7,7 C.7,8 D.7,11 【考点】赋值语句. 【专题】图表型. 【分析】分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作 用是计算 x,y 的值并输出. 【解答】解:程序在运行过程中各变量的结果如下表示: x=3 第一行 y=4 第二行 x=7 第三行 y=11 第四行 x=7 y=11 第五行 故程序的输出结果为 7,11 故选 D. 【点评】本题考查赋值语句,考查顺序结构,求解本题的关键是从图形中看出程序解决的是 什么问题以及程序中提供的运算方法是什么,然后根据所给的运算方法进行正确推理得出答 案.

4.在区间[0,2]上随机地取一个数 x,则事件“﹣1≤log A. B. C. D.

(x+ )≤1”发生的概率为(

)

【考点】几何概型. 【专题】计算题;概率与统计. 【分析】先解已知不等式,再利用解得的区间长度与区间[0,2]的长度求比值即得. 【解答】解:利用几何概型,其测度为线段的长度. ∵﹣1≤log ∴ 解得 0≤x≤ , ∵0≤x≤2 ∴0≤x≤ (x+ )≤1

∴所求的概率为:P= 故选:A 【点评】本题主要考查了几何概型,如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面 积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型. 5.某校从高一年级学生中随机抽取部分学生,将他们的模块测试成绩分成 6 组:[40,50) , [50,60) ,[60,70) ,[70,80) ,[80,90) ,[90,100]加以统计,得到如图所示的频率分布直

方图.已知高一年级共有学生 600 名,据此估计,该模块测试成绩不少于 60 分的学生人数为 ( )

A.588 B.480 C.450 D.120 【考点】频率分布直方图. 【专题】图表型. 【分析】根据频率分布直方图,成绩不低于 60 分的频率,然后根据频数=频率×总数可求出所 求. 【解答】解:根据频率分布直方图, 成绩不低于 60(分)的频率为 1﹣10×(0.005+0.015)=0.8. 由于该校高一年级共有学生 600 人,利用样本估计总体的思想,可估计该校高一年级模块测 试成绩不低于 60(分)的人数为 600×0.8=480 人. 故选 B. 【点评】本小题主要考查频率、频数、统计和概率等知识,考查数形结合、化归与转化的数 学思想方法,以及运算求解能力. 6.若圆心在 x 轴上、半径为 ) 程是( 的圆 O 位于 y 轴左侧,且与直线 x+2y=0 相切,则圆 O 的方

A. D. (x﹣ )2+y2=5 B. (x+ )2+y2=5 C. (x﹣5)2+y2=5 (x+5)2+y2=5 【考点】圆的标准方程. 【专题】直线与圆. 【分析】先看圆心,排除 A、C,在 B、D 中选一个验证直线 x+2y=0 相切即可. C 不符, 0) 【解答】 解: 因为圆 O 位于 y 轴左侧, 显然 A、 (﹣5, 到直线 x+2y=0 的距离为 故选 D. 【点评】本题采用回代验证方,法解答灵活.还可以数形结合估计法,直接推得结果. 7.运行如下程序框图,如果输入的 t∈[﹣1,3],则输出 s 属于( )



A.[﹣4,3] B.[﹣5,2] C.[﹣3,4] D.[﹣2,5]. 【考点】程序框图. 【专题】算法和程序框图. 【分析】根据程序框图的功能进行求解即可. 【解答】解:本程序为条件结果对应的表达式为 s= 则当输入的 t∈[﹣1,3], 则当 t∈[﹣1,1)时,s=3t∈[﹣3,3) , 2 2 当 t∈[1,3]时,s=4t﹣t =﹣(t﹣2) +4∈[3,4], 综上 s∈[﹣3,4], 故选:C 【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断,根据条件结构,结合分段函数的表达式是解 决本题的关键. 8.有下列四个命题: ①“若 x+y=0,则 x,y 互为相反数”的逆命题; ②“全等三角形的面积相等”的否命题; ③“若 q≤1,则 x2+2x+q=0 有实根”的逆否命题; ④“不等边三角形的三个内角相等”逆命题; ) 其中真命题为( A.①② B.①③ C.②③ D.③④ 【考点】命题的真假判断与应用. 【专题】简易逻辑. 【分析】写出“若 x+y=0,则 x,y 互为相反数”的逆命题判断真假; 写出“全等三角形的面积相等”的否命题判断真假; 通过若 q≤1,则方程 x2+2x+q=0 有实根,根据二次方程根的存在性,即可得到其真假,然后利 用互为逆否命题的两个命题即可判定该命题的正误. 利用原命题与逆否命题同真同假判断即可. 【解答】解:对于①,“若 x+y=0,则 x,y 互为相反数”的逆命题是:若 x,y 互为相反数, 则 x+y=0.它是真命题. 对于②,“全等三角形的面积相等”的否命题是:若两个三角形不是全等三角形,则这两个三 角形的面积不相等.它是假命题. 对于③,若 q≤1,则△ =4﹣4q≥0,故命题若 q≤1,则方程 x2+2x+q=0 有实根是真命题;它的逆 否命题的真假与该命题的真假相同,故(3)是真命题. 对于④,原命题为假,故逆否命题也为假. 故选:B. 【点评】本题考查四种命题的真假判断以及命题的否定,解题时要注意四种命题的相互转化, 和真假等价关系,属基础题. ,

9.为比较甲,乙两地某月 14 时的气温,随机选取该月中的 5 天,将这 5 天中 14 时的气温数 据(单位:℃)制成如图所示的茎叶图,考虑以下结论: ①甲地该月 14 时的平均气温低于乙地该月 14 时的平均气温; ②甲地该月 14 时的平均气温高于乙地该月 14 时的平均气温; ③甲地该月 14 时的气温的标准差小于乙地该月 14 时的气温的标准差; ④甲地该月 14 时的气温的标准差大于乙地该月 14 时的气温的标准差. ) 其中根据茎叶图能得到的统计结论的编号为(

A.①③

B.①④

C.②③

D.②④

【考点】命题的真假判断与应用. 【专题】概率与统计. 【分析】由已知的茎叶图,我们易分析出甲、乙甲,乙两地某月 14 时的气温抽取的样本温度, 进而求出两组数据的平均数、及方差可得答案 【解答】解:由茎叶图中的数据,我们可得甲、乙甲,乙两地某月 14 时的气温抽取的样本温 度分别为: 甲:26,28,29,31,31 乙:28,29,30,31,32; 可得:甲地该月 14 时的平均气温: (26+28+29+31+31)=29, 乙地该月 14 时的平均气温: (28+29+30+31+32)=30, 故甲地该月 14 时的平均气温低于乙地该月 14 时的平均气温; 甲地该月 14 时温度的方差为: (31﹣29)2]=3.6 乙地该月 14 时温度的方差为: (32﹣30)2]=2, 故 > , = [(28﹣30)2+(29﹣30)2+(30﹣30)2+(31﹣30)2+ = [(26﹣29)2+(28﹣29)2+(29﹣29)2+(31﹣29)2+

所以甲地该月 14 时的气温的标准差大于乙地该月 14 时的气温标准差. 故选:B. 【点评】本题考查数据的离散程度与茎叶图形状的关系,考查学生的计算能力,属于基础题 10.若三条直线 l1:4x+y=4,l2:mx+y=0,l3:2x﹣3my=4 不能围成三角形,则实数 m 的取 ) 值最多有( A.2 个 B.3 个 C.4 个 D.5 个 【考点】两条直线的交点坐标. 【专题】直线与圆.

【分析】三直线不能构成三角形时共有 4 种情况,即三直线中其中有两直线平行或者是三条 直线经过同一个点,在这四种情况中,分别求出实数 m 的值. 【解答】解:当直线 l1:4x+y=4 平行于 l2:mx+y=0 时,m=4. 当直线 l1:4x+y=4 平行于 l3:2x﹣3my=4 时,m=﹣ , 当 l2:mx+y=0 平行于 l3:2x﹣3my=4 时,﹣m= ,此时方程无解. , )代入 l3:2x﹣3my=4 得:

当三条直线经过同一个点时,把直线 l1 与 l2 的交点( ﹣3m× =4,解得 m=﹣1 或 m= ,

综上,满足条件的 m 有 4 个, 故选:C 【点评】本题考查三条直线不能构成三角形的条件,三条直线中有两条直线平行或者三直线 经过同一个点. 11.已知点 A(﹣1,0) 、B(1,0) ,P(x0,y0)是直线 y=x+2 上任意一点,以 A、B 为焦点 ) 的椭圆过点 P.记椭圆离心率 e 关于 x0 的函数为 e(x0) ,那么下列结论正确的是( A.e 与 x0 一一对应 B.函数 e(x0)无最小值,有最大值 C.函数 e(x0)是增函数 D.函数 e(x0)有最小值,无最大值 【考点】椭圆的简单性质. 【专题】计算题. 【分析】由题意可得 c=1,椭圆离心率 e= ,由椭圆的定义可得 PA+PB=2a,a= PA+PB 有最小值而没有最大值,从而得出结论. 【解答】解:由题意可得 c=1,椭圆离心率 e= = .故当 a 取最大值时 e 取最小,a 取最小值 时 e 取最大. 由椭圆的定义可得 PA+PB=2a,a= . ,再由

由于 PA+PB 有最小值而没有最大值,即 a 有最小值而没有最大值, 故椭圆离心率 e 有最大值而没有最小值,故 B 正确,且 D 不正确. 当直线 y=x+2 和椭圆相交时,这两个交点到 A、B 两点的距离之和相等, 都等于 2a,故这两个交点对应的离心率 e 相同,故 A 不正确. 由于当 x0 的取值趋于负无穷大时,PA+PB=2a 趋于正无穷大; 而当当 x0 的取值趋于正无穷大时,PA+PB=2a 也趋于正无穷大,故函数 e(x0)不是增函数, 故 C 不正确. 故选 B. 【点评】本题主要考查椭圆的定义、以及简单性质的应用,属于中档题.

12.已知椭圆 E:

+

=1(a>b>0)的右焦点为 F,短轴的一个端点为 M,直线 l:3x﹣

4y=0 交椭圆 E 于 A,B 两点,若|AF|+|BF|=4,点 M 到直线 l 的距离不小于 ,则椭圆 E 的离 心率的取值范围是( A. (0, ] B. (0, ] ) C.[ ,1) D.[ ,1)

【考点】直线与圆锥曲线的关系. 【专题】开放型;圆锥曲线中的最值与范围问题. 【分析】如图所示,设 F′为椭圆的左焦点,连接 AF′,BF′,则四边形 AFBF′是平行四边形, 可得 4=|AF|+|BF|=|AF′|+|BF|=2a.取 M(0,b) ,由点 M 到直线 l 的距离不小于 ,可得

,解得 b≥1.再利用离心率计算公式 e= =

即可得出.

【解答】解:如图所示,设 F′为椭圆的左焦点,连接 AF′,BF′,则四边形 AFBF′是平行四边 形, ∴4=|AF|+|BF|=|AF′|+|AF|=2a,∴a=2. 取 M(0,b) ,∵点 M 到直线 l 的距离不小于 ,∴ ,解得 b≥1.

∴e= =



=



∴椭圆 E 的离心率的取值范围是 故选:A.



【点评】本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、点到直线的距离公式、不等式的性质, 考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 二、填空题(每小题 5 分,计 20 分) 13.用“秦九韶算法”计算多项式 f(x)=4x5﹣3x4+4x3﹣2x2﹣2x+3 的值,当 x=3 时,V3=91. 【考点】秦九韶算法. 【专题】计算题;转化思想;算法和程序框图. 【分析】先将多项式改写成如下形式:f(x)=( ( ( (4x﹣3)x+4)x﹣2)x﹣2)x+3,将 x=3 代入并依次计算 v0,v1,v2,v3,的值,即可得到答案.

【解答】解:多项式 f(x)=4x5﹣3x4+4x3﹣2x2﹣2x+3 =( ( ( (4x﹣3)x+4)x﹣2)x﹣2)x+3, 当 x=3 时, v0=4, v1=9, v2=31, v3=91, 故答案为:91 【点评】本题考查的知识点秦九韶算法,其中熟练掌握秦九韶算法的运算法则,是解答本题 的关键. 14.某种产品的广告费支出 x 与销售额 y 之间有如下对应数据(单位:百万元) . x y 2 30 4 40 5 60 6 t 8 70

根据上表提供的数据,求出 y 关于 x 的线性回归方程为 =6.5x+17.5,则表中 t 的值为 50. 【考点】线性回归方程. 【专题】计算题. 【分析】计算样本中心点,根据线性回归方程恒过样本中心点,即可得到结论. 【解答】解:由题意, , =40+

∵y 关于 x 的线性回归方程为 =6.5x+17.5, ∴40+ =6.5×5+17.5 ∴40+ =50 ∴ =10 ∴t=50 故答案为:50. 【点评】本题考查线性回归方程的运用,解题的关键是利用线性回归方程恒过样本中心点 15.某校早上 8:00 开始上课,假设该校学生小张与小王在早上 7:30~7:50 之间到校,且 每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的, 则小张比小王至少早 5 分钟到校的概率为 (用 数字作答) . 【考点】几何概型. 【专题】概率与统计. 【分析】设小张到校的时间为 x,小王到校的时间为 y. (x,y)可以看成平面中的点试验的 全部结果所构成的区域为 Ω={(x,y|30≤x≤50,30≤y≤50}是一个矩形区域,则小张比小王至少 早 5 分钟到校事件 A={(x,y)|y﹣x≥5}作出符合题意的图象,由图根据几何概率模型的规则 求解即可.

【解答】解:设小张到校的时间为 x,小王到校的时间为 y. (x,y)可以看成平面中的点试 验的全部结果所构成的区域为 Ω={(x,y|30≤x≤50,30≤y≤50}是一个矩形区域,对应的面积 S=20×20=400, 则小张比小王至少早 5 分钟到校事件 A={x|y﹣x≥5}作出符合题意的图象,则符合题意的区域 为△ ABC,联立 得 C(45,50) ,联立 得 B(30,35) ,则 S△ ABC= ×15×15,

由几何概率模型可知小张比小王至少早 5 分钟到校的概率为

=



故答案为:



【点评】本题考查几何概率模型与模拟方法估计概率,求解的关键是掌握两种求概率的方法 的定义及规则,求出对应区域的面积是解决本题的关键.

16. 在平面直角坐标系 xOy 中, 已知点 A 在椭圆

+

=1 上, 点 P 满足

= (λ﹣1) (λ∈R) ,

且 ? =72,则线段 OP 在 x 轴上的投影长度的最大值为 15. 【考点】椭圆的简单性质. 【专题】计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】根据向量共线定理可得| || |=72,设 A(x,y) 、PB 为点 A 在 x 轴的投影,求出 OP 在 x 轴上的投影长度为| |cosθ,再利用基本不等式求最值,可得结论. 【解答】解:∵ =(λ﹣1) ,∴ =λ ,则 O,P,A 三点共线, ∵ ? =72,∴| || |=72, 设 OP 与 x 轴夹角为 θ,设 A(x,y) ,B 为点 A 在 x 轴的投影, 则 OP 在 x 轴上的投影长度为 | |cosθ= =72× =72× ≤72× =15.

当且仅当|x|=

时等号成立.

则线段 OP 在 x 轴上的投影长度的最大值为 15.

故答案为:15. 【点评】本题已知椭圆上的动点满足的条件,求线段 OP 在 x 轴上的投影长度的最大值.着重 考查了向量的数量积及其运算性质、向量的坐标运算公式、基本不等式与椭圆的简单几何性 质等知识,属于中档题. 三、解答题(共 6 大题,计 70 分,要求写出详细解答过程) 17.一个盒子里装有三张卡片,分别标记有数字 1,2,3,这三张卡片除标记的数字外完全相 同,随机有放回地抽取 3 次,每次抽取 1 张,将抽取的卡片上的数字依次记为 a,b,c. (1)求“抽取的卡片上的数字满足 a+b=c”的概率; (2)求“抽取的卡片上的数字 a,b,c 不完全相同”的概率. (注:若三个数 a,b,c 满足 a≤b≤c,则称 b 为这三个数的中位数) 【考点】古典概型及其概率计算公式. 【专题】概率与统计. 【分析】 (Ⅰ)所有的可能结果(a,b,c)共有 3×3×3=27 种,一一列举即可,而满足 a+b=c 的(a,b,c)有 3 个,由此求得“抽取的卡片上的数字满足 a+b=c”的概率. (Ⅱ)所有的可能结果(a,b,c)共有 3×3×3 种,用列举法求得满足“抽取的卡片上的数字 a, b,c 完全相同”的(a,b,c)共计三个,由此求得“抽取的卡片上的数字 a,b,c 完全相同” 的概率,再用 1 减去此概率,即得所求 【解答】解: (Ⅰ)由题意, (a,b,c)所有的可能为: 1 1 1 1 1 2 ( , , ) , ( , , ) , (1,1,3) , (1,2,1) , (1,2,2) , (1,2,3) , (1,3,1) , (1,3,2) , (1,3,3) , (2,1,1) , (1,1,2) , (2,1,3) , (2,2,1) , (2,2,2) , (2,2,3) , (2,3,1) , (2,3,2) , (2,3,3) , (3,1,1) , (3,1,2) , (3,1,3) , (3,2,1) , (3,2,2) , (3,2,3) , (3,3,1) , (3,3,2) , (3,3,3) ,共 27 种. 设“抽取的卡片上的数字满足 a+b=c”为事件 A,则事件 A 包括(1,1,2) , (1,2,3) , (2,1, 3) ,共 3 种, 所以 P(A)= = .

因此,“抽取的卡片上的数字满足 a+b=c”的概率为 . (Ⅱ)设“抽取的卡片上的数字 a,b,c 不完全相同”为事件 B, 则事件包括(1,1,1) , (2,2,2) , (3,3,3) ,共 3 种. 所以 P(B)=1﹣P( )=1﹣ = .

因此,“抽取的卡片上的数字 a,b,c 不完全相同”的概率为 . 【点评】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式的应用,属于中档题 18.命题 p:关于 x 的不等式 x2+2ax+4>0,对一切 x∈R 恒成立,命题 q:指数函数 f(x)= (3﹣2a)x 是增函数,若 p∨q 为真,p∧q 为假,求实数 a 的取值范围. 【考点】命题的真假判断与应用;复合命题的真假;二次函数的性质;指数函数的单调性与 特殊点. 【专题】计算题;函数的性质及应用.

【分析】由 p∨q 为真,p∧q 为假,知 p 为真,q 为假,或 p 为假,q 为真.由此利用二元一次 不等式和指数函数的性质,能求出实数 a 的取值范围. 【解答】解:∵p∨q 为真,p∧q 为假,∴p 为真,q 为假,或 p 为假,q 为真. ①当 p 为真,q 为假时, ,解得 1<a< . ②当 p 为假,q 为真时, ,解得 a≤﹣2

综上,实数 a 的取值范围是{a|a≤﹣2 或 1<a< }. 【点评】本题考查命题的真假判断,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答.

19.已知椭圆 C:

的一个焦点是 F(1,0) ,且离心率为 .

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设经过点 F 的直线交椭圆 C 于 M,N 两点,线段 MN 的垂直平分线交 y 轴于点 P(0, y0) ,求 y0 的取值范围. 【考点】直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程. 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】 (I)利用椭圆的性质及 ,b2=a2﹣c2 即可得出;

(II)分直线 MN 的斜率存在于不存在讨论,当 MN 的斜率存在时,可设直线 MN 的方程为 y=k(x﹣1) (k≠0) ,与椭圆的方程联立得到根与系数的关系及其中点坐标公式及其基本不等 式的性质即可得出. 【解答】解: (Ⅰ)设椭圆 C 的半焦距是 c.依题意,得 c=1. 因为椭圆 C 的离心率 = ,

所以 a=2,c=1,b2=a2﹣c2=3. 故椭圆 C 的方程为 .

(Ⅱ)当 MN⊥x 轴时,显然 y0=0. 当 MN 与 x 轴不垂直时,可设直线 MN 的方程为 y=k(x﹣1) (k≠0) . 由 消去 y 整理得 (3+4k2)x2﹣8k2x+4(k2﹣3)=0.

设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,线段 MN 的中点为 Q(x3,y3) , 则 .

所以





线段 MN 的垂直平分线方程为



在上述方程中令 x=0,得



当 k<0 时, 所以 ,或

;当 k>0 时, . .



综上:y0 的取值范围是

【点评】本题中考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为与椭圆的方程 联立得到根与系数的关系、中点坐标公式及其基本不等式的性质等基础知识与基本技能,考 查了分类讨论思想方法、推理能力、计算能力. 20.有 7 位歌手(1 至 7 号)参加一场歌唱比赛,由 500 名大众评委现场投票决定歌手名次, 根据年龄将大众评委分为 5 组,各组的人数如下: C D E 组别 A B 人数 50 100 150 150 50 (Ⅰ) 为了调查评委对 7 位歌手的支持状况,现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委,其 中从 B 组中抽取了 6 人.请将其余各组抽取的人数填入下表. A B C D E 组别 50 100 150 150 50 人数 6 抽取人数 (Ⅱ) 在(Ⅰ)中,若 A,B 两组被抽到的评委中各有 2 人支持 1 号歌手,现从这两组被抽 到的评委中分别任选 1 人,求这 2 人都支持 1 号歌手的概率. 【考点】相互独立事件的概率乘法公式;分层抽样方法. 【专题】概率与统计. 【分析】 (Ⅰ)利用分层抽样中每层所抽取的比例数相等直接计算各层所抽取的人数; (Ⅱ)利用古典概型概率计算公式求出 A,B 两组被抽到的评委支持 1 号歌手的概率,因两组 评委是否支持 1 号歌手相互独立,由相互独立事件同时发生的概率公式计算从这两组被抽到 的评委中分别任选 1 人,2 人都支持 1 号歌手的概率. 【解答】解: (Ⅰ)按相同的比例从不同的组中抽取人数. 从 B 组 100 人中抽取 6 人,即从 50 人中抽取 3 人,从 150 人中抽取 6 人,填表如下: A B C D E 组别 50 100 150 150 50 人数 3 6 9 9 3 抽取人数 (Ⅱ)A 组抽取的 3 人中有 2 人支持 1 好歌手,则从 3 人中任选 1 人,支持 1 号歌手的概率为 .

B 组抽取的 6 人中有 2 人支持 1 号歌手,则从 6 人中任选 1 人,支持 1 号歌手的概率为 . 现从这两组被抽到的评委中分别任选 1 人,则 2 人都支持 1 号歌手的概率 p= .

【点评】 本题考查了分层抽样方法, 考查了相互独立事件同时发生的概率乘法公式, 若事件 A, B 是否发生相互独立,则 p(AB)=p(A)p(B) ,是中档题. 21. 在直角坐标系 xOy 中,已知圆 C 的方程:x2+y2﹣2x﹣4y+4=0,点 P 是直线 l:x﹣2y﹣2=0 上的任意点,过 P 作圆的两条切线 PA,PB,切点为 A、B,当∠APB 取最大值时. (Ⅰ)求点 P 的坐标及过点 P 的切线方程; (Ⅱ)在△ APB 的外接圆上是否存在这样的点 Q,使|OQ|= (O 为坐标原点) ,如果存在,求 出 Q 点的坐标,如果不存在,请说明理由. 【考点】直线和圆的方程的应用. 【专题】直线与圆. 【分析】 (Ⅰ)求出圆心 C(1,2) ,r=1,判断当∠APB 取最大值时,即圆心到点 P 的距离最 小,通过求解 P(2,0)得到切线方程. (Ⅱ)△ APB 的外接圆是以 PC 为直径的圆,求出 PC 的中点坐标是 , ,

圆上的点到点 O 的最大距离判断求解,即可得到因此这样的点 Q 不存在. 【解答】解: (Ⅰ)圆方程可化为: (x﹣1)2+(y﹣2)2=1,圆心 C(1,2) ,r=1 当∠APB 取最大值时,即圆心到点 P 的距离最小… 所求的点 P 是过圆心与直线 l 垂直的直线与直线 l 的交点. 过圆心与直线 l 垂直的直线的方程是:2x+y﹣4=0… 由 ,解得 P(2,0)…

设切线方程为:y=k(x﹣2) , ,解得 k= ,或 k 不存在.

过点 P 的切线方程:3x+4y﹣6=0… 或 x=2… (Ⅱ)△ APB 的外接圆是以 PC 为直径的圆… PC 的中点坐标是 因此△ APB 外接圆方程是: , … …

圆上的点到点 O 的最大距离是:



因此这样的点 Q 不存在… 【点评】本题考查直线与圆的方程的综合应用,存在性问题的求法,圆的切线方程的求法, 考查计算能力.

22.已知椭圆

=1(a>b>0)的离心率 e=

,左、右焦点分别为 F1、F2,点

,点 F2 在线段 PF1 的中垂线上. (1)求椭圆 C 的方程; (2)设直线 l:y=kx+m 与椭圆 C 交于 M、N 两点,直线 F2M 与 F2N 的倾斜角分别为 α,β, 且 α+β=π,求证:直线 l 过定点,并求该定点的坐标. 【考点】椭圆的标准方程;恒过定点的直线;直线与圆锥曲线的综合问题. 【专题】综合题;压轴题. 【分析】 (1)根据椭圆的离心率求得 a 和 c 的关系,进而根据椭圆 C 的左、右焦点分别为 F1 (﹣c,0) ,F2(c,0)又点 F2 在线段 PF1 的中垂线上推断|F1F2|=|PF2|,进而求得 c,则 a 和 b 可得,进而求得椭圆的标准方程. (2)设直线 MN 方程为 y=kx+m,与椭圆方程联立消去 y,设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,根 据韦达定理可表示出 x1+x2 和 x1x2,表示出直线 F2M 和 F2N 的斜率,由 α+β=π 可推断两直线 斜率之和为 0,把 x1+x2 和 x1x2 代入即可求得 k 和 m 的关系,代入直线方程进而可求得直线 过定点. 【解答】解: (1)由椭圆 C 的离心率 得 ,其中 ,

椭圆 C 的左、右焦点分别为 F1(﹣c,0) ,F2(c,0)又点 F2 在线段 PF1 的中垂线上 ∴|F1F2|=|PF2|,∴ ∴ . 解得 c=1,a2=2,b2=1,

(2)由题意,知直线 MN 存在斜率,设其方程为 y=kx+m.由 消去 y,得(2k2+1)x2+4kmx+2m2﹣2=0.设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) , 2 2 2 = 4km 4 2k +1 2m 2 0 则△ ( )﹣ ( ) ( ﹣ )≥ 即 2k2﹣m2+1≥0 则 ,且

由已知 α+β=π,得 化简,得 2kx1x2+(m﹣k) (x1+x2)﹣2m=0 ∴ 整理得 m=﹣2k.



∴直线 MN 的方程为 y=k(x﹣2) ,因此直线 MN 过定点,该定点的坐标为(2,0) 【点评】本题主要考查了椭圆的标准方程.考查了学生对问题的综合分析和基本的运算能力.


推荐相关:

...学年高二上学期期中数学试卷(理科) Word版含解析.doc

湖北省宜昌市长阳一中2015-2016学年高二上学期期中数学试卷(理科) Word版含解析_数学_高中教育_教育专区。2015-2016 学年湖北省宜昌市长阳一中高二 (上) 期中数学...


...学年高二上学期期中数学试卷(文科) Word版含解析.doc

湖北省宜昌市长阳一中2015-2016学年高二上学期期中数学试卷(文科) Word版含解析_数学_高中教育_教育专区。2015-2016 学年湖北省宜昌市长阳一中高二 (上) 期中数学...


...学年高二上学期期中数学试卷(理科) Word版含解析.doc

湖北省宜昌市长阳一中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(理科) Word版含解析_数学_高中教育_教育专区。湖北省宜昌市长阳一中 2014-2015 学年高二上学期期中数学...


...年湖北省宜昌市长阳一中高二上学期期中数学试卷及参....doc

2015-2016年湖北省宜昌市长阳一中高二上学期期中数学试卷及参考答案(理科) - 2015-2016 学年湖北省宜昌市长阳一中高二(上)期中数学试卷 (理科) 一、选择题(每小...


湖北省宜昌市长阳一中2015-2016学年高一上学期期中数学....doc

湖北省宜昌市长阳一中2015-2016学年高一上学期期中数学试卷 Word版含解析_数学_...2015-2016 学年湖北省宜昌市长阳一中高一(上)期中数学试卷一、选择题:本大题 ...


...长阳一中高二上学期期中数学试卷带解析答案(理科).doc

【精品】2016年湖北省宜昌市长阳一中高二上学期期中数学试卷解析答案(理科) - 2015-2016 学年湖北省宜昌市长阳一中高二(上)期中数学试卷 (理科) 一、选择题(...


2015年湖北省宜昌市长阳一中高二上学期数学期中试卷和....doc

2015年湖北省宜昌市长阳一中高二上学期数学期中试卷解析(理科) - 2014-2015 学年湖北省宜昌市长阳一中高二(上)期中数学试卷 (理科) 一、选择题:本大题共 10...


2015-2016学年湖北省宜昌市长阳一中高二上学期期中数学....doc

2015-2016学年湖北省宜昌市长阳一中高二上学期期中数学试卷解析(文科) - 2015-2016 学年湖北省宜昌市长阳一中高二()期中数学试卷 (文科) 一、选择题(每小...


...学年湖北省宜昌市长阳一中高二上学期期中数学试卷和....doc

【精品】2015学年湖北省宜昌市长阳一中高二上学期期中数学试卷解析(理科) - 2014-2015 学年湖北省宜昌市长阳一中高二(上)期中数学试卷 (理科) 一、选择题:本...


...市长阳一中高二上学期期中数学试卷及解析(理科).doc

2014-2015年湖北省宜昌市长阳一中高二上学期期中数学试卷解析(理科) - 2014-2015 学年湖北省宜昌市长阳一中高二(上)期中数学试卷 (理科) 一、选择题:本大题...


...2015学年高二上学期期中数学试卷(文科) Word版含解....doc

湖北省宜昌市长阳一中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(文科) Word版含解析_数学_高中教育_教育专区。湖北省宜昌市长阳一中 2014-2015 学年高二上学期期中数学...


...年湖北省宜昌市长阳一中高二上学期期中数学试卷及答....doc

2015-2016年湖北省宜昌市长阳一中高二上学期期中数学试卷及答案(文科) - 2015-2016 学年湖北省宜昌市长阳一中高二()期中数学试卷 (文科) 一、选择题(每小题 ...


...年湖北省宜昌市长阳一中高二上学期期中数学试卷带解....doc

【精品】2016年湖北省宜昌市长阳一中高二上学期期中数学试卷解析答案(文科) - 2015-2016 学年湖北省宜昌市长阳一中高二()期中数学试卷 (文科) 一、选择题(...


湖北省宜昌市长阳一中2015-2016学年高二上学期期中数学....doc

2015-2016 学年湖北省宜昌市长阳一中高二 () 期中数学试卷 (理科)一、选择题(每小题 5 分,计 60 分) 1.已知 a,b 为实数,“ab=100”是“lga+lgb=2...


2016-2017学年湖北省宜昌市长阳一中高二(上)数学期中试....doc

2016-2017学年湖北省宜昌市长阳一中高二(上)数学期中试卷解析答案(理科)_高二数学_数学_高中教育_教育专区。2016-2017 学年湖北省宜昌市长阳一中高二(上)期中...


...2017学年高二上学期期中考试数学(文)试卷Word版含答....doc

湖北省长阳县第一高级中学2016-2017学年高二上学期期中考试数学()试卷Word版含答案.doc_教学计划_教学研究_教育专区。长阳一中 2016-2017 学年度第一学期期中...


2017年湖北省宜昌市长阳一中高二上学期数学期中试卷与....doc

2017年湖北省宜昌市长阳一中高二上学期数学期中试卷解析(理科) - 2016-2017 学年湖北省宜昌市长阳一中高二(上)期中数学试卷 (理科) 一、选择题:本大题共 12...


2016年湖北省宜昌市长阳一中高二上学期数学期中试卷与....doc

2016年湖北省宜昌市长阳一中高二上学期数学期中试卷解析(文科) - 2015-2016 学年湖北省宜昌市长阳一中高二()期中数学试卷 (文科) 一、选择题(每小题 5 分...


...学年高二上学期期中数学试卷(理科) Word版含解析.doc

湖北省宜昌市长阳一中2018-2019学年高二上学期期中数学试卷(理科) Word版含解析_数学_高中教育_教育专区。2018-2019 学年湖北省宜昌市长阳一中高二(上)期中数学...


2015-2016年湖北省宜昌市长阳一中高二(上)期中数学试卷....doc

2015-2016年湖北省宜昌市长阳一中高二(上)期中数学试卷和答案(理科)_数学_高中教育_教育专区。2015-2016 学年湖北省宜昌市长阳一中高二(上)期中数学试卷 (理科) ...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 酷我资料网 koorio.com
copyright ©right 2014-2019。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com