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2019高中数学 第一章 计数原理章末评估验收 新人教A版选修2-3

第一章 计数原理

章末评估验收(一)

(时间:120 分钟 满分:150 分)

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,

只有一项符合题目要求)

1.十字路口来往的车辆,如果不允许回头,则不同的行车路线有( )

A.24 种

B.16 种

C.12 种

D.10 种

解析:完成该任务可分为四类,从每一个方向的入口进入都可作为一类,如图,从第 1

个入口进入时,有 3 种行车路线;同理,从第 2 个,第 3 个,第 4 个入口进入时,都分别有

3 种行车路线,由分类加法计数原理可得共有 3+3+3+3=12 种不同的行车路线,故选 C.

答案:C

2.5 名学生相约第二天去春游,本着自愿的原则,规定任何人可以“去”或“不去”,

则第二天可能出现的不同情况的种数为( )

A.C25 C.52

B.25 D.A25

解析:“去”或“不去”,5 个人中每个人都有两种选择,所以,出现的可能情况有

2×2×2×2×2=25(种).

答案:B

3.C03+C14+C25+C36+…+C1270的值为(

)

A.C321 B.C320 C.C420 D.C421

解析:原式=(C04+C14)+C25+C36+…+C1270=(C15+C25)+C36+…+C1270=(C26+C36)+…+C1270=C1271

=C2211-17=C421.

答案:D

4.(1+x)7 的展开式中 x2 的系数是( )

A.42

B.35

C.28

D.21

解析:由二项式定理得 T3=C27·15·x2=21x2,所以 x2 的系数为 21.

答案:D

1

5.从 1,3,5,7,9 这五个数中,每次取出两个不同的数分别记为 a,b,共可得到 lg

a-lg b 的不同值的个数是( )

A.9

B.10

C.18

D.20

解析:从 1,3,5,7,9 这五个数中每次取出两个不同数的排列个数为 A25=20,但 lg 1

-lg 3=lg 3-lg 9,lg 3-lg 1=lg 9-lg 3,所以不同值的个数为 20-2=18.

答案:C 6.设 f(x)=(2x+1)5-5(2x+1)4+10(2x+1)3-10(2x+1)2+5(2x+1)-1,则 f(x)

等于( )

A.(2x+2)5

B.2x5

C.(2x-1)5

D.(2x)5

解析:f(x)=C05(2x+1)5(-1)0+C15(2x+1)4(-1)1+C25(2x+1)3(-1)2+C35(2x+1)2(-

1)3+C45(2x+1)1(-1)4+C55(2x+1)0(-1)5=[(2x+1)-1]5=(2x)5.

答案:D

7.4 名男歌手和 2 名女歌手联合举行一场音乐会,出场顺序要求两名女歌手之间恰有

一名男歌手,则共有出场方案的种数是( )

A.6A33

B.3A33

C.2A33

D.A22A14A44

解析:先选一名男歌手排在两名女歌手之间,有 A14种选法,这两名女歌手有 A22种排法,

再把这三人作为一个元素,与另外三名男歌手排列有 A44种排法,根据分步乘法计数原理知,

有 A14A22A44种出场方案.

答案:D

8.若????

x- 2

1 3

x????n的展开式中的第

4

项为常数项,则展开式的各项系数的和为(

)

1 A.12

1 B.24

C.116

D.312

解析:T4=C3n(

x)n-3????-2

1 3

x????3=-18C3nxn-2 3-1,

5

n-3 令 2 -1=0,解得

n=5,再令

x=1,得???1-12???

1 =32.

答案:D

9.袋中共有 15 个除了颜色外完全相同的球,其中有 10 个白球,5 个红球.从袋中任

2

取 2 个球,所取的 2 个球中恰有 1 个白球,1 个红球的概率为( )

A.1

11 B.21

C.1201

D.251

解析:从袋中任取 2 个球共有 C215=105 种,其中恰好 1 个白球 1 个红球共有 C110C15=50(种), 所以恰好 1 个白球 1 个红球的概率为15005=1201.

答案:C 10.(2015·课标全国Ⅰ卷)(x2+x+y)5 的展开式中,x5y2 的系数为( )

A.10

B.20

C.30

D.60

解析:在(x2+x+y)5 的 5 个因式中,2 个取因式中 x2 剩余的 3 个因式中 1 个取 x,其余

因式取 y,故 x5y2 的系数为 C25C13C22=30.

答案:C

11.从 0,1,2,3,4,5 这六个数字中任取两个奇数和两个偶数,组成没有重复数字

的四位数的个数为( )

A.300

B.216

C.180

D.162

解析:由题意知可分为两类:(1)选 0,共有 C23C12C13A33=108(个);(2)不选 0,共有 C23A44=

72(个).由分类加法计数原理得 108+72=180(个).

答案:C

12.在(x- 2)2 006 的二项展开式中,含 x 的奇次幂的项之和为 S,当 x= 2时,S 等于

() A.23 008 C.23 009

B.-23 008 D.-23 009

解析:设(x- 2)2 006=a0x2 006+a1x2 005+…+a2 005x+a2 . 006

则当 x= 2时,有

a0( 2)2 006+a1( 2)2 005+…+a2 ( 005 2)+a2 006=0.①

当 x=- 2时,有

a0( 2)2 006-a1( 2)2 005+…-a2 ( 005 2)+a2 006=23 009.②

①-②有 a1(

2)2 005+…+a2 ( 005

-23 2)= 2

009
=-23

008.故选

B.

答案:B

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中的横线上)

3

13.已知???mx- 1x???6的展开式中 x3 的系数为 15,则 m 的值为________.

解析:因为 Tr+1=Cr6(mx)6-r(-x-12)r=(-1)rm6-r·Cr6x6-r-12r,由 6-r-12r=3,得 r

=2.所以(-1)rm6-r·Cr6=m4C26=15? m=±1.

答案:±1

14.5 个人排成一排,要求甲、乙两人之间至少有一人,则不同的排法有________种.

解析:甲、乙两人之间至少有一人,就是甲、乙两人不相邻,则有 A33A24=72(种).

答案:72

15.平面直角坐标系中有五个点,分别为 O(0,0),A(1,2),B(2,4),C(-1,2),

D(-2,4).则这五个点可以确定不同的三角形个数为________.

解析:五点中三点共线的有 O,A,B 和 O,C,D 两组.故可以确定的三角形有 C35-2=

10-2=8(个).

答案:8

16.将 5 位志愿者分成 3 组,其中两组各 2 人,另一组 1 人,分赴某大型展览会的三个

不同场馆服务,不同的分配方案有________种(用数字作答).

解析:先分组C25AC2223C11,再把三组分配乘以 A33得:C25AC2223C11A33=90(种).

答案:90

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算

步骤)

17.(本小题满分 10 分)某书店有 11 种杂志,2 元 1 本的 8 种,1 元 1 本的 3 种,小张

用 10 元钱买杂志(每种至多买一本,10 元钱刚好用完),求不同的买法有多少种(用数字作

答).

解:分两类:第一类,买 5 本 2 元的有 C58种; 第二类,买 4 本 2 元的和 2 本 1 元的有 C48C23种. 故不同的买法共有 C58+C48C23=266(种).
??Cxn=C2nx, 18.(本小题满分 12 分)已知???Cxn+1=131Cxn-1,试求 x,n 的值.
解:因为 Cxn=Cnn-x=C2nx,

所以 n-x=2x 或 x=2x(舍去),所以 n=3x.

又由 Cxn+1=131Cxn-1,

n!

11

n!

得(x+1)!(n-x-1)!= 3 ·(x-1)!(n-x+1)!,

4

整理得

3(x-1)!(n-x+1)!=11(x+1)!(n-x-1)!,

3(n-x+1)(n-x)=11(x+1)x.

将 n=3x 代入,整理得 6(2x+1)=11(x+1).

所以 x=5,n=3x=15.

19.(本小题满分

12

分)设(1-2x)2

013=a0+a1x+a2x2+…+a2

x2
013

013(x∈R).

(1)求 a0+a1+a2+…+a2 013 的值;

(2)求 a1+a3+a5+…+a2 013 的值;

(3)求|a0|+|a1|+|a2|+…+|a2 013|的值.

解:(1)令 x=1,得

a0+a1+a2+…+a2 013=(-1)2 013=-1.①

(2)令 x=-1,得

a0-a1+a2-a3+…-a2 013=32 013.②

与①式联立,①-②得

2(a1+a3+…+a2 013)=-1-32 , 013

所以

a1+a3+…+a2

1+32 013=- 2

013

(3)Tr-1=Cr2 013(-2x)r=(-1)r.Cr2 013(2x)r, 所以 a2k-1<0,a2k>0(k∈N*). 所以|a0|+|a1|+|a2|+…+|a2 013|=a0-a1+a2-…-a2 013=32 013(令 x=-1).

?3 1 ?n

20.(本小题满分 12 分)设??

2+ 3

? ?

的展开式的第

7

项与倒数第

7

项的比是

1∶6,求

?

3?

展开式中的第 7 项.

解:T7=C6n(3 2)n-6???? 313????6, Tn+1-6=Tn-5=C6n(3 2)6???? 313????n-6. 由????Cn6(3 2)n-6???? 313????6????∶????Cn6( 3 2)6???? 313????n-6????=1∶6, 化简得 6n3-4=6-1,所以n3-4=-1,解得 n=9.

所以 T7=C69(3 2)9-6???? 313????6=C39×2×19=536.

5

21.(本小题满分 12 分)某校高三年级有 6 个班级,现要从中选出 10 人组成高三女子篮 球队参加高中篮球比赛,且规定每班至少要选 1 人参加.这 10 个名额有多少不同的分配方 法?
解:法一 除每班 1 个名额以外,其余 4 个名额也需要分配.这 4 个名额的分配方案可 以分为以下几类:
(1)4 个名额全部给某一个班级,有 C16种分法; (2)4 个名额分给两个班级,每班 2 个,有 C26种分法; (3)4 个名额分给两个班级,其中一个班级 1 个,一个班级 3 个.由于分给一班 1 个, 二班 3 个和一班 3 个、二班 1 个是不同的分法,因此是排列问题,共有 A26种分法; (4)分给三个班级,其中一个班级 2 个,其余两个班级每班 1 个,共有 C16·C25种分法; (5)分给四个班,每班 1 个,共有 C46种分法. 故分配方法共有 N=C16+C26+A26+C16·C25+C46=126(种). 法二 该问题也可以从另外一个角度去考虑:因为是名额分配问题,名额之间无区别, 所以可以把它们视作排成一排的 10 个相同的球,要把这 10 个球分开成 6 段(每段至少有一 个球).这样,每一种分隔办法,对应着一种名额的分配方法.这 10 个球之间(不含两端) 共有 9 个空位,现在要在这 9 个位子中放进 5 块隔板,放法共有 N=C59=126(种). 故共有 126 种分配方法.
1 22.(本小题满分 12 分)设 a>0,若(1+a·x2)n 的展开式中含 x2 项的系数等于含 x 项 的系数的 9 倍,且展开式中第 3 项等于 135x,求 a 的值.
r 解:通项公式为 Tr+1=Crnarx2. 若含 x2 项,则 r=4,此时的系数为 C4n·a4; 若含 x 项,则 r=2,此时的系数为 C2n·a2. 根据题意,有 C4na4=9C2na2, 即 C4na2=9C2n.① 又 T3=135x,即有 C2na2=135.② 由①②两式相除,得CC4n2n=193C52n . 结合组合数公式,整理可得 3n2-23n+30=0,解得 n=6,或 n=53(舍去), 将 n=6 代入②中,得 15a2=135, 所以 a2=9,因为 a>0,所以 a=3.

1.(208·浙江省选考科目试绍兴市适应性)下列说法不正确的是

A.乙醇和醚是同分异构体B.14C和6O含有相同的中子数

C.甲酸和硬脂互为同系物D.“纳米泡沫”是由无数个微小碳管组成的网状结构,C60同素异形体

2.下列说法正确的是()A.12C、34互为同位素,其中子数之比12∶34

B.氧气和臭互为同素异形体,两者之间可以相转化

C.乙二醇和丙三互为同系物

D.C5H10O属于醛的同分异构体有3种3.下列说法正确的是()A.168O表示质量数为、中子的核素

B.CH3—2在光照下与氯气反应,生成的一代物有种

C.H3O2和互为同系物

D.某有机物的名称为3?乙基丁烷

4.(2018·浙江省名校新高考研究联盟三第二次)下列说法中不正确的是A.金刚石和墨互为同素异形体,两者之间的转化是学变

B.



互为同系物

C.5H1l的同分异构体有8种

D.

与CH3O互为同分异构体

5.(2018·嘉兴市高三二模)下列说法不正确的是

A.C?12原子是指质数和中都6的核素B.35Cl与7互为同位素,两者核外电子排布相

C.H3O与互为同系物

D.N3与2互为同素异形体

6.(2018·绍兴市高三选考科目适应性试)下列说法不正确的是A.126C和4互为同位素

B.金刚石和墨互为同素异形体C.H3O2和互为同分异构体

D.CH4和3l互为同系物

7.(2018·浙江省十校联盟选考3月适应性试)下列说法正确的是A.1H2O和2表示氢元素的二种核

B.C60和金刚石互为同素异形体,它们都是分子晶

C.HO和3互为同系物D.丙氨酸CH3(N2)O与互为同分异构体

8.(201·浙江教育绿色评价联盟3月适应性考试)下列说法正确的是

A.氧气和臭互为同素异形体,它们之间的变属于物理化

B.3种氢核素与2氧,可组成6不同的水分子

C.乙醇和二互为同系物

D.组成为C9H12,在苯环上同时存3个—的异构体有种9.(2018·杭州市余区高二上学期末)下列说法正确的是

A.



B.红磷与白互为同素异形体

C.H32O与互为同系物D.35Cl与7为同一种核素

10.(28·嘉兴市第一中学高二下期末)列说法不正确的是A.32He的中子数是

B.白磷、红互为同素异形体C.18O和6互为同位素

D.正丁烷和异互为同分构体

1.(208·杭州市学军中3月高三选考模拟)下列关于有机化合物的说法正确是

A.H2与D互为同素异形体B.符合CnH2+且不同的烃一定属于系物

C.H2l有种同分异构体

速练6 同位素、系物异形体分构的辨析判断 互为同分异构体

6

D.碳元素有多种核,其中13C可用于考古断代 12.(08·杭州市学军中高三选考前适应性练习)下列说法不正确的是 A.金刚石、墨与C60互为同素异形体B.软脂酸(C15H3O)和硬7互为同系物 C.丙烷与氯气反应,可得到沸点不同的3种一代物 D.C(H3)4的名称是2,?二甲基丙烷
7

答案精析 1.A[项,乙醇和甲醚是同分异构体错误;B14C的中子数为8,6O所以含有相正确酸硬脂都符合通式nH2饱一元故互系物。] 2.B3.C45.C[A项,原子中质量数=+?12是指和都6的碳正确;B35l与7互为同位素二者核外电相所以排布H3O属于醇类醚官能团不系物错误D异形体一种元组成单N。] 6.D[A项,同位素:质子数相等中不的一元核互为正确;B异形体种成单金刚石和墨都是碳组结构C分式化合物两者均4H8O2前属于酯后羧酸含有官能团烷烃卤代错误。]7.D[1H和2表示氢元素的二种核,故A错误;金刚石是原子晶体BOC3不相差1个2团同系物丙氨酸(N)与分式、结构所以互为异正确。] 8.D[A项,氧气和臭互为同素异形体它们之间的变属于化学错误;B3种氢核与2可组成1不水分子C乙醇二官能团数目是系物9H在苯环上时存个—构有正确。]9.B10.A[项,32He的中子数是3-=错误;B白磷、红元素形成不同单质互为异体正确C18O和6相而位D丁烷分式结构。] 1.B2.C
8


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