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2018年1月广东省普通高中学业水平考试数学试卷真题与答案解析44030_图文

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2018 年 1 月广东省普通高中学业水平考试
数学试卷( B 卷) 一、选择题:本大题共 15 小题 . 每小题 4 分,满分 60 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的 .

1、已知集合 M 1,0,1,2 , N x | 1 x 2 ,则 M N (



A. 0,1,2

B. 1,0,1

C.M

D .N

2、对任意的正实数 x, y ,下列等式不成立的是(



A . lg y

y
lg x lg x

B . lg( x y) lg x lg y

C . lg x3 3lg x

x3 1, x 0

3、已知函数 f (x)

2x , x 0 ,设 f (0) a ,则 f (a)= (



D . lg x ln x ln10

A. 2

B. 1

C.1 2

D.0

4、设 i 是虚数单位, x 是实数,若复数 x 的虚部是 2,则 x (



1i

A.4

B.2

C. 2

D. 4

5、设实数 a 为常数,则函数 f ( x) x2 x a( x R) 存在零点的充分必要条件是(



A.a 1

B.a 1

1 C.a
4

1 D.a
4

6、已知向量 a (1,1), b (0,2) ,则下列结论正确的是(



A . a / /b

B . (2a b) b

C.a b

D.ab 3

7、某校高一( 1)班有男、女学生共 50 人,其中男生 20 人,用分层抽样的方法,从该班学生中随

机选取 15 人参加某项活动,则应选取的男、女生人数分别是(



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A .6 和 9

B .9 和 6

C . 7 和 8 D .8 和 7

8、如图所示, 一个空间几何体的正视图和侧视图都是矩形,





俯视图是正方形, 则该几何体的体积为

A.1

B.2

C.4

D.8

9、若实数 x, y 满足

xy 1 0 x y 0 ,则 z x0

x 2 y 的最小值为





A.0

B. 1

3 C.
2

D. 2

10、如图, o 是平行四边形 ABCD 的两条对角线的交点,则下列等式正确的是(



A .DA DC AC

B.DA DC DO

C .OA OB AD DB

D.AO OB BC AC

11、设 ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a,b,c ,若 a 3,b 2, c 13 ,则 C (



5
A.
6

B.
6

2
C.
3

D. 3

12、函数 f (x) 4sin x cos x ,则 f ( x) 的最大值和最小正周期分别为(



A .2 和

B .4 和

C.2 和 2

13、设点 P 是椭圆

x2 y2
1(a 2) 上的一点,
a2 4

PF1 PF2 (



D .4 和 2 F1, F2 是椭圆的两个焦点,若 F1F2 4 3,则

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A.4

B.8

C.4 2

D.4 7

14、设函数 f ( x) 是定义在 R 上的减函数,且 f ( x) 为奇函数,若 x1 0 , x2 0 ,则下列结论不正

确的是(



A . f (0) 0

B . f ( x1 ) 0

C . f ( x2

1
) f (2) x2

D . f ( x1

1
) f (2) x1

15、已知数列 an 的前 n 项和 Sn 2n 1 2 ,则 a12 a22

an2 (



A . 4(2n 1)2

B . 4(2n 1 1)2

C . 4(4 n 1)
3

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,满分 16 分 .

D . 4(4 n 1 2)
3

x2 y 2

16、双曲线

1 的离心率为

.

9 16

2

17、若 sin(

)

,且 0

,则 tan

.

2

3

18、笔筒中放有 2 支黑色和 1 支红色共 3 支签字笔, 先从笔筒中随机取出一支笔, 使用后放回笔筒,

第二次再从笔筒中随机取出一支笔使用,则两次使用的都是黑色笔的概率为

.

19、圆心为两直线 x y 2 0 和 x 3y 10 0 的交点,且与直线 x y 4 0 相切的圆的标准

方程是

.

三、解答题:本大题共 2 小题 . 每小题 12 分,满分 24 分 . 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤 .

20、若等差数列 an 满足 a1 a3 8 ,且 a6 a12 36 .

( 1)求 an 的通项公式;

( 2)设数列 n 满足 b1 2 , bn 1 an 1 2an ,求数列 n 的前 项和 Sn .

b

b

n

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21、如图所示,在三棱锥 P ABC 中, PA 平面 ABC , PB 直平分 PC ,且 DE 分别交 AC,PC 于点 D, E .

BC,F 为 BC 的中点, DE 垂

( 1)证明: EF / / 平面 ABP ;

( 2)证明: BD AC .

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2018 年 1 月广东省普通高中学业水平考试
数学试卷( B 卷)答案解析

一、选择题:本大题共 15 小题 . 每小题 4 分,满分 60 分 . 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的 .

1、B 解析: M N

101,, ,故选 B.

2、B 解析:对于 B 项,令 x y 1,则 lg( x y) lg 2 lg1 0,而 lg x lg y 0 ,显然不成
立,故选 B.

3、C 解析: a f (0) 03 1 1 f ( a) f ( 1 ) 1 2 1 ,故选 C.
2

4、D 解析: x

x(1 i)

x xi

1 i (1 i)(1 i ) 2 2

x 2 x 4 ,故选 D. 2

5、C 解析:由已知可得,

1 4a 0 a

1
,故选 C.
4

6、B 解析:对于 A 项, 12-01

0 ,错误;

对于 B 项, 2a b (2,0) , b (0,2) ,则 2 0+0 2 0 (2 a b) b ,正确;

对于 C 项, a

2, b 2 ,错误;

对于 D 项, a b 1 0 1 2 2,错误 . 故选 B.

7、A 解析:抽样比为 k 15 3 ,则应抽取的男生人数为 20

为 (50

3
20)

50 10 9(人 ) ,故选 A.

10

3
=6( 人 ) ,应抽取的女生人数 10

8、C 解析:由三视图可知, 该几何体为长方体, 长为 2,宽为 2 ,高为 1,则体积为 V 2214,

故选 C.

9、D 解析:(快速验证法)交点为
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(0,1),(0,0),(

11
, ) ,则 z 22

x 2 y 分别为 2,0, 3 ,所以 z 2

的最小值为 2 ,故选 D.

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10、 D 解析:对于 A 项, DA DC CA ,错误;

对于 B 项, DA DC 2DO ,错误;

对于 C 项, OA OB AD BA AD BD ,错误;

对于 D 项, AO OB BC AB BC AC,正确 . 故选 D.

11、 A 解析:由余弦定理, 得 cosC a2 b2 c2

2ab

5

C=

,故选 A.

6

( 3)2 22 ( 13)2 2 32

3
,又 0C 2

12、 A 解析:

f (x) 2sin 2x

2 f ( x) max 2 ,最小正周期为 T
2

,故选 A.

13、 B 解析: F1F2 4 3 2c c 2 3 a2 c2 b2 (2 3) 2 4 16 a 4

PF1 PF2 2a 2 4 8 ,故选 B.

14、 D 解析:对于 A 项, f (x) 为 R 上的奇函数

f (0) 0,正确;

R
对于 B 项, f ( x) 为 上的减函数

x1 0

f (x1) f (0) 0 ,正确;

1 对于 C 项, x2 0 x2 x2

1 (2 当且仅当

x 2 x 2 x2

2

1

1 时等号成

x2 ,即 x2 立 )

f ( x2 1 ) f (2) ,正确;
x2

对于 D 项, x1 0 x1

1 ( x1
x1

1

1

) 2 x1

2

x1

x1

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f ( x1 1 ) f ( 2)
x1

f (2) ,错误 . 故选 D.

、 解析:当 n 2 时, a S S 2n 1 2 (2 n 2) 2 2n 2n 2n ;当 n 1 时,

15 C

n

n

n1

a1 S1 22 2 2 适合上式 . an 2n (n N ) an 2 (2 n )2 4n an 2 是首项为 4 ,公比为

4 的等比数列

2

2

a1 a2

2 4(1 4n ) 4(4 n 1)

an

14

3 ,故选 C.

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,满分 16 分 .

16、 5 解析:由已知,得 a2 9 3

c5

双曲线的离心率为 e

.

a3

a 3, b2 16

17、 5 解析: s i n (

2

2

2
) c o s ,且 0 3

b 4 c2 a2 b2 9 1 6 2 5 c 5

sin

1 cos2

1 ( 2 )2

5

3

3

tan sin cos

5 3 5.
32 2

4

22 4

18、 解析: P

.

9

33 9

19、 (x 4)2 ( y 2)2 2 解析:联立 x y 2 0 得 x 4

圆心为(4, 2)

x 3 y 10 0 y 2

424

则圆心 (4, 2) 到直线 x y 4 0 的距离为 d

2 ,故圆的半径为 2

12 12

圆的标准方程为 (x 4)2 ( y 2)2 2 .

三、解答题:本大题共 2 小题 . 每小题 12 分,满分 24 分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤 .

20、解:( 1)设等差数列 an 的公差为 d .
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a1 a3 8
a
a6 12 36

a1 a1 2d 8 a1 5d a1 11d 36

a1 2 d2

an 2 (n 1) 2 2n 数列 an 的通项公式为 an 2n .

( 2)由( 1)知,

2

a

an n bn 1 n 1 2an 2(n 1) 2 2n

2n 2

bn 2(n 1) 2 2n 4 又 b1 2 适合上式 bn 2 n 4 (n N )

b
bn 1 n 2n 2 ( 2n 4) 2 数列 bn 是首项为 2 ,公差为 2 的等差数列 .
Sn 2n n( n 1) ( 2) 2n n2 n n2 3n 2

21、解:( 1)证明: DE 垂直平分 PC

E 为 PC 的中点

又 F 为 BC 的中点

EF 为 B C P 的中位线

EF //BP

又 EF 平面 ABP, BP 平面 ABP EF / /平面 ABP

( 2)证明:连接 BE

PB BC,E 为 PC 的中点

PC BE

DE 垂直平分 PC

PC DE

又 BE DE E,BE,DE 平面 BDE PC 平面 BDE

又 BD 平面 BDE

PC BD

PA 平面 ABC,BD 平面 ABC P A B D 又 PC PA P,PC,PA 平面 PAC BD 平面 P AC

又 AC 平面 PAC BD AC

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感恩和爱是亲姐妹。有感恩的地方就有爱,有爱的地方就有感恩。一方在哪里,另一方 迟早 会出 现 。你 做一 切 都是 为自 己做 , 为存 在而 感 恩。
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“人要经历一个不幸的抑郁症的或自我崩溃阶段。在本质上,这是一个昏暗的收缩点。每一个文化创 造者都要经历这个转折点,他要通过这一个关卡,才能到达安全的境地,从而相信自己,确信一
个更内在、更高贵的生活。” ——黑格尔
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