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四川省成都七中2014届高三“一诊”模拟考试数学(理)试题 Word版含答案


成都七中高 2014 届一诊模拟数学试卷(理科)
一.选择题(每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求. ) 1.已知集合 A ? ??1, 0, a? , B ? ? x | 0 ? x ? 1? ,若 A ? B ? ? ,则实数 a 的取值范围是( A、 ?1? 2.复数 i ? ( B、 (??, 0) ) C、 (1, ??) D、 (0,1) )

1? i ) 的虚部为( 1? i

B 、-1 C、 0 D、 1 a a2 3 cos x 3.定义行列式运算: 1 的图象向 ? a1a4 ? a2 a3 , 将函数 f ( x) ? a3 a4 1 sinx A、 -2 左平移 m 个单位 (m ? 0) ,若所得图象对应的函数为偶函数,则 m 的最小值是 ( ) 2? ? ? 5 A、 B、 C、 D、 ? 3 3 8 6 4.阅读下边的程序框图,若输出 S 的值为-14,则判断框内可填写( ) A、i<6 ? B、i<8 ? C、i<5 ? D、i<7 ? 5.二项式 ( ? x x ) n 展开式中含有 x 2 项,则 n 可能的取值是( A 、5 B 、6
x

1 x

)

C 、7
x

D 、8

6.已知命题 p : ?x ? ( ??, 0), 3 ? 4 ;命题 q : ?x ? (0, A、 p ? q B、 p ? (?q ) C、 p ? (?q )

?
2

), tan x ? x 则下列命题中真命题是(
D、 (?p) ? q

)

7.已知正项等比数列 {a n } 满足 a7 ? a6 ? 2a5 。若存在两项 am , an 使得 am an ? 4a1 ,则 为( ) A、

1 9 ? 的最小值 m n

8 3

B、

11 4

C、

14 5

D、

17 6

8.平面四边形 ABCD 中,AD=AB= 2 ,CD=CB= 5 ,且 AD ? AB ,现将 ?ABD 沿着对角线 BD 翻折成

?A/ BD ,则在 ?A/ BD 折起至转到平面 BCD 内的过程中,直线 A/ C 与平面 BCD 所成的最大角的正切
值为( ) B、 A 、1

1 2

C、

3 3

D、 3
x

9.已知 f (x) 、 g (x) 都是定义在 R 上的函数, g ( x) ? 0 , f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x) , f ( x) ? a g ( x) ,

5 f (1) f (?1) 5 ? ? ,则关于 x 的方程 abx 2 ? 2 x ? ? 0(b ? (0,1)) 有两个不同实根的概率为( 2 g (1) g (?1) 2 1 2 3 4 A、 B、 C、 D、 5 5 5 5 10.已知 f ( x ) 是定义在 [?1,1] 上的奇函数,当 x1 ? x2 时, f ( x1 ) ? f ( x2 ) 。当

)

x ? [0,1]

x 2 f ( ) ? f ( x ), f ( x ) ? 1 ? f (1 ? x ) , 5 150 151 170 171 f (? ) ? f (? ) ? ? ? f (? ) + f (? )?( ) 2014 2014 2014 2014 11 27 A、 ? B、 ?5 C、 ?6 D、 ? 5 2
时 ,



二、填空题(每小题 5 分,共 25 分,把答案填在题中的横线上。 ) 3 11. 已知一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为___________ cm ;
1

? 1 2? ? ? ) ? ,则 cos( ? 2? ) ? ___________; 6 3 3 2 13.已知正四面体 ABCD 的棱长为 1,M 为 AC 的中点,P 在线段 DM 上,则 ( AP ? BP) 的最小值为
12.若 sin( _____________;

? m (1 ? x 2 ), x ? [0,1] f ( x) ? ? 14.已知偶函数 f ( x ) 满足对任意 x ? R ,均有 f (1 ? x ) ? f (3 ? x ) 且 ,若 ? x ? 1, x ? (1, 2] 方程 3 f ( x ) ? x 恰有 5 个实数解,则实数 m 的取值范围是_______; 15.已知平行六面体 ABCD ? A1 B1C1 D1 , AC 1 与平面 A1 BD , CB1 D1 交于 E , F 两点。给出以下命题,
其中真命题有________(写出所有正确命题的序号)

? ? 2 ???? 1 ??? 1 ???? DC ? AD ? AA1 ;③ 3 3 3 设 A1 D1 中点为 M , 则直线 MN 与面 A1 DB 有一个交点; E ④ CD 的中点为 N ,
①点 E , F 为线段 AC 1 的两个三等分点;② ED1 ? ?

???? ?

D1 A1 F D A E C B B1

C1

VK ? BED 为 ?A1 BD 的内心;⑤设 K 为 ?B1CD1 的外心,则 为定值. V A1 ? BFD

三.解答题(16-19 每小题 12 分,20 题 13 分,21 题 14 分,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算 步骤.) ??? ? ??? ? ??? ??? ? ? 16.已知 O 为坐标原点, OA ? (2sin 2 x,1), OB ? (1, ?2 3 sin x cos x ? 1) , f ( x) ? OA ? OB ? m . (1)若 f (x) 的定义域为 [ ?

?
2

, ? ] ,求 y ? f (x) 的单调递增区间;

(2)若 f (x) 的定义域为 [ , ? ] ,值域为 [2,5] ,求 m 的值. 2

?

17.成都七中为绿化环境,移栽了银杏树 2 棵,梧桐树 3 棵。它们移栽后的成活率分别为 否存活互不影响,求移栽的 5 棵树中: (1)银杏树都成活且梧桐树成活 2 棵的概率; (2)成活的棵树 ? 的分布列与期望.

2 1 , 且每棵树是 3 2

2

18.如图四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是平行四边形, PG ? 平面 ABCD ,垂足为 G , G 在 AD 上且 8 1 AG ? GD , BG ? GC , GB ? GC ? 2 , E 是 BC 的中点,四面体 P ? BCG 的体积为 . 3 3 (1)求二面角 P ? BC ? D 的正切值; P (2)求直线 DP 到平面 PBG 所成角的正弦值; (3)在棱 PC 上是否存在一点 F ,使异面直线 DF 与 GC 所成的角为 600 ,若存在,确定点 F 的位置,若不存在,说明理由.
A G D

B

E

C

1 3 x ? x 2 ? ax . 3 (1)若 f ( x ) 在区间 [1, ??) 单调递增,求 a 的最小值; x 1 1 (2)若 g ( x ) ? x ,对 ?x1 ? [ , 2], ?x2 ? [ , 2] ,使 f ?( x1 ) ? g( x2 ) 成立,求 a 的范围. e 2 2
19.已知函数 f ( x ) ?

3

20. 已 知 数 列 {an },( n ? N ) 满 足 a1 ? 1 , 且 对 任 意 非 负 整 数 m, n(m ? n) 均 有 :

am ? n ? am ? n ? m ? n ? 1 ?
(1)求 a0 , a2 ;

1 ( a ? a2 n ) . 2 2m
*
*

(2)求证:数列 {am ?1 ? am }( m ? N ) 是等差数列,并求 an ( n ? N ) 的通项; (3)令 cn ? an ? 3n ? 1( n ? N ) ,求证:
*

?c
k ?1

n

1
k

?

3 4

a ln x 为 f ( x ) 的 k 阶函数. xk (1)求一阶函数 f1 ( x ) 的单调区间;
21. 定义函数 f k ( x ) ? (2)讨论方程 f 2 ( x ) ? 1 的解的个数; (3)求证: 3ln n ! ? 1 ? 2 e ? 3 e ? ? ? n e
3 3 2 3 n ?1

(n ? N * ) .

4

成都七中高 2014 届一诊模拟 数学试卷(理科) (参考答案)
1-10:DCABD 11. DBCBA

7 ? 3

12. ?

7 9

13. 1 ?

6 3

14. ( ?

8 4 4 8 ,? )?( , ) 3 3 3 3

15.①⑤

16.解: (Ⅰ) f ( x) ? 2 sin 2 x ? 2 3 sin x cos x ? 1 ? m = 1 ? cos 2 x ? 3 sin x ? 1 ? m = ? 2 sin(2 x ? 由

?
6

) ? 2 ? m ………………3 分

?
2

? 2k? ? 2 x ?

?
6

?

3? ? 2k? (k ? Z ) 2

得 y ? f (x) 在 R 上的单调递增区间为 [k? ? 又 f (x) 的定义域为 [ ?

?
6

, k? ?

2? ] (k ? Z ) 3

?
2

,? ] ,

? ? 2? , ? ],[ , ] (中间若用“ ? ”扣 2 分)……………7 分 2 3 6 3 ? 7? ? 13? ? 1 (Ⅱ)当 ? x ? ? 时, ∴ ? 1 ? sin(2 x ? ) ? ? 2x ? ? 2 6 6 6 6 2 ?1 ? m ? 2 ? m ? 1 ………………………………12 分 ∴ 1 ? m ? f ( x) ? 4 ? m ,∴ ? ?4 ? m ? 5 17.解: (1)设 A 表示“银杏树都成活且梧桐树成活 2 棵” 1 4 4 设 Ai ( i ? 0,1, 2) 表示“银杏树成活 i 棵”; P ( A0 ) ? ; P ( A1 ) ? ; P ( A2 ) ? 9 9 9 1 3 3 Bk ( k ? 0,1, 2, 3) 表 示 “ 梧 桐 树 成 活 k 棵 ” ; P ( B0 ) ? ; P ( B1 ) ? ; P ( B2 ) ? ; 8 8 8 1 P ( B3 ) ? ………………………………………………………………3 分 8 3 1 P ( A) ? P ( A2 ) ? P ( B2 ) ? = ……………………………………………5 分 18 6 1 (2) ? 可能的取值: 0,1, 2, 3,4,5 P (? ? 0) ? P ( A0 ) P ( B0 ) ? 72 7 19 25 同理: P (? ? 1) ? ; P (? ? 2) ? ; P (? ? 3) ? ; 72 72 72 2 1 …………………………………7 分 P (? ? 4) ? P (? ? 5) ? 9 18
∴ y ? f (x) 的增区间为: [? ∴ ? 的分布列为: 0 1 ? 2 3 4 5

?

P

1 72

7 72

19 72

25 72

2 9

1 18

…………………………………………10 分 ∴ E? ?

17 …………………………………………………………………………12 分 6
5

8 3 设二面角 P ? BC ? D 的大小为 ? ? GB ? GC ? 2 E 为中点, ∴ GE ? BC 同理 P E ? B C ?P E G ? ∴ ? ∴ tan ? ? 2 2 ……………………………………………………3 分 (2)由 GB ? GC ? 2 ∴ ?BGC 为等腰三角形,GE 为 ?BGC 的角平分线,作 DK ? BG 交 BG 的延长线于 K, ∴ DK ? 面BPG
18.解: (1)由四面体 P ? BCG 的体积为 .∴ PG ? 4 由平面几何知识可知: DK ? GK ? ∴ sin ? ?

3 PD ? 2

41 2

设直线 DP 与平面 PBG 所成角为 ?

DK 3 82 …………………………………………………………8 分 ? DP 82

(法二:建系) (3)? GB, GC , GP 两两垂直,分别以 GB, GC , GP 为 x, y, z 轴建立坐标系 假设 F 存在且设 F (0, y,4 ? 2 y )(0 ? y ? 2) ? D( ? ∴ DF ? ( , y ?

??? ? 3 3 , 4 ? 2 y ), GC ? (0, 2, 0), 又直线 DF 与 GC 所成的角为 600 2 ???? ??? 2 ? 23 | DF ? GC | | 2y ? 3| 1 2 ? ? ∴ cos 600 ? ???? ??? ? ???? ??? ? 化简得: y ? 7 y ? ?0 2 | DF || GC | | DF || GC | 2

????

3 3 , , 0), G(0, 0, 0), C (0, 2, 0) 2 2

y?

7? 3 不满足 0 ? y ? 2 2
2

∴这样的点不存在………………………………………………………………12 分 19.解: (1)由 f ?( x ) ? x ? 2 x ? a ? 0 在 [1, ??) 恒成立 得: a ? ?( x ? 1) ? 1
2

1 而 y ? ?( x ? 1 ) ? 在 [ 1 ?? 单调递减,从而 ym a x? ?3 , , )
2

∴ a ? ?3 ∴ amin ? ?3

………………………………………………6 分

1 2 1 f ?( x ) ? ( x ? 1)2 ? a ? 1 在 [ , 2] 单调递增 2 ?( x )max ? f / (2) ? 8 ? a …………………………8 分 ∴f
又 g?( x ) ?

(2)对 ?x1 ? [ , 2], ?x2 ? [ , 2] ,使 f ?( x1 ) ? g( x2 ) ∴ [ f ?( x )]max ? [ g( x )]max

1 2

e x ? xe x 1 ? x ? x ∴ g( x ) 在 (??,1) 单调递增,在 (1, ??) 单调递减 e2 x e 1 1 1 ∴在 [ , 2] 上, g( x )max ? g(1) ? ∴ 8 ? a ? e 2 e 1 则 a ? ? 8 …………………………………………………………12 分 e 20.解: (1)令 m ? n 得 a0 ? 1 ,…………………………1 分
令 n ? 0 ,得 a2 m ? 4am ? 2m ? 3 ,∴ a2 ? 3 ……………………3 分

1 (a ? a2 ) ? 2am ? m 2 2m ∴ am ?1 ? am ? am ? am ?1 ? 2 ,又 a2 ? a1 ? 2 ,
(2)令 n ? 1 ,得: am ?1 ? am ?1 ? m ? 2 ? ∴数列 {am ?1 ? am } 是以 2 为首项,2 为公差的等差数列.
6

∴ am ?1 ? am ? 2m( m ? N )
*

∴ am ? a1 ?

m ?1 k ?1

? (a

k ?1

? ak ) ? m( m ? 1) ? 1( m ? N * )
*

∴ an ? n( n ? 1) ? 1( n ? N ) ………………………………9 分

1 1 ? cn n( n ? 2) n 1 1 1 1 1 1 1 3 1 1 3 ∴? ? (1 ? ? ? ? ? ? ? )? ? ? ? …………13 分 2 3 2 4 n n? 2 4 2 n ? 1 2( n ? 2) 4 ( ) k ? 1 ck
(3)? cn ? an ? 3n ? 1 ? n2 ? 2n( n ? N * ) ∴

a ln x a ? a ln x a(1 ? ln x) ( x ? 0) , f1?( x) ? ? ( x ? 0) x x2 x2 令 f1?( x) ? 0 ,当 a ? 0 时, x ? e. ?当 a ? 0 时, f1 ( x) 无单调区间; 当 a ? 0 时, f1 ( x) 的单增区间为 (0, e), 单减区间为 (e, ??) . 当 a ? 0 时, f1 ( x) 的单增区间为 (e, ??) ,单减区间为 (0, e) . ?????? 4 分. a ln x ln x 1 (2)由 2 ? 1, 当 a ? 0 时,方程无解.当 a ? 0 时, 2 ? . x x a ln x x ? 2 x ln x 1 ? 2ln x 令 g ( x) ? 2 ( x ? 0). 则 g ?( x) ? ? . 由 g ?( x) ? 0 得 x ? e , x x4 x3 1 从而 g ( x) 在 (0, e ) 单调递增,在 ( e , ??) 单调递减. g ( x)max ? g ( e ) ? . 2e 当 x ? 0 时, g ( x) ? ?? ,当 x ? ?? g ( x) ? 0. 1 1 ?当 0 ? ? ,即 a ? 2e 时,方程有两个不同解. a 2e 1 1 当 ? ,即 0 ? a ? 2e 时,方程有 0 个解 a 2e 1 1 1 当 ? , ? 0 或即 a ? 2e 或 a ? 0 时,方程有唯一解. a 2e a 综上,当 a ? 2e 时,方程有两个不同解.当 0 ? a ? 2e 时,方程有 0 个解.当 a ? 2e 或 a ? 0 时,方程有唯一 解. ??? 9 分. ln x x 2 ? 3x 2 ln x 1 ? 3ln x (3)特别地:当 a ? 1 时由 f3 ( x) ? 3 ( x ? 0) 得 f3?( x) ? . ? x6 x4 x
21.解:(1) f1 ( x) ? 由 f3?( x) ? 0 得 x ? e 3 , 则 f 3 ( x) 在 (0, e 3 ) 单调递增,在 (e 3 , ??) 单调递减. f3 ( x)max ? f3 (e 3 ) ?
1 1
1
1

1 . 3e

ln x 1 x3 ? , 即 3ln x ? .又 x ? 0 时, e x ? 1. ?3ln x ? x3e x ?1 ?????? 12 分. e x3 3e 令 x ? 1,2,3,?, n , 则 3ln n! ? 3ln1 ? 3ln 2 ? 3ln3 ? ? ? 3ln n ? 1 ? 23 e ? 32 e2 ? ? ? n3en?1 ?????? 14 分.

? f 3 ( x) ?

7


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