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【步步高】2014届高三数学大一轮复习讲义 中档题目强化练——概率与统计


数学

川(理)

中档题目强化练——概率与统计
第十二章 概率与统计

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

1.从 5 张 100 元,3 张 200 元,2 张 300 元的奥运会门票中任选 3 张,则选取的 3 张中至少有 2 张价格相同的概率为 1 79 3 23 A. B. C. D. 4 120 4 24 ( )

解 析

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

1.从 5 张 100 元,3 张 200 元,2 张 300 元的奥运会门票中任选 3 张,则选取的 3 张中至少有 2 张价格相同的概率为 1 79 3 23 A. B. C. D. 4 120 4 24 ( C )

解 析
3 基本事件的总数是 C10,在三种门票中各自选取一张的方

法是 C1C1C1, 5 3 2 故随机事件“选取的 3 张中价格互不相同” 1 C1C3C1 5×3×2 1 5 2 的概率是 = = ,故其对立事件“选取的 3 3 C10 120 4 1 3 张中至少有 2 张价格相同”的概率是 1- = . 4 4

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

2.已知 ξ 的分布列如下表,若 η=2ξ+2,则 E(η)的值为 ( ξ P A.- 1 3 B. 1 3 -1 1 2 0 1 3 2 C. 3 1 1 6 4 D. 3

)

解 析

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1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

2.已知 ξ 的分布列如下表,若 η=2ξ+2,则 E(η)的值为 ( D ) ξ P A.- 1 3 B. 1 3 -1 1 2 0 1 3 2 C. 3 1 1 6 4 D. 3

解 析
1 1 1 1 E(ξ)=-1× +0× +1× =- , 2 3 6 3 4 E(η)=2E(ξ)+2=3.

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4

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5 6 7 8 9

3.甲、乙两人进行乒乓球比赛,比赛规则为“3 局 2 胜”,即以先 赢 2 局者为胜.根据经验,每局比赛中甲获胜的概率为 0.6,则 本次比赛甲获胜的概率是 A.0.216 B.0.36 C.0.432 ( D.0.648 )

解 析

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

3.甲、乙两人进行乒乓球比赛,比赛规则为“3 局 2 胜”,即以先 赢 2 局者为胜.根据经验,每局比赛中甲获胜的概率为 0.6,则 本次比赛甲获胜的概率是 A.0.216 B.0.36 C.0.432 ( D ) D.0.648

解 析
由题意知,甲获胜有两种情况, 一是甲以 2∶0 获胜,此时 P1=0.62=0.36; 二是甲以 2∶1 获胜, 此时 P2=C1×0.6×0.4×0.6=0.288, 2 故甲获胜的概率 P=P1+P2=0.648.

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1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

4.一位国王的铸币大臣在每箱 100 枚的硬币中各掺入了一枚劣 币,国王怀疑大臣作弊,他用两种方法来检测.方法一:在 10 箱中各任意抽查一枚;方法二:在 5 箱中各任意抽查两枚.国王 用方法一、二能发现至少一枚劣币的概率分别记为 p1 和 p2,则 ( A.p1=p2 C.p1>p2 B.p1<p2 D.以上三种情况都有可能 )

解 析

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1 2 3

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4

专项基础训练
5 6 7 8 9

4.一位国王的铸币大臣在每箱 100 枚的硬币中各掺入了一枚劣 币,国王怀疑大臣作弊,他用两种方法来检测.方法一:在 10 箱中各任意抽查一枚;方法二:在 5 箱中各任意抽查两枚.国王 用方法一、二能发现至少一枚劣币的概率分别记为 p1 和 p2,则 ( B ) A.p1=p2 C.p1>p2 B.p1<p2 D.以上三种情况都有可能

1 每箱任意抽查一枚,抽到假币的概率为 , 100 ? 1 ?10 则 p1=1-?1-100? ; ? ? C1 1 99 每箱任意抽查两枚,抽到假币的概率为C2 =50,

解 析



? 1 ?5 p2=1-?1-50? ,比较可得 p1<p2. ? ?

100

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专项基础训练
5 6 7 8 9

5.在体积为 V 的三棱锥 S-ABC 的棱 AB 上任取一点 P,则三棱锥 V S-APC 的体积大于 的概率是________. 3

解 析

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1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

5.在体积为 V 的三棱锥 S-ABC 的棱 AB 上任取一点 P,则三棱锥
2 V 3 S-APC 的体积大于 的概率是________. 3

解 析
VS-APC 1 由题意可知 > ,如图所示, VS-ABC 3
三棱锥 S-ABC 与三棱锥 S-APC 的高相同,
VS-APC S△APC PM 因此 = = VS-ABC S△ABC BN AP 1 2 =AB>3(PM,BN 为其高线),故所求概率为3.

练出高分
1 2

A组

专项基础训练

7 9 3 4 6 8 5 6. 将一骰子连续抛掷三次, 它落地时向上的点数依次成等差数列的

概率为________.

解 析

练出高分
1 2

A组

专项基础训练

7 9 3 4 6 8 5 6. 将一骰子连续抛掷三次, 它落地时向上的点数依次成等差数列的 1 12 概率为________.

解 析
基本事件有 6×6×6=216 个,点数依次成等差数列的有:

(1)当公差 d=0 时,有 1,1,1 及 2,2,2,?,共 6 个. (2)当公差 d=± 时,有 1,2,3 及 2,3,4;3,4,5;4,5,6,共 4×2 个. 1 (3)当公差 d=± 时,有 1,3,5;2,4,6,共 2×2 个. 2
6+4×2+2×2 1 ∴P= =12. 6×6×6

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1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

7.某商场举行抽奖促销活动,抽奖规则是:从装有 9 个白球、1 个 红球的箱子中每次随机地摸出一个球,记下颜色后放回,摸出一 个红球可获得奖金 10 元;摸出两个红球可获得奖金 50 元.现有 甲、乙两位顾客,规定:甲摸一次,乙摸两次.令 ξ 表示甲、乙 两人摸球后获得的奖金总额,则 ξ 的数学期望为____________.

解 析

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1 2 3

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4

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5 6 7 8 9

7.某商场举行抽奖促销活动,抽奖规则是:从装有 9 个白球、1 个 红球的箱子中每次随机地摸出一个球,记下颜色后放回,摸出一 个红球可获得奖金 10 元;摸出两个红球可获得奖金 50 元.现有 甲、乙两位顾客,规定:甲摸一次,乙摸两次.令 ξ 表示甲、乙 两人摸球后获得的奖金总额,则 ξ 的数学期望为____________.

解 析

ξ 的所有可能的取值为 0,10,20,50,60.

?9? 729 ? ?3 = P(ξ=0)= 10 ; 1 000 ? ?

1 ? 9 ?2 9 18 243 ? ? + × 2= P(ξ=10)= × 10 ; 10 ? ? 10 10 1 000 1 18 18 P(ξ=20)= × 2= ; 10 10 1 000 9 1 9 P(ξ=50)= × 2= ; 10 10 1 000

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1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

7.某商场举行抽奖促销活动,抽奖规则是:从装有 9 个白球、1 个 红球的箱子中每次随机地摸出一个球,记下颜色后放回,摸出一 个红球可获得奖金 10 元;摸出两个红球可获得奖金 50 元.现有 甲、乙两位顾客,规定:甲摸一次,乙摸两次.令 ξ 表示甲、乙

3.3元 两人摸球后获得的奖金总额,则 ξ 的数学期望为____________. 1 1 解 析 P(ξ=60)= 3= . 10 1 000 故 ξ 的分布列为
0 10 20 50 60 729 243 18 9 1 P 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 729 243 18 9 E(ξ) = 0× 1 000 + 10× 1 000 + 20× 1 000 + 50× 1 000 + 1 60× =3.3(元). 1 000 ξ

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1 2 3

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专项基础训练
5 6 7
? ? <0?. ? ?

8

9

8.(10 分)已知集合

? ?x+2 ? ? 2 A={x|x +3x-4<0},B=?x? ? ?x-4 ?

(1)在区间(-4,5)上任取一个实数 x,求“x∈A∩B”的概率; (2)设(a,b)为有序实数对,其中 a,b 分别是集合 A,B 中任取 的一个整数,求“a-b∈A∪B”的概率.

解 析

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1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7
? ? <0?. ? ?

8

9

8.(10 分)已知集合

? ?x+2 ? ? 2 A={x|x +3x-4<0},B=?x? ? ?x-4 ?

(1)在区间(-4,5)上任取一个实数 x,求“x∈A∩B”的概率; (2)设(a,b)为有序实数对,其中 a,b 分别是集合 A,B 中任取 的一个整数,求“a-b∈A∪B”的概率.

解 析
解 (1)由已知得 A={x|x2+3x-4<0}={x|-4<x<1},
? ? <0?={x|-2<x<4},显然 ? ? ? ?x+2 ? ? B=?x? ? ?x-4 ?

A∩B={x|-2<x<1}.

设事件“x∈A∩B”的概率为 P1,由几何概型的概率公式得 3 1 P1=9=3.

(2)依题意,(a,b)的所有可能的结果一共有以下 20 种:

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1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7
? ? <0?. ? ?

8

9

8.(10 分)已知集合

? ?x+2 ? ? 2 A={x|x +3x-4<0},B=?x? ? ?x-4 ?

(1)在区间(-4,5)上任取一个实数 x,求“x∈A∩B”的概率; (2)设(a,b)为有序实数对,其中 a,b 分别是集合 A,B 中任取 的一个整数,求“a-b∈A∪B”的概率.
(-3,-1),(-3,0),(-3,1),(-3,2),(-3,3), (-2,-1),(-2,0),(-2,1),(-2,2),(-2,3),(-1,-1), (-1,0),(-1,1),(-1,2),(-1,3),(0,-1),(0,0),(0,1), (0,2),(0,3),又 A∪B={x|-4<x<4}, 因此“a-b∈A∪B”的所有可能的结果一共有以下 14 种:
(-3,-1),(-3,0),(-2,-1),(-2,0),(-2,1),(-1,-1), (-1,0),(-1,1),(-1,2),(0,-1),(0,0),(0,1),(0,2),(0,3). 14 7 所以“a-b∈A∪B”的概率 P2=20=10.

解 析

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1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

9.(12 分)某超市为了响应环保要求,鼓励顾客自带购物袋到超市 购物,采取了如下措施:对不使用超市塑料购物袋的顾客,超 市给予 9.6 折优惠;对需要超市塑料购物袋的顾客,既要付购 买费,也不享受折扣优惠.假设该超市在某个时段内购物的人 数为 36 人,其中有 12 位顾客自己带了购物袋,现从这 36 人 中随机抽取两人. (1)求这两人都享受折扣优惠或都不享受折扣优惠的概率; (2)设这两人中享受折扣优惠的人数为 ξ,求 ξ 的分布列和数学 期望.

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

解 析



(1)设“两人都享受折扣优惠”为事件 A,

“两人都不享受折扣优惠”为事件 B, 2 C12 11 C2 46 24 则 P(A)=C2 =105,P(B)=C2 =105. 36 36 11 46 57 19 因为事件 A,B 互斥,则 P(A+B)=P(A)+P(B)=105+105=105=35. 19 故这两人都享受折扣优惠或都不享受折扣优惠的概率是35. (2)据题意,ξ 的可能取值为 0,1,2. 46 C1 C1 48 11 12 24 其中 P(ξ=0)=P(B)= ,P(ξ=1)= 2 = ,P(ξ=2)=P(A)= . 105 C36 105 105 所以 ξ 的分布列为
0 1 2 46 48 11 P 105 105 105 46 48 11 70 2 所以 E(ξ)=0×105+1×105+2×105=105=3. ξ

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5

7 6 ?2x-y+2≥0, ? 1. 已知 x∈[-1,1], y∈[0,2], 则点 P(x, y)落在区域?x-2y+1≤0 ?x+y-2≤0 ?

内的概率为 3 A. 16

( 3 B. 8 3 C. 4 3 D. 2

)

解 析

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5

7 6 ?2x-y+2≥0, ? 1. 已知 x∈[-1,1], y∈[0,2], 则点 P(x, y)落在区域?x-2y+1≤0 ?x+y-2≤0 ?

内的概率为 3 A. 16

( B ) 3 B. 8 3 C. 4 3 D. 2

解 析
不等式组表示的区域如图所示, 1 1 3 阴影部分的面积为 ×3×2- ×3×1= , 2 2 2 3 则所求概率为 . 8

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

2.有 n 位同学参加某项选拔测试,每位同学能通过测试的概率都是 p(0<p<1),假设每位同学能否通过测试是相互独立的,则至少有 一位同学能通过测试的概率为 A.(1-p)n B.1-pn C.pn ( D.1-(1-p)n )

解 析

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

2.有 n 位同学参加某项选拔测试,每位同学能通过测试的概率都是 p(0<p<1),假设每位同学能否通过测试是相互独立的,则至少有 一位同学能通过测试的概率为 A.(1-p)n B.1-pn C.pn ( D ) D.1-(1-p)n

解 析
显然 n 位同学参加某项选拔测试可看做 n 次独立重复试验, 其中没有一位同学能通过测试的概率为(1-p)n,故至少有一 位同学能通过测试的概率为 1-(1-p)n.

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

3.三人独立破译同一个密码.已知三人各自破译出密码的概率分别 1 1 1 为 、 、 ,且他们是否破译出密码互不影响,设“密码被破译” 5 4 3 的概率为 P1,“密码未被破译”的概率为 P2,则 P1,P2 的大小 关系为 A.P1>P2 B.P1=P2 C.P1<P2 ( D.无法判断 )

解 析

练出高分

B组

专项能力提升

1 7 2 3 4 6 5 3.三人独立破译同一个密码.已知三人各自破译出密码的概率分别 1 1 1 为 、 、 ,且他们是否破译出密码互不影响,设“密码被破译” 5 4 3

的概率为 P1,“密码未被破译”的概率为 P2,则 P1,P2 的大小 关系为 A.P1>P2 B.P1=P2 C.P1<P2 ( D.无法判断 )

解 析
记“第 i 个人破译出密码”为事件 Ai(i=1,2,3), 1 1 1 依题意有 P(A1)=5,P(A2)=4,P(A3)=3, 且 A1,A2,A3 相互独立.

设“密码未被破译”为事件 B,
则 B= A 1 A 2 A 3,且 A 1, A 2, A 3 互相独立,

练出高分

B组

专项能力提升

1 7 2 3 4 6 5 3.三人独立破译同一个密码.已知三人各自破译出密码的概率分别 1 1 1 为 、 、 ,且他们是否破译出密码互不影响,设“密码被破译” 5 4 3

的概率为 P1,“密码未被破译”的概率为 P2,则 P1,P2 的大小 关系为 A.P1>P2 B.P1=P2 C.P1<P2 ( A ) D.无法判断

解 析
4 3 2 2 故 P2=P(B)=P( A 1)P( A 2)P( A 3)= × × = , 5 4 3 5 3 而 P1=1-P(B)=5,故 P1>P2.

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

4.某人随机地将编号为 1,2,3,4 的四个小球放入编号为 1,2,3,4 的四 个盒子中, 每个盒子中放一个小球, 球的编号与盒子的编号相同 时叫做放对了,否则就叫放错了.设放对的个数为 ξ,则 ξ 的期 望 E(ξ)=________.

解 析

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

4.某人随机地将编号为 1,2,3,4 的四个小球放入编号为 1,2,3,4 的四 个盒子中, 每个盒子中放一个小球, 球的编号与盒子的编号相同 时叫做放对了,否则就叫放错了.设放对的个数为 ξ,则 ξ 的期

1 望 E(ξ)=________.
3×3 9 因为 P(ξ=0)= = , 24 24 C1×2 8 4 P(ξ=1)= 24 =24,

解 析

C2×1 6 4 P(ξ=2)= 24 =24, 1 P(ξ=4)=24, 8 6 1 所以 E(ξ)=1×24+2×24+4×24=1.

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

1 5.一名学生通过某种外语听力测试的概率为 ,他连续测试 3 次, 3 那么,其中恰有一次通过的概率是________.

解 析

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

1 5.一名学生通过某种外语听力测试的概率为 ,他连续测试 3 次, 3 4 9 那么,其中恰有一次通过的概率是________.

解 析
该名学生测试一次有两种结果:要么通过,要么不通过,他 连续测试三次,相当于做了 3 次独立重复试验,那么,根据 n 次独立重复试验事件 A 发生 k 次的概率公式知,连续测试 3 ? ? ? 1 ?2 4 1?1?1 ? 1- 次恰有一次获得通过的概率为 P=C3 3 · 3? = . 9 ? ? ? ?

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

6.两封信随机投入 A,B,C 三个空邮箱,则 A 邮箱的信件数 ξ 的 数学期望 E(ξ)=________.

解 析

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

6.两封信随机投入 A,B,C 三个空邮箱,则 A 邮箱的信件数 ξ 的 2 3 数学期望 E(ξ)=________.

解 析
两封信投入 A,B,C 三个空邮箱,投法种数是 32=9,
4 A 中没有信的投法种数是 2×2=4,概率为9,
A 中仅有一封信的投法种数是 4 1 C2×2=4,概率为 , 9

1 A 中有两封信的投法种数是 1,概率为9,
4 4 1 2 故 A 邮箱的信件数 ξ 的数学期望是9×0+9×1+9×2=3.

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

7.(13 分)在某校教师趣味投篮比赛中,比赛规则是每场投 6 个球,至 少投进 4 个球,且最后 2 个球都投进者获奖,否则不获奖.已知教 2 师甲投进每个球的概率都是 . 3 (1)记教师甲在每场的 6 次投球中投进球的个数为 X,求 X 的分布 列及数学期望; (2)求教师甲在一场比赛中获奖的概率; (3)已知教师乙在一场比赛中,6 个球中恰好投进了 4 个球,求教师 乙在一场比赛中获奖的概率; 教师乙在一场比赛中获奖的概率与教 师甲在一场比赛中获奖的概率相等吗?

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

解 析
(1)由题意,知 X 的所有可能取值为 0,1,2,3,4,5,6.依条件可知 ? 2? X~B?6,3?. ? ? ? ? ? ? k 2 k 1 6-k ? P(X=k)=C6?3? · ? (k=0,1,2,3,4,5,6). ? ? ?3? 解

所以 X 的分布列为 0 1 2 3 4 5 6 1 12 60 160 240 192 64 P 729 729 729 729 729 729 729 1 所以 X 的数学期望 E(X)= ×(0×1+1×12+2×60+3×160+ 729 2 916 4×240+5×192+6×64)= =4. 729 X

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

解 析
(2)设教师甲在一场比赛中获奖为事件 A,



12 24 1 2 5 2 6 32 2 1 P(A)=C4×? ? ×? ? +C4× ×? ? +? ? = .
?3? ?3?

? ?

? ?

? ? ?3?

? ? ?3?

3

81

32 故教师甲在一场比赛中获奖的概率为81.
C2 2 4 (3)设教师乙在一场比赛中获奖为事件 B, P(B)= 4= , 则 即教师 C6 5 2 2 32 乙在一场比赛中获奖的概率为5.显然5≠81,所以教师乙在一场比 赛中获奖的概率与教师甲在一场比赛中获奖的概率不相等.


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