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导数及其应用(复习课)


导 数 及 其 应 用(复习课)
【教学目标】 (1)通过复习复习回顾使学生对学过的知识能系统的掌握。 (2)熟记基本导数公式:xm(m 为有理数)、sinx、cosx、ex、ax、lnx、logax 的导 数;掌握两个函数和、差、积、商的求导法则和复合函数的求导法则,会求某些 简单函数的导数 (3)理解可导函数的单调性与其导数的关系;了解可导函数在某点取得极值的 必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号);会求一些实际问题的最大值和最 小值。 (4)培养学生合情推理和独立思考等良好的思想品质,以及主动参与、勇于探 索的精神。

【教学内容】
一、知识复习: (1) (2) (3) (4) (5) 复习函数的单调性,提出导数的应用的三方面 如何判断函数的单调性,求函数的单调区间?(导数的应用一) 求函数的极值。 (导数的应用二) 求函数最值.( 导数的应用三) 微积分基本定理
y

二、例题探究
例 1:设 f '(x)是函数 f(x)的导函数, y=f '(x) 的图 象如右图所示,则 y=f(x)的图象最有可能的是( C )
y y y y

O

1

2

x

2

O1

2

x

O

1 2

x

1

x

O1 2

x

考查目的:利用导数确定单调性的方法 答:由导函数的图像可以看出在(0,2)上导数小于 0,从而得出原函数在(0, 2)单调递减,可得 C 例 2: 函数 f (x) = (x2-1)3+2 的极值点是( A、x=2 号 B、x=-1 C、x=1 或-1 或 0 )

D、x=0 错解:f (x) =x6-3x4+3x2+1,则由 f′ (x)=6x5-12x3+6x=0 得极值点为 x=1, x=-1 和 x=0,故正确答案为 C. 正确解法:事实上,这三点只是导数等于 0 的点,由 f′ =6x5-12x3+6x=6x(x+ (x) 1)2(x-1)2 知,当 x∈(-∞,-1)时,f′ (x)<0;当 x∈(-1,0)时,f′ (x)<0;当 x∈(0,1),f′ (x)>0;当 x∈(1,+∞)时,f′ (x)>0. f (x)在 (-∞,-1)、(-1, 0)单调递增,在(0,1)、(1,+∞)单调递减。则 x=0 为极小值点,x=-1 或 1 都 不是极值点(称为拐点) 。故应选 D。 剖析: (1)满足 f′ 0)=0 的点 x=x0 只是它为极大(小)值点的必要而不充分条 (x 件,如果一味地把驻点等同于极值点,往往容易导致失误。 (2)在求极值点时候,有时还要注意导数不存在的点.如:求 f (x) =|x|的极 值点。 (x=0(易遗漏)) 例 3、已知函数 f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+1 既有极大值又有极小值,则实数 a 的取 值范围是 。 考查目的: 考查导数的运算及利用导数知识求函数的极值等基本知识和分析问题、 解决 问题的能力。 解:∵f′(x)=3x2+6ax+3a+6,令 f′(x)=0,则 x2+2ax+a+2=0 又∵f(x)既有极大值又有极小值 ∴f′(x)=0 必有两解,即△=4a2-4a-8>0 解得 a<-1 或 a>2。 探究:本题通过求函数的导数,将函数问题转化为一元二次方程来探究,充 分体现了函数与方程相互转化的解题思想与解题策略。 例 4、已知函数 f ( x) = ? x 3 + 3 x 2 + 9 x + a. (Ⅰ)求 f (x) 的单调减区间;

(Ⅱ)若 f (x) 在区间[-2,2].上的最大值为 20,求它在该区间上的最小值. 考查目的:利用导数求单调区间和最值的方法 解: (I) f ′( x) = ?3 x 2 + 6 x + 9. 令 f ′( x) < 0 ,解得 x < ?1或x > 3, 所以函数 f (x) 的单调递减区间为 (?∞,?1), (3,+∞). (II)因为 f (?2) = 8 + 12 ? 18 + a = 2 + a, 所以 f (2) > f (?2). 因为在 (-1, 上 f ′( x) > 0 , 3) 所以 f (x) 在[-1, 2]上单调递增, 又由于 f (x) 在
f (2) = ?8 + 12 + 18 + a = 22 + a,

[-2,-1]上单调递减,因此 f (2) 和 f (?1) 分别是 f (x) 在区间[-2,2]上 的最大值和最小值. 于是有 22 + a = 20 ,解得 a = ?2. 故 f ( x ) = ? x 3 + 3 x 2 + 9 x ? 2. 因此 f (?1) = 1 + 3 ? 9 ? 2 = ?7,

即函数 f (x) 在区间[-2,2]上的最小值为-7. 例 5、设函数 f(x)=ax3-2bx2+cx+4d(a、b、c、d∈R)的图象关于原点对称,且 x=1 2 时,f(x)取极小值- 。 3 (1)求 a、b、c、d 的值; (2)当 x∈[-1,1]时,图象上是否存在两点,使得过此两点的切线互相垂直? 试证明你的结论; 4 (3)若 x1,x2∈[-1,1]时,求证:|f(x1)-f(x2)|≤ 。 3 考查目的: 本题主要考查导数的几何意义、导数的基本性质和应用、绝对值不等式以及综合 推理能力。 解(1) ∵函数 f(x)图象关于原点对称,∴对任意实数 x,都有 f(-x)=- f(x). ∴-ax3-2bx2-cx+4d=-ax3+2bx2-cx-4d,即 bx2-2d=0 恒成立. ∴b=0,d=0,即 f(x)=ax3+cx. ∴f′(x)=3ax2+c. 2 2 ∵x=1 时,f(x)取极小值- . ∴f′(1)=0 且 f(1)=, 3 3 2 1 即 3a+c=0 且 a+c=- . 解得 a= ,c=-1. 3 3 (2)证明:当 x∈[-1,1]时,图象上不存在这样的两点使结论成立,假设图象 上存在 两点 A(x1,y1)、B(x2+y2),使得过这两点的切线互相垂直, 则由 f′(x)=x2-1,知两点处的切线斜率分别为 k1=x12-1,k2=x22-1, 且(x12-1)(x22-1)=-1. (*) ∵x1、x2∈[-1,1], ∴x12-1≤0,x22-1≤0 ∴(x12-1)(x22-1)≥0,这与(*)相矛盾,故假设不成立. (3)证明:∵f′(x)=x2-1,由 f′(x)=0,得 x=±1. 当 x∈(-∞,-1)或(1,+∞)时,f′(x)>0; 当 x∈(-1,1)时,f′(x)<0. 2 2 ∴f(x)在[-1,1]上是减函数,且 fmax(x)=f(-1)= , fmin(x)=f(1)= - . 3 3 2 ∴在[-1,1]上,|f(x)|≤ . 3 2 2 4 于是 x1,x2∈[-1,1]时,|f(x1)-f(x2)|≤|f(x1)|+|f(x2)|≤ + = . 3 3 3 4 故 x1,x2∈[-1,1]时,|f(x1)-f(x2)|≤ . 3 探究:①若 x0 点是 y=f(x)的极值点,则 f′(x0)=0,反之不一定成立;

②在讨论存在性问题时常用反证法; ③利用导数得到 y=f(x)在[-1,1]上递减是解第(3)问的关键.
2 例 6、求由曲线 y = x + 2 与 y = 3 x , x = 0 , x = 2 所围成的平面图形的面积(画出

图形)。 解
16 14



12

10

8

6

4

2

S = ∫ ( x + 2 ? 3 x)dx + ∫ (3x ? x ? 2)dx = 1
2 2 0 1

1

2

-5

A: (1.00 , 0.00 )

A

5

10

15

20

-2

三、课后作业: 设计思想: 有关导数的内容,在 2000 年开始的新课程试卷命题时,其考试要求都是很 基本的,以后逐渐加深,考查的基本原则是重点考查导数的概念和计算,力求结 合应用问题,不过多地涉及理论探讨和严格的逻辑证明。本部分的要求一般有三 个层次:第一层次是主要考查导数的概念,求导的公式和求导法则;第二层次是 导数的简单应用,包括求函数的极值、单调区间、证明函数的增减性等;第三层 次是综合考查,包括解决应用问题,将导数内容和传统内容中有关不等式和函数 的单调性等有机地结合在一起,设计综合题,通过将新课程内容和传统内容相结 合,加强了能力考察力度,使试题具有更广泛的实际意义,更体现了导数作为工 具分析和解决一些函数性质问题的方法, 本节复习课主要以以上思想为宗旨进行 设计的。


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