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2015年北京市朝阳区高三二模数学理试题及答案word版


北京市朝阳区 2015 学年度第二学期高三综合练习 数学(理科)
2015.5

第一部分(选择题 共 40 分) 一、选择题(共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求 的一项) 1.已知集合 ,集合 B. C. ). ,则 =( ). D.

2.执行如图所示的程序框图,则输出的 n 的值是(

A.7

B.10

C.66 ,“复数

D.166 是纯虚数”是“ ”的( ).

3.设 为虚数单位, A.充分不必要条件 C.充要条件

B.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件 , 则 =

4. B, C, 已知平面上三点 A, 满足 ( ). A.48 5.已知函数 的最小值是( ).

B.-48

C.100

D.-100 ,则

,若对任意的实数 x,总有

A.2 6.已知双曲线

B.4

C.

D.2 与抛物线 有一个公共的焦点 F,且两曲线的一个

交点为 P.若

,则双曲线的渐近线方程为(

).

7.已知函数 立,则实数 m 的取值范围是(

,若对任意 ).

,都有



8.如图,将一张边长为 1 的正方形纸 ABCD 折叠,使得点 B 始终落在边 AD 上,则折起部分面 积的最小值为( ).

第Ⅱ卷(非选择题 共 110 分) 二、填空题:本小题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. 展开式中含 项的系数是__________.

10.已知圆 C 的圆心在直线 x-y=0 上,且圆 C 与两条直线 x+y=0 和 x+y-12=0 都相切,则圆 C 的标准方程是__________. 11.如图,已知圆 B 的半径为 5,直线 AMN 与直线 ADC 为圆 B 的两条割线,且割线 AMN 过圆 心 B.若 AM=2, ,则 AD=__________.

12.某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的侧面积为__________.

13.已知点 的通项公式为__________;设 O 为坐标原点,点

在函数

的图像上,则数列 ,则 ,

中,面积的最大值是__________. 14.设集合 __________;集合 A 中满足条件“ ,集合 A 中所有元素的个数为 ”的元素个数为__________.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题共 13 分) 在梯形 ABCD 中, (Ⅰ)求 AC 的长; (Ⅱ)求梯形 ABCD 的高.

16.(本小题共 13 分) 某学科测试中要求考生从 A,B,C 三道题中任选一题作答,考试结束后,统计数据显示共有 600 名学生参加测试,选择 A,B,C 三题答卷数如下表:

(Ⅰ)某教师为了解参加测试的学生答卷情况,现用分层抽样的方法从 600 份答案中抽出若干 份答卷,其中从选择 A 题作答的答卷中抽出了 3 份,则应分别从选择 B,C 题作答的答 卷中各抽出多少份? (Ⅱ)若在(Ⅰ)问中被抽出的答卷中,A,B,C 三题答卷得优的份数都是 2,从被抽出的 A, B,C 三题答卷中再各抽出 1 份,求这 3 份答卷中恰有 1 份得优的概率; (Ⅲ)测试后的统计数据显示,B 题的答卷得优的有 100 份,若以频率作为概率,在(Ⅰ)问 中被抽出的选择 B 题作答的答卷中,记其中得优的份数为 X,求 X 的分布列及其数学期 望 EX.

17.(本小题共 14 分) 如图, 在直角梯形 ABCD 中, . 直角梯形 ABEF

可以通过直角梯形 ABCD 以直线 AB 为轴旋转得到,且平面 平面 ABCD. (Ⅰ)求证: ; (Ⅱ)求直线 BD 和平面 BCE 所成角的正弦值; M, N 分别为线段 FD, AD 上的点 (Ⅲ) 设 H 为 BD 的中点, (都不与点 D 重合) . 若直线 平面 MNH,求 MH 的长.

18.(本小题共 13 分) 已知点 M 为椭圆 B 是椭圆 C 上不同的两点 的右顶点, 点 A, (均异于点 M) ,

且满足直线 MA 与直线 MB 斜率之积为

1 . 4

(Ⅰ)求椭圆 C 的离心率及焦点坐标; (Ⅱ)试判断直线 AB 是否过定点:若是,求出定点坐标;若否,说明理由.

19.(本小题共 14 分) 已知函数 (Ⅰ)当 时,求函数 . 的单调区间; 成立,求 的取值范围; , ,求证: .

(Ⅱ)若在区间(1,2)上存在不相等的实数 (Ⅲ)若函数 有两个不同的极值点

20.(本小题共 13 分) 已知数列, 每个 (Ⅰ)写出满足 (Ⅱ)写出一个满足 (Ⅲ)在 H 数列 求证: 或 中,记 . 都有 的所有 H 数列 是正整数 1,2,3, 或 3,则称 ; 的 数列 的通项公式; 是公差为 d 的等差数列, 为 H 数列. ,n 的一个全排列.若对

.若数列

参考答案及评分标准 高三数学(理科)
一、选择题: (1) 题号 A 二、填空题: 题号 (9) 答案 三、解答题: 15.(本小题共 13 分) 解:(Ⅰ)在 中,因为 ,所以 .由正弦定理得: 答案 (2) B (10) (3) B (11) (4) C (12) (5) A (6) C (13) (7) D (8) B (14)

,即



(Ⅱ)在 整理得 过点 因为 在直角 即梯形 作

中,由余弦定理得: ,解得 于 , 中, 的高为 . ,则 为梯形 ,所以

, (舍负). 的高. . .

16.(本小题共 13 分) 解:(Ⅰ)由题意可得: 题 答卷数 抽出的答卷数 A 180 B 300 C 230

3 5 2 应分别从 题的答卷中抽出 份, 份. (Ⅱ)记事件 :被抽出的 三种答卷中分别再任取出 份,这 份答卷中恰有 份得优, 可知只能 题答案为优,依题意 . 题的答案中得优的份数 的可

(Ⅲ)由题意可知, 能取值为

题答案得优的概率为 ,显然被抽出的 ,且 .









; 随机变量 的分布列为:



所以 17.(本小题共 14 分) 证明:(Ⅰ)由已知得 . 因为平面 且平面 , 平面 平面 , , .



所以 平面 , 由于 平面 ,所以 (Ⅱ)由(1)知 平面 所以 , . 由已知 , 所以 两两垂直. 以

为原点建立空间直角坐标系(如图).

因为 则 所以 , ,

, , , , ,

设平面

的一个法向量



所以

,即



令 设直线 因为

,则 与平面 ,

. 所成角为 ,

所以



所以直线 (Ⅲ)在

和平面

所成角的正弦值为 中, ,



为原点的空间直角坐标系 , , , . ,则 ,





设 即

, . .

若 即

平面 .

,则

.解得 则 18.(本小题共 13 分) 解:(Ⅰ)椭圆 的方程可化为 ,

. .

,则 ,

, .





故离心率为 (Ⅱ)由题意,直线 则

,焦点坐标为

的斜率存在,可设直线 , .

的方程为













判别式 所以 因为直线 所以 所以 化简得 所以 化简得 当 时,直线 ,即 方程为 或 . ,过定点 . ,过定点 与直线 , . , , , 的斜率之积为 , ,





代入判别式大于零中,解得 当 故直线 时,直线 过定点 的方程为 .

,不符合题意.

19.(本小题共 14 分) 解:(Ⅰ)当 由 当 当 当 所以 时, ,解得 时, 时, 时, 的单调增区间为 . 在 ,设 在 上为增函数. 上不为单调函数的 ,则 , 的取值范 . , , , , , . 单调递增; 单调递减; 单调递增. , .

单调减区间为

(Ⅱ)依题意即求使函数 围. 因为



,即当

时,函数



上有且只有一个零点,设为



当 当 当 时,

时, 时, , 上

,即 ,即

, , ,所以在 成立,即

为减函数; 为增函数,满足在 上 在 成立(因 上不为单调函数. 在 上为增函

数),所以在 同理 综上 (Ⅲ) 因为函数 判别式 由 此时 随着 变化,

上为增函数,不合题意.

时,可判断 . .



为减函数,不合题意.

有两个不同的零点,即 ,解得 ,解得 , 和 . . ,

有两个不同的零点,即方程





的变化情况如下:

+ 极大值 极小值

+

所以 值所以



的极大值点,



的极小值点,所以

是极大值,

是极小

因为 所以

,所以 .



20.(本小题共 13 分)

解:(Ⅰ)满足条件的数列有两个: (Ⅱ)由(1)知数列 为 ,所得数列 满足 显然满足 .其中 的 数列 为: ,

. ,把各项分别加 后,所得各数依次排在后,因 或 , ,即得 数列

.如此下去即可得到一个满足

(其中



(写出此通项也可以

(其中

))

(Ⅲ)由题意知

, 有解:

,且









,则

,这与

是矛盾的. ② ③ ④ 若 若 ④ 若 若 时,与①类似可得不成立. 时, 时, 或 或 时, 同号,则 或 ,由上面的讨论可知不可能; ,则 或 ; ,则 ,则 或 . ,则 不可能成立.

,类似于③可知不成立.

⑤ 若 若

时, 异号,则 同号,则 ,不行; ,同样由前面的讨论可知与 矛盾.

综上, 只能为 或 ,且(2)中的数列是 过来就是 ,所以 为 或 .

的情形,将(2)中的数列倒


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