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高中数学论文:平面向量数量积求解的三种途径苏教版

平面向量数量积求解的三种途径
平面向量数量积是平面向量一章中的重要内容,是高中数学三角函数、平面几何、解析 几何等章节知识的交汇点,也是高考重点考查的知识.许多学生在解此类题时感觉困难,究 其原因,就是学生对数量积的概念理解不透彻.下面就求解方法归纳如下: 一.定义法 例1 已知直线 Ax ? By ? C ? 0( A2 ? B 2 ? C 2 , C ? 0) 与圆 x 2 ? y 2 ? 4 交于 M , N 两点, O 是坐标原点,求 OM ? ON 的值. 分析 向量 OM , ON 的模都是2,由直线与圆相交时弦心距、半

y
N

H
弦长、半径构成直角三角形可求出 OM 与 ON 的夹角,直接利用数量 积的定义即可. 解 ∵原点 O 到直线 Ax ? By ? C ? 0 的距离 OH ? ∴在 Rt ?OHN 中, cos ?HON ?
M
O

x

C A2 ? B 2

?

C C

? 1,

OH 1 ? ,∴ ?HON ? 60? ,即 ?MON ? 120? ON 2 1 ∴ OM ? ON ? OM ON cos ?MON ? 2 ? 2 ? ( ? ) ? ?2 . 2
点评 从定义来看求两个非零向量的数量积关键要弄清楚两向量的模和夹角; 若从数量积的 几何意义来看就是一向量的模与它在另一向量方向上的投影的乘积. 二.坐标法 例2 若等边 ?ABC 的边长为 2 3 ,平面内一点 M 满足 CM ?

1 2 CB ? CA ,则 6 3

MA ? MB ? ___________.
分析

MA , MB , MA 与 MB 的夹角都不易求得,由于 ?ABC 是等边三角形,故可建立

平面直角坐标系, 将等边 ?ABC 的三个顶点用坐标表示, 进而将点 M 的坐标表示出来即可. 解 以 BC 所在的直线为 x 轴, BC 的垂直平分线为 y 轴,建立如图所示的坐标系. y 则 B(? 3,0), C( 3,0), A(0,3) . ∴ CB ? (?2 3,0),CA ? (? 3,3) ,

A M B

CM ?

1 2 3 2 CB ? CA ? (? ,0) ? (? 3,2) ? (? 3,2) . 6 3 3 3

O

C

x

∴ OM ? OC ? CM ? (0,2), MA ? (0,1), MB ? (? 3,?2) . ∴ MA ? MB ? ?2 .

例3 在等腰直角三角形 ABC 中, AC ? BC ? 1 ,点 M 、 N 分别是 AB 、 BC 的中点,点

P 是 ?ABC (包括边界)内任一点,求 AN ? MP 的范围.
分析 虽然 AN ?

5 ,但 MP 、 AN 与 MP 的夹角不易求得,由于 ?ABC 是等腰直角三 2
y
B

角形,故可建立平面直角坐标系,将点 A, B, C, M , N 用坐标表示即可. 解 以 C 为坐标原点, CA 所在的直线为 x 轴, CB 所在直线 为 y 轴,建立如图所示的坐标系. 则 C (0,0), A(1,0), B (0,1), M ( , ), N (0, ) .

1 1 2 2

1 2

?x ? 0 设 P( x, y) ,则 ? . ?y ? 0 ?x ? y ? 1 ?

N

M

C

A

x

1 1 ,y? ), 2 2 1 1 1 1 1 ∴ AN ? MP ? ?1 ? ( x ? ) ? ? ( y ? ) ? ? x ? y ? . 2 2 2 2 4
∴ AN ? (?1, ), MP ? ( x ? 由线性规划的知识可得 AN ? MP 的范围为 ? ? 点评

1 2

? 3 3? . , ? ? 4 4?

a ? ( x1 , y1 ),b ? ( x2 , y2 ) ,则 a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 ,用此法解决向量数量积问题,必

须先建立合适的平面直角坐标系,把向量坐标化. 三.分解转化法
? 例4 在 Rt ?ABC 中, ?C ? 90 , AC ? 4 ,则 AB ? AC ? ___________.

分析 因为 ?C ? 90 ,所以 AC ? CB ? 0 .只需将 AB 用 AC ? CB 表示即可求解.
?

解 ∵ ?C ? 90 ,∴ AC ? CB ? 0 .
?
2 ∴ AB ? AC ? ( AC ? CB ) ? AC ? AC ? AC ? CB ? 4 ? 16 2

例5 在 ?ABC 中, ?BAC ? 120? , AB ? 2, AC ? 1 , D 是 BC 边上一点, DC ? 2 BD , 则 AD ? BC ? ___________. 分析 由题中条件可以选择 AB, AC 作为一组基底,只需 将 AD, BC 用 AB, AC 表示即可求解. 解 ∵ DC ? 2 BD ,∴ BD ?
B

A

D

C

1 BC . 3

1 1 2 1 BC ? AB ? ( AC ? AB ) ? AB ? AC . 3 3 3 3 2 2 2 1 1 2 1 ∴ AD ? BC ? ( AB ? AC )( AC ? AB ) ? AC ? AB ? AB ? AC 3 3 3 3 3 1 2 1 1 8 ? ? 1 ? ? 4 ? ? 2 ? 1 ? (? ) ? ? . 3 3 3 2 3
∴ BC ? AC ? AB , AD ? AB ? BD ? AB ? 点评 借助原有图形对所求向量进行分解转化, 化为用一组基底表示的向量进行处理, 此法 要求所选的基底的模与夹角可知,计算中灵活运用可以减少运算量、思维量,特别对于平面 图形不含坐标系或不方便建立坐标系的情况更可以达到事半功倍的效果.


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