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二轮复习之数列的通项公式与求和的常用方法(基础篇)


二轮复习之数列的通项公式与求和的常用方法(基础篇)
适用学科 适用区域 知识点
高中数学 人教版 1、数列通项公式的常见求法 2、数列求和的常见方法 1、掌握常见的求数列通项的方法

适用年级 课时时长(分钟)

高三 60

教学目标

2、探索并掌握一些基本的数列求前 n 项和的方法; 3、能在具体的问题情境中,发现数列的数列的通项和递推关系,并能用有关等差、等比数列知识解 决相应的实际问题。

教学重点

1、公式求和法、错位相减法、分组求和法、裂项相消法常见题型的掌握 2、递归数列的通项的求法的类型

教学难点

1、、累加、累乘、构造法等求数列通项的方法 2、公式求和法、错位相减法、分组求和法、裂项相消法常见题型的掌握

教学过程
一、高考解读
数列是函数概念的继续和延伸,数列的通项公式及前 n 项和公式都可以看作项数 n 的函数,是函数思想在数列中的 应用
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数列以通项为纲,数列的问题,最终归结为对数列通项的研究,而数列的前 n 项和 Sn 可视为数列{Sn}的通项

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项及求和是数列中最基本也是最重要的问题之一,与数列极限及数学归纳法有着密切的联系,是高考对数列问题考查中 的热点,本点的动态函数观点解决有关问题,为其提供行之有效的方法
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二、复习预习
1.等比数列的判定方法 ①定义法:对于数列 ?an ? ,若
a n ?1 ? q ( q ? 0) ,则数列 an

?an ?是等比数列;

2 ②等比中项:对于数列 ?an ? ,若 an an?2 ? an an ? 是等比数列. ?1 ,则数列 ?

2.等比数列的性质 ①等比数列任意两项间的关系:如果 an 是等比数列的第 n 项, a m 是等差数列的第 m 项,且 m ? n ,公比为 q ,则有
a n ? a m q n ?m ;

②对于等比数列 ?an ? ,若 n ? m ? u ? v ,则 an ? am ? au ? av ,也就是: a1 ? a n ? a 2 ? a n?1 ? a3 ? a n?2 ? ?? ,如图所示:
a1?an ????? ?????? a1 , a 2 , a3 ,?, a n?2 , a n?1 , a n 。 ??? ? ???? ? a2 ?an ?1

③若数列 ?a n ?是等比数列, S n 是其前 n 项的和, k ? N * ,那么 S k , S 2k ? S k , S 3k ? S 2k 成等比数列. 如下图所示:
S 3k ??????????? ? ??????????? ? ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? ak ? ak ?1 ? ? ? a2 k ? a2k ?1 ? ? ? a3k ???? ???? ? ?? ? ??? ? ??? ??? ? Sk S 2k ? S k S 3k ? S 2 k

三、知识讲解
考点 1
1 数列中数的有序性是数列定义的灵魂,要注意辨析数列中的项与数集中元素的异同 因此在研究数列问题时既要注
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意函数方法的普遍性,又要注意数列方法的特殊性
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2 数列{an}前 n 项和 Sn 与通项 an 的关系式 an= ?
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?S1 , n ? 1 ?S n ? S n ?1 , n ? 2

考点 2
求通项常用方法 ①作新数列法 作等差数列与等比数列
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②累差叠加法 最基本形式是
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an=(an-an-1+(an-1+an-2)+…+(a2-a1)+a1
③归纳、猜想法
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考点 3
数列前 n 项和常用求法 ①重要公式 1+2+…+n= n(n+1) 12+22+…+n2= n(n+1)(2n+1) 13+23+…+n3=(1+2+…+n)2= n2(n+1)2 ②等差数列中 Sm+n=Sm+Sn+mnd,等比数列中 Sm+n=Sn+qnSm=Sm+qmSn
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1 2

1 6

1 4

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③裂项求和 将数列的通项分成两个式子的代数和,即 an=f(n+1)-f(n),然后累加时抵消中间的许多项 应掌握以下
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常见的裂项

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1 1 1 1 ? ? , n ? n ! ? (n ? 1)!? n !, ? ctgα ? ctg2α, n(n ? 1) n n ? 1 sin 2? 1 1 1 ? ? 等 (n ? 1)! n ! (n ? 1)!

?1 ?1 r Cn ? Cr n n ? Cn ,

④错项相消法 ⑤并项求和法

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数列通项与和的方法多种多样,要视具体情形选用合适方法

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四、例题精析
例题 1 将正⊿ABC 分割成 n 2 ( n ≥2,n∈N)个全等的小正三角形(图 2,图 3 分别给出了 n=2,3 的情形) ,在每个三 角形的顶点各放置一个数,使位于⊿ABC 的三遍及平行于某边的任一直线上的数(当数的个数不少于 3 时)都分别一次 成等差数列,若顶点 A ,B ,C 处的三个数互不相同且和为 1,记所有顶点上的数之和为 f(n),则有 f(2)=2,f(3)= f(n)=
1 (n+1)(n+2) 6
10 ,…, 3

【 规 范 解 答 】 当 n=3 时 , 如 图 所 示 分 别 设 各 顶 点 的 数 用 小 写 字 母 表 示 , 即 由 条 件 知

a ? b ? c ? 1, x1 ? x2 ? a ? b, y1 ? y2 ? b ? c, z1 ? z2 ? c ? a x1 ? x2 ? y1 ? y2 ? z1 ? z2 ? 2(a ? b ? c) ? 2, 2g ? x1 ? y2 ? x2 ? z1 ? y1 ? z2 6g ? x1 ? x2 ? y1 ? y2 ? z1 ? z2 ? 2(a ? b ? c) ? 2
1 1 1 10 即 g ? 而f (3) ? a ? b ? c ? x1 ? x2 ? y1 ? y2 ? z1 ? z2 ? g ? 1 ? ? ? 3 2 3 3

进一步可求得 f (4) ? 5 。由上知 f (1) 中有三个数, f (2) 中 有 6 个数, f (3) 中共有 10 个数相加 , f (4) 中有 15 个数相 加….,若 f (n ? 1) 中有 an?1 (n ? 1) 个数相加,可得 f (n) 中有 (an?1 ? n ? 1) 个数相加,且由
3 6 3?3 3 10 4 5 f (1) ? 1 ? , f (2) ? ? ? f (1) ? , f (3) ? ? f (2) ? , f (4) ? 5 ? f (3) ? ,... 3 3 3 3 3 3 3 n ?1 , 所以 可得 f (n) ? f (n ? 1) ? 3 n ?1 n ?1 n n ?1 n n ?1 3 n ? 1 n n ?1 3 2 1 1 f (n) ? f (n ? 1) ? ? f (n ? 2) ? ? ? ... ? ? ? ? ? f (1) = ? ? ? ? ? ? (n ? 1)(n ? 2) 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 6

【总结与思考】数列求和的综合考察问题

1 例题 2 已知点 (1 , ) 是函数 f ( x) ? a x (a ? 0, 且 a ? 1 ) 的图象上一点, 等比数列 {an } 的前 n 项和为 f (n) ? c ,数列 {bn } (bn ? 0) 3

的首项为 c ,且前 n 项和 Sn 满足 Sn - S n?1 = S n + S n?1 ( n ? 2 ). (1)求数列 {an } 和 {bn } 的通项公式; (2)若数列{
1000 1 的最小正整数 n 是多少? } 前 n 项和为 Tn ,问 Tn > 2009 bn bn?1

1 ?1? 【规范解答】 (1) Q f ?1? ? a ? ,? f ? x ? ? ? ? 3 ? 3?

x

1 2 f ? 2? ? c? ?? f ?1? ? c ? a1 ? f ?1? ? c ? ? c , a2 ? ? ?? , ? ? ? ? 3 9 2 a3 ? ? ? f ? 3? ? c ? ??? ? f ? 2? ? c? ? ? ? 27 . 4 2 a 2 1 又数列 ?an ? 成等比数列, a1 ? 2 ? 81 ? ? ? ? c ,所以 c ? 1 ; a3 ? 2 3 3 27

a 1 2?1? 又公比 q ? 2 ? ,所以 an ? ? ? ? a1 3 3? 3?
Q Sn ? Sn?1 ?

n ?1

?1? ? ?2 ? ? n ? N * ? 3?

n



?

Sn ? Sn?1

??

Sn ? Sn?1 ? Sn ? Sn?1 ? n ? 2 ?

?

又 bn ? 0 , Sn ? 0 , ? Sn ? Sn?1 ? 1; 数列

? S ? 构成一个首相为 1 公差为 1 的等差数列,
n
2

Sn ? 1 ? ? n ? 1? ?1 ? n , Sn ? n2

当 n ? 2 , bn ? S n ? S n ?1 ? n 2 ? ? n ? 1? ? 2n ? 1 ;

?bn ? 2n ? 1 ( n ? N * );

(2) Tn ?

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ?K ? ? ? ?L ? (2n ? 1) ? ? 2n ? 1? b1b2 b2b3 b3b4 bnbn?1 1? 3 3 ? 5 5 ? 7

1? 1? 1?1 1? 1?1 1? 1? 1 1 ? 1? 1 ? n ; ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? K ? ? ? ? ? ?1 ? ?? 2? 3? 2?3 5? 2?5 7 ? 2 ? 2 n ? 1 2 n ? 1 ? 2 ? 2n ? 1 ? 2 n ? 1

由 Tn ?

n 1000 1000 1000 ? 得n ? ,满足 Tn ? 的最小正整数为 112. 2n ? 1 2009 9 2009

【总结与思考】裂项相消综合考察问题

例题 3 已知数列{an}是公差为 d 的等差数列,数列{bn}是公比为 q 的(q∈R 且 q≠1)的等比数列,若函数 f(x)=(x- 1)2,且 a1=f(d-1),a3=f(d+1),b1=f(q+1),b3=f(q-1), (1)求数列{an}和{bn}的通项公式; (2)设数列{cn}的前 n 项和为 Sn,对一切 n∈N*,都有 1 ?
c S c c1 ? ? ? n =an+1 成立,求 lim 2 n ?1 b1 b2 cn n ?? S 2 n
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【规范解答】解 (1)∵a1=f(d-1)=(d-2)2,a3=f(d+1)=d2,
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∴a3-a1=d2-(d-2)2=2d, ∵d=2,∴an=a1+(n-1)d=2(n-1); 又 b1=f(q+1)=q2,b3=f(q-1)=(q-2)2, ∴
?b ? b 2 ? 4ac n! b3 ( q ? 2) 2 2,由 q∈R,且 q≠1,得 q=-2, lim 342 ? b 2 b 2 ? 4ac b 2 ? 4ac lim = q ? 2 x ?? b1 2a r !? n ? r ? ! x ?? q

∴bn=b·qn-1=4·(-2)n-1 (2)令
cn =dn,则 d1+d2+…+dn=an+1,(n∈N*), bn

∴dn=an+1-an=2, ∴
cn 8 =2,即 cn=2·bn=8·(-2)n-1;∴Sn= [1-(-2)n] bn 3
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S 2 n ?1 1 ? ( ?2) ? S 2n 1 ? ( ?2 ) 2 n

2 n ?1

1 (? ) 2n ? 2 S ? 2 , lim 2 n ?1 ? ?2 1 2n n ?? S 2 n (? ) ? 1 2

【总结与思考】 本题利用函数思想把题设条件转化为方程问题非常明显, 而(2)中条件等式的左边可视为某数列前 n 项和, 实质上是该数列前 n 项和与数列{an}的关系,借助通项与前 n 项和的关系求解 cn 是该条件转化的突破口 本题(1)问运用
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函数思想转化为方程问题,思路较为自然,(2)问“借鸡生蛋”构造新数列{dn}运用和与通项的关系求出 dn,丝丝入扣

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例题 4

某企业进行技术改造,有两种方案,甲方案:一次性贷款 10 万元,第一年便可获利 1 万元,以后每年比

前一年增加 30%的利润;乙方案:每年贷款 1 万元,第一年可获利 1 万元,以后每年比前一年增加 5 千元;两种方案 的使用期都是 10 年,到期一次性归还本息. 若银行两种形式的贷款都按年息 5%的复利计算,试比较两种方案中,哪种 获利更多? (取 1.0510 ? 1.629,1.310 ? 13.786,1.510 ? 57.665)

【规范解答】甲方案是等比数列,乙方案是等差数列,
1.310 ? 1 ①甲方案获利: 1 ? (1 ? 30%) ? (1 ? 30%) ? ? ? (1 ? 30%) ? , ? 42.63 (万元) 0.3
2 9

银行贷款本息: 10(1 ? 5%)10 ? 16.29 (万元) , 故甲方案纯利: 42.63 ? 16.29 ? 26.34 (万元) , ②乙方案获利: 1 ? (1 ? 0.5) ? (1 ? 2 ? 0.5) ? ? ? (1 ? 9 ? 0.5) ? 10 ? 1 ?
? 32.50 (万元) ;
10 ? 9 ? 0.5 2

银行本息和: 1.05? [1 ? (1 ? 5%) ? (1 ? 5%) 2 ? ? ? (1 ? 5%)9 ]
? 1.05 ? 1.0510 ? 1 ? 13.21(万元) 0.05

故乙方案纯利: 32.50 ? 13.21 ? 19.29 (万元) ; 综上可知,甲方案更好。

【总结与思考】这是一道比较简单的数列应用问题,由于本息金与利润是熟悉的概念,因此只建立通项公式并运用 所学过的公式求解.

例题 5

设 An 为数列{an}的前 n 项和,An=

3 (an-1),数列{bn}的通项公式为 bn=4n+3; 2

(1)求数列{an}的通项公式; (2)把数列{an}与{bn}的公共项按从小到大的顺序排成一个新的数列,证明 数列{dn}的通项公式为 dn=32n+1;
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(3)设数列{dn}的第 n 项是数列{bn}中的第 r 项, Br 为数列{bn}的前 r 项的和; Dn 为数列{dn}的前 n 项和, Tn=Br-Dn, 求 lim
Tn (an ) 4
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n ??

【规范解答】(1)由 An= (an-1),可知 An+1= (an+1-1), ∴an+1-an=
a 3 3 (an+1-an),即 n ?1 =3,而 a1=A1= (a1-1),得 a1=3,所以数列是以 3 为首项,公比为 3 的等 an 2 2
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3 2

3 2

比数列,数列{an}的通项公式 an=3n (2)∵32n+1=3·32n=3·(4-1)2n

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2n-1(-1)+…+C 2 n ?1 ·4·(-1)+(-1)2n]=4n+3, =3· [42n+C 1 2n 2 n ·4

∴32n+1∈{bn} 而数 32n=(4-1)2n

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2n-1·(-1)+…+C 2 n ?1 ·4·(-1)+(-1)2n=(4k+1), =42n+C 1 2n 2 n ·4

∴32n ?{bn},而数列{an}={a2n+1}∪{a2n},∴dn=32n+1 (3)由 32n+1=4·r+3,可知 r=
32 n ?1 ? 3 , 4

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r (7 ? 4r ? 3) 32 n ?1 ? 3 32 n ?1 ? 7 27 27 ? r(2r ? 5) ? ? , Dn ? ? (1 ? 9 n ) ? (9 n ? 1) , 2 4 2 1? 9 8 2 n ?1 2 n ?1 9 ? 4?3 ? 21 27 n ?Tn ? Br ? Dn ? ? (9 ? 1) 8 8 9 4 n 11 2 n 3 ? ? 3 ? ? 3 ? , ( a n ) 4 ? 34 n , 8 8 4 T 9 ? lim n 4 ? n ?? ( a n ) 8

∴Br=

【总结与思考】利用项与和的关系求 an 是本题的先决;(2)问中探寻{an}与{bn}的相通之处,须借助于二项式定理; 而(3)问中利用求和公式求和则是最基本的知识点 (1)问中项与和的关系为常规方法, (2)问中把 3 拆解为 4-1, 再利用二
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项式定理,寻找数列通项在形式上相通之处堪称妙笔;(3)问中挖掘出 n 与 r 的关系,正确表示 Br,问题便可迎刃而解

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课程小结
1 数列中数的有序性是数列定义的灵魂,要注意辨析数列中的项与数集中元素的异同 因此在研究数列问题时既要注
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意函数方法的普遍性,又要注意数列方法的特殊性
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2 数列{an}前 n 项和 Sn 与通项 an 的关系式 an= ?
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?S1 , n ? 1 ?S n ? S n ?1 , n ? 2

3 求通项常用方法
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①作新数列法 作等差数列与等比数列
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②累差叠加法 最基本形式是
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an=(an-an-1+(an-1+an-2)+…+(a2-a1)+a1
③归纳、猜想法
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4 数列前 n 项和常用求法
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①重要公式

1+2+…+n= n(n+1) 12+22+…+n2= n(n+1)(2n+1) 13+23+…+n3=(1+2+…+n)2= n2(n+1)2 ②等差数列中 Sm+n=Sm+Sn+mnd,等比数列中 Sm+n=Sn+qnSm=Sm+qmSn
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1 2

1 6

1 4

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③裂项求和 将数列的通项分成两个式子的代数和,即 an=f(n+1)-f(n),然后累加时抵消中间的许多项 应掌握以下
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常见的裂项

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1 1 1 1 ? ? , n ? n ! ? (n ? 1)!? n !, ? ctgα ? ctg2α, n(n ? 1) n n ? 1 sin 2? 1 1 1 ? ? 等 (n ? 1)! n ! (n ? 1)!
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?1 ?1 r Cn ? Cr n n ? Cn ,

④错项相消法 ⑤并项求和法

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数列通项与和的方法多种多样,要视具体情形选用合适方法

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