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成都七中2011高二上半期考试数学试卷(理科,解析几何)(含答案)


成都七中 2010—2011 学年上期 2012 级半期考试数学试卷(理科)
考试时间:120 分钟 总分:150 分 命题人:刘在廷 张世永 审题人:张世永 一、选择题: (本大题共 12 小题,每题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的,请将正确的答案填在答题卡上) 1.过 (?1,3) 且垂直于直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 的直线方程是( (A) 2 x ? y ? 1 ? 0
2

) (D) x ? 2 y ? 7 ? 0

(B) 2 x ? y ? 5 ? 0

(C) x ? 2 y ? 5 ? 0

x ? y 2 ? 1的准线方程是( ) 3 3 (A) y ? ? (B) y ? ? 3x x 3
2.双曲线 3. 椭圆

(C) y ? ?

3 2

(D) x ? ?

3 2


x2 y 2 ? ? 1 上一点 P 到椭圆的一个焦点的距离为 3, 则 P 到另一个焦点的距离是 ( 25 16
(B) 7 (C) 5 ) (D) 3

(A) 2

4.直线 x ? y ? 2 ? 0 与直线 2 x ? y ? 1 ? 0 的夹角为( (A) ?3 (B) ? arctan 3

(C) arctan 3 )

(D) ? ? arctan 3

? x ? y ? 2 ? 0, 5.不等式组 ? 表示的平面区域的面积是( ? x ? 0, ?y ? 0 ?
(A) 4 (B) 3 (C) 2

(D) 1 )

6.椭圆的长轴是短轴的 3 倍,且过点 A(3, 0) ,则椭圆的标准方程是( (A)

x2 y 2 ? ?1 9 81

(B)

x2 y 2 ? ?1 9 81

(C)

x2 ? y2 ? 1 9

(D)

x2 x2 y 2 ? y 2 ? 1, 或 ? ?1 9 9 81


7.已知抛物线的焦点是 F (0, ?4) ,准线是 y ? 4 ,则抛物线的方程是( (A) y ? ?

1 2 x 16

(B) y ?
2

1 2 x 16
2

(C) y ? ?

1 2 x 8

(D) y ?

1 2 x 8

8.若 x, y 满足 x ? y ? 1 ? 0 ,则 x ? y 的最小值为(



共 12 页

第 1 页

(A)

2 2

(B)

1 2

(C) 2

(D) 1

9. 已知椭圆

x2 y2 x2 y2 ? ? 1 和双曲线 则双曲线的渐近线方程是 ( ? ? 1 有公共焦点, 3m 2 5n 2 2m 2 3n 2



(A) x ? ?

15 y 2

(B) y ? ?

15 x 2

(C) y ? ?

3 x 4

(D) x ? ?

3 y 4

10 . 平 面 直 角 坐 标 系 中 , O 为 坐 标 原 点 , 已 知 两 点 A(3,1), B(?1,3) 若 点 C 满 足

O C? 1 a O? A

2012

a

,其中 O B {an }为等差数列, 且a1006 ? a1007 ? 1 ,则点 C 的轨迹方程为( (B) ( x ?1)2 ? ( y ? 2)2 ? 5 (D) x ? 2 y ? 5 ? 0 )条



(A) 3x ? 2 y ? 11 ? 0 C) 2 x ? y ? 0 11.与曲线 ? (A) 2 12.设椭圆

? ? x ? ? 2 ? cos ? (? 为参数) 相切且横纵截距相等的直线共有( y ? sin ? ? ?
(B) 3 (C) 4 (D) 6

x2 y 2 ? ? 1 的两焦点为 F1 , F2 , M 为椭圆上任一点,P 为 ?F1MF2 的内心,连结 MP 并 25 16
S ?F1PM S ?F1PN
4 3
的值为( )

延长交椭圆长轴于 N,则

(A)

3 4

(B)

(C)

3 5

(D)

5 3

二、填空题: (本大题共 4 小题,每题 4 分,共 16 分,把答案填在答卷的横线上) 13.已知 B(?1,0), C (1,0),| AB | ? | AC |? 10 ,则点 A 的轨迹方程是______________。

x2 y 2 ? 1 过点 (?3 2, 2) ,则该双曲线的焦距为_______________。 14.若双曲线 2 ? a 4
15.关于 x 的方程 x ? k ? 1 ? x2 有两个相异实根,则 k 的范围是_________________。 16.一个酒杯的轴截面是一条抛物线的一部分,它的 方程是 x ? 2 y, y ?[0,10] ,在杯内放一个清洁球,
2

y

要使清洁球能擦净酒杯的底部,则清洁球的最大
共 12 页 第 2 页

o

x

半径为__________。

成都七中 2010—2011 学年上期 2012 级半期考试数学试卷(理科)
命题人:刘在廷 张世永 审题人:张世永 二、填空题 13 ____________________;14___________________;15__________________;16_____________。 三、解答题: (本大题共 6 小题,共 74 分) 17. (12 分)光线从点 M (?2,3) 射到 x 轴上一点后被 x 轴反射,反射光线所在的直线 l1 与直线

l2 : 3x ? 2 y ? 13 ? 0 平行。
(1)求直线 l1 的方程; (2)求直线 l1 与直线 l2 的距离。

共 12 页

第 3 页

18. (12 分)已知圆的方程是 x2 ? y 2 ? 4 ,求 (1)斜率等于 1 的切线的方程; (2)在 y 轴上截距是 2 2 的切线的方程。

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第 4 页

19. (12 分)已知定点 A(0,1) , B(0, ?1) , C (1, 0) ,动点 P 满足: AP ? BP ? k | PC |2 (1)求动点 P 的轨迹方程,并说明方程表示的曲线; (2)当 k ? 2 时,求 | AP ? BP | 的最大值和最小值。

共 12 页

第 5 页

20 . ( 12 分 ) 已 知 直 线 AB 与 抛 物 线 y 2 ? 2 p x( p ) 且 ? 0 )交 于 两 点 A( x 1, y 1 ) , B (x 2 ,y 2 ,

y1 y2 ? ? p2 。

求证:直线 AB 经过抛物线的焦点。

共 12 页

第 6 页

21. (12 分)已知直线 l : y ? kx ? 1 与双曲线 C : x 2 ? y 2 ? 4 (1)如果 l 与 C 只有一个公共点,求 k 的值; (2)如果 l 与 C 的左右两支分别相交于 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 两点,且 | x1 ? x2 |? 2 5 ,求 k 的值。

共 12 页

第 7 页

22 . ( 14 分 ) 在 平 面 直 角 坐 标 系 xoy 中 , 已 知 向 量 j ? (0,1), ?OFQ 的 面 积 为 2 3 , 且

OF ? F Q? m , OM?

3 3

OQ ? 。 j

(1)设 4 ? m ? 4 3 ,求向量 OF 与向量 FQ 的夹角的取值范围; ( 2 )设以 O 为中心,对称轴在坐标轴上,以 F 为右焦点的椭圆经过点 M ,且 | OF |? c ,

m ? ( 3 ?1)c2 ,是否存在点 Q ,使 | OQ | 最短?若存在,求出点 Q 的坐标,并求此时椭圆的方
程;若不存在,请说明理由。

共 12 页

第 8 页

成都七中 2010—2011 学年上期 2012 级半期考试数学试卷(理科参考答案)
一、选择题:1-5:ADBCC 6-10:DABCD 11-12:BD 二、填空题: 13.

x2 y 2 ? ?1; 25 24

14. 2 13 ;

15. 1 ? k ?

2;

16.1

三、解答题: 17.解: (1)由题意得:M 关于 x 的对称点 M / (?2, ?3) ,…………………………2 分 则 l1 表示过 M 且平行于 3x ? 2 y ? 13 ? 0 的直线。设 l1 : 3x ? 2 y ? b ? 0 ,………4 分
/

l1 过点 M / (?2, ?3)

? b ? 0 ……………………………………………………6 分

? l1 的方程为: 3x ? 2 y ? 0 ……………………………………………………………7 分
(2)

l1 ∥ l2 .设 l1 与 l2 的距离为 d

?d ?

|13 ? 0 | ? 13 ……………………12 分 13

18. 解: (1)设直线方程为: y ? x ? b 直线与圆相切,设圆心到直线的距离为 d

?d ?

|b| ? 2 ? b ? ?2 2 2

…………………………………………………………4 分

? 切线方程为: x ? y ? 2 2 ? 0 …………………………………………………………6 分
(2)显然直线的斜率存在,且设斜率为 k

? 直线方程为: y ? kx ? 2 2
直线与圆相切 ?

2 2 k 2 ?1

? 2 ? k ? ?1 …………………………………………10 分
共 12 页 第 9 页

? 切线方程为: ? x ? y ? 2 2 ? 0 ……………………………………………………12 分

19.解: (1)设 P( x, y)

AP ? ( x, y ?1); BP ? ( x, y ?1); PC ? (1 ? x, y);

AP ? BP ? k | PC |2 ? x2 ? y 2 ?1 ? k[( x ?1)2 ? y 2 ]

? (1 ? k ) x2 ? (1 ? k ) y 2 ? 2kx ? k ?1 ? 0 (1)…………………………4 分
若k ?1 若k ?1 方程(1)可化简为: x ? 1 ,表示垂直于 x 轴的一条直线………5 分 方程(1)可化简为: ( x ?

k 2 1 2 ) ? y2 ? ( ) 1? k 1? k k 1 , 0) 为圆心,以 | | 为半径的圆……………………6 分 表示以 ( k ?1 1? k

(2)当 k ? 2 时,点 P 的轨迹方程为: ( x ? 2)2 ? y 2 ? 1……………………7 分

AP ? BP ? (2 x, 2 y) ? | AP ? BP |? 2 x 2 ? y 2 ? 2 4 x ? 3 ……………9 分
( x ? 2)2 ? y 2 ? 1
10 分 ] ? x ?[ 1 , 3………

? | AP ? BP |max ? 6 (当 x ? 3 时取得)………11 分

| AP ? BP |min ? 2 (当 x ? 1 时取得)……12 分
(注:用圆的参数方程求最值也可) 20.证明:显然直线 AB 的斜率不为 0,且斜率可以不存在

? 设直线方程为: x ? my ? b ………………………………………………3 分 ? y 2 ? 2 px ? 联立 ? ? y2 ? 2 p(my ? b) ? y 2 ? 2 pmy ? 2 pb ? 0 ………………6 分 ? x ? my ? b y1 y2 ? ?2 pb 又因为 y1 y2 ? ? p2 p p ? 0 ? b ? ………………………………………………8 分 ? ?2 pb ? ? p2 2 p p 直线恒过 ( , 0) ,即为抛物线的焦点……………10 分 ? 直线 AB 方程为: x ? my ? 2 2 ? 直线 AB 经过抛物线的焦点…………………………………………………………12 分
(注:若设方程为 y ? kx ? b ,但没有讨论斜率不存在的情况,只扣 2 分。)

共 12 页

第 10 页

21.解: (1)由题意:联立 ?

? x2 ? y2 ? 4 ? y ? kx ? 1

? (1 ? k 2 ) x2 ? 2kx ? 5 ? 0 …………2 分

当 k ? ?1 时,方程有一个解,此时只有一个公共点………………………………4 分 当 k ? ?1 时, ? ? 4k 2 ? 20(1 ? k 2 ) 由 4k 2 ? 20(1 ? k 2 ) ? 0 ? k ? ? 共点。

5 ,此时也只有一个公 2

? k ? ?1 或 k ? ?

5 ………………………………………………………………6 分 2

(或用双曲线的图像求出 k 也可以) (2)

l 与 C 的左右两支分别相交于 A, B 两点

?? ? 0 ?? ? ?1 ? k ? 1 …………………………………………………………8 分 ? x1 x2 ? 0

| x1 ? x2 |?

20 ? 16k 2 |1 ? k 2 |

又 | x1 ? x2 |? 2 5 ,……………………10 分

20 ? 16k 2 ?2 5 ? |1 ? k 2 |

? k 2 ? 0或k 2 ?

6 5

?1 ? k ? 1

? k ? 0 ……………………………………………………………………………12 分
22 . 解 : ( 1 ) 设 向 量 OF 与 向 量 FQ 的 夹 角 为 ? 则 S ?OFQ ?

1 | OF | ? | FQ | sin(? ? ? ) 2

?

1 | OF | ? | FQ | sin ? ? 2 3 …………………………………………………………1 分 2

由 OF ? FQ ? m ? | OF | ? | FQ | cos? ? m …………………………………………2 分

? | OF | ? | FQ |?

m 4 3 又 | OF | ? | FQ |? cos ? sin ?

? tan ? ?

4 3 …4 分 m

4?m? 4 3

n? ?1? t a ?

3

?? ?(

? ?

, ) ……5 分 4 3

共 12 页

第 11 页

(2)由题意:点 F 在 x 轴正半轴,且 F (c, 0) ,设 Q( x1 , y1 )

? OF ? (c , 0 )

FQ ? ( x1 ? c, y1 ) ,由 OF ? FQ ? m ? c( x1 ? c) ? ( 3 ?1)c2 ? x1 ? 3c ……6 分
又 S ?OFQ ? 2 3 ?

1 4 3 4 3 ch ? 2 3 ( h 为 Q 到 x 轴的距离) ? h ? …7 分 ? y1 ? ? 2 c c 4 4 3 ) ……8 分 ? M (c ,? ? 1 ) ? Q( 3c, ? c c
9) 分 (?2 , …1

又 OM ?

3 4 OQ ? j ? (c, ? ? 1) 3 c

? | OQ |? 3c 2 ?

48 ? 2 6 (当且仅当 c ? 2 时等号成立) ? M ( 2 , 3 或 )M c2
x2 y2 ? ?1 a2 a2 ? 4
2 2

? 设椭圆方程:

M 在椭圆上

当 M (2,3) 时, ? a ? 16或a ? 1(舍)

此时,椭圆方程为:

x2 y 2 ? ? 1 ……11 分 16 12
此 时 , 椭 圆 方 程 为 :

当 M (2, ?1)

? a2 ?

9 ? 17 9 ? 17 或a 2 ? (舍) 2 2

(9 ? 17) 2 ( 17 ? 1) 2 x ? y ? 1 …………13 分 32 8
综上:存在点 Q(2 3, 2 3)或Q(2 3, ?2 3) 使 | OQ | 最短,此时对应的椭圆分别是:

x2 y 2 (9 ? 17) 2 ( 17 ? 1) 2 ? ? 1或 x ? y ? 1 …………14 分 16 12 32 8

共 12 页

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