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山西省山西大学附属中学2015-2016学年高二数学2月模块诊断考试试题 理


山西大学附中 2015~2016 学年高二第二学期 2 月(总第六次)模块诊断数学试 题
考查时间:100 分钟 考查内容:必修二 选修 2-1 一.选择题:(每小题 4 分,共 48 分) 1.直线 x ? y ? 1 ? 0 的倾斜角与其在 y 轴上的截距分别是 ( A. 135? ,1 B. 45? , ?1 C. 45? ,1 )

D. 135? , ?1 考

【解析】 : 因为 k ? ?1 , 所以倾斜角为 135? ;令 x ? 0 , 得 y ? ?1 , 所以在 y 轴上的截距为 ?1 . 故选 D. 点:1.直线的倾斜角;2.截距的概念. 2.在空间直角坐标系中,点 关于 A. B. C. 【解析】 :在空间直角坐标系中, 于 平面的对称点的坐标是

平面的对称点的坐标是( D. 平面对称的点的坐标为



关于

,则 点



.故本题答案选 D.

考点:空间直角坐标系 3. 用一个平面去截正方体,则截面不可能是( ) A.正三角形 B.正方形 C.正五边形 D.正六边形 【解析】 :如图去截就能得到正三角形,故 A 正确;用平行于一个面截面去截取,所得截面为正方形,故 B 正确;在每个面选一对相邻的边的中点,并依次接接起来,所得截面为正六边形,故 D 正确;截面可画出 五边形但不可能是五边形,故 C 错,故选 C. 考点:正方体的性质.
2 4.若 x ? 1 ,则 x ? 1 的否命题为( C ) 2 A.若 x ? 1 ,则 x ? 1 2 C.若 x ? 1 ,则 x ? 1 2 B.若 x ? 1 ,则 x ? 1 2 D.若 x ? 1 ,则 x ? 1

5.已知双曲线 方程为( A. )

x2 y2 ? ? 1, (b ? 0) 实轴的一端点为 A ,虚轴的一端点为 B ,且 | AB |? 5 ,则该双曲线的 16 b 2

x2 y2 ? ?1 16 15

B.

x2 y2 ? ?1 16 12

C.

x2 y2 ? ?1 16 9

D.

x2 y2 ? ?1 16 3


2 2 2 2 2 2 【解析】 : 因为 | AB |? 5 ? a 2 ? b2 ? c , 所以 c ? a ? b 即 5 ? 16 ? b , 所以 b ? 9 , 故应选 C .

点 :1、双曲线及其标准方程.

E 为 AA1 中点,则异面直线 BE 与 CD1 所成的角的 6.已知正四棱柱 ABCD ? A , 1B 1C1D 1 中, AA 1 ? 2 AB
余弦值为( )

1

A.

10 10

B.

1 5


C.

3 10 10

D.

3 5

【解析】 :连接

在正四棱柱 ABCD ? A 1B 1C1D 1中 , 为异面直线 与

,且 所成的角. ,则



形, 为平行四边

在正四棱柱 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中令 在 中,





.故选 C.

考点:异面直线所成角. 【方法点晴】本题主要考查的是异面直线所成角,难度稍大.求异面直线所成角的步骤:1 找证角,即平移 两条异面直线或其中一条直线使两直线相交;2 定角,根据异面直线所成角的定义找到所求角;3 在三角 形中求角;4 结论. 7.已知 a ? (2, ?1,3) , b ? (?1, 4, ?2) , c ? (7,5, ? ) ,若 a 、 b 、 c 三向量共面,则实数 ? 等于 ( A.
? ? ?



65 7
?

B.

64 7
?

C.

63 7
?

D.

62 7

【解析】 :因为 a ? (2, ?1,3) , b ? (?1, 4, ?2) , c ? (7,5, ? ) , a 、 b 、 c 三向量共面,所以存在 p, q ,使

33 ? ?p ? 7 , ?2 p ? q ? 7, ? ? ? ? 17 ? ? , ,故选 A . 得 c ? p a ? q b ,所以 ? 4q ? p ? 5, ,解之得 ?q ? 7 ? ?? ? 3 p ? 2q ? 65 ? ?? ? 7 ?
考点:1、共面向量 2、平面向量的坐标运算. 8.已知正数 x, y 满足 ? A.1 B.

1 ?2 x ? y ? 0 ,则 z ? 4 ? x ? ( ) y 的最小值为( 2 ?x ? 3 y ? 5 ? 0
C.

)

13 2 4

1 16

D.

1 32

2

若圆 C 半径为 1,圆心在第一象限,且与直线 4 x ? 3 y ? 0 和 x 轴都相切,则该圆的标准方程是( A. ? x ? 2 ? ? ? y ? 1? ? 1
2 2



B. ? x ? 2 ? ? ? y ? 1? ? 1
2 2

C. ? x ? 2 ? ? ? y ? 1? ? 1
2 2

D. ? x ? 3? ? ? y ? 1? ? 1
2 2

【解析】 : 设圆心坐标为 ? a,b ? , 由题意知 a ? 0 , 且 b ? 1. 又∵圆和直线 4 x ? 3 y ? 0 相切, ∴ 即 | 4a-3 |? 5 , ? a ? 0 ,∴ a ? 2 .所以圆的方程为 ( x ? 2)2 ? ( y ?1)2 ? 1 .故选 A. 的位置关系. 9.一个四棱锥的底面为正方形,其三视图如图所示,则这个四棱锥的侧面积是(

4a ? 3 ? 1, 5

考点:直线与圆



A. 2 C. 3 2 ? 22 ? 2

B. 3 2 ? 26 D. 3 2 ? 22

【解析】 :由已知三视图可知对应几何体如下图的四棱锥: 由三视图可知: PA ? 平面 ABCD , BC ? 平面 ABCD ,所以 BC ? PA , 又 BC ? AB ,且 AB ? PA ? A 所以 BC ? 平面 PAB , 而 PB ? 平面 PAB ,故 BC ? PB ,同理 CD ? PD 所以四棱锥的侧面积为:

1 1 2 ? ? 2 ? 3 ? 2 ? ? 2 ? 11 ? 3 2 ? 22 .故选 D. 2 2
考点:1、三视图;2、锥体的体积.

P

3

13

A

2
2

D O
2

C

B

10.已知 F 1 (?c,0), F 2 (c,0) 为椭圆 离心率的取值范围是( A. [ )

???? ???? 2 x2 y 2 ? ? 1 的两个焦点, P 在椭圆上且满足 PF1 ? PF2 ? c ,则此椭圆 a 2 b2

3 ,1) 3

B. [

3 2 , ] 3 2

C. [ , ]

1 1 3 2

D. (0,

2 ] 2

【解析】 :设 P( x, y) ,则

x2 y 2 b2 2 2 2 y ? b ? x , ?a ? x ? a , ? ? 1 , a2 a 2 b2
3

则 PF 1 ? ?c ? x, ? y) , PF 2 ? (c ? x, ? y) ,

????

???? ?

???? ???? ? b2 c2 PF1 ? PF2 ? x2 ? c2 ? y2 ? (1 ? 2 ) x 2 ? b 2 ? c 2 ? 2 x 2 ? b2 ? c 2 , a a ???? ???? ? 2 2 2 因为 ? a ? x ? a ,所以 b ? c ? PF ? PF 1 2 ?b ,
所以 b2 ? c 2 ? c 2 ? b2 , ? 2c 2 ? a 2 ? 3c 2 ,所以

3 c 2 .故选 B. ? ? 3 a 2

考点:椭圆的几何性质. 11.给出下列命题: ①若直线 l 与平面 ? 内的一条直线平行,则 l ∥ ? ; ②若平面 ? ⊥平面 ? ,且 ? ? ? ? l ,则过 ? 内一点 P 与 l 垂直的直线垂直于平面 ? ;③ ?x0 ? ?3,??? ,

x0 ? ?2,??? ;
2 ④已知 a ? R ,则“ a ? 2 ”是“ a ? 2a ”的必要不充分条件.

其中正确命题的个数是( ) A.4 B.3 C.2 D.1 【解析】 :对于 ①,直线与平面平行的判定定理中的条件是直线在平面外,而本命题没有,故错误; 对于②,符合平面与平面垂直的性质定理,故正确; 对于③,考虑两个集合间的包含关系(2,+∞)?(3,+∞) ,而 x0∈(3,+∞) ,比如 x=4,则 4∈(2,+∞) , 故错误;
2 2 对于④, 由 a ? 2a 可以得到: 0< a ? 2 , 一定推出 a ? 2 , 反之不一定成立, 故“ a ? 2 ”是“ a ? 2a ”

的必要不充分条件,此命题正确. 综上知②④中的命题正确,故选 C. 考点:空间中直线与平面之间的位置关系;必要条件、充分条件与充要条件的判断. 12. 已知抛物线方程为 y ? 4 x , 直线 l 的方程为 x ? y ? 4 ? 0 , 在抛物线上有一动点 P 到 y 轴的距离为 d1 ,
2

P 到直线 l 的距离为 d2 ,则 d1 ? d2 的最小值为( )

A.

5 2 ?2 2

B.

5 2 ?1 2

C.

5 2 ?2 2

D.

5 2 ?1 2

【解析】 :如图,过点 P 作 PA⊥l 于点 A,作 PB⊥y 轴于点 B,PB 的延长线交准线 x=-1 于点 C,连接 PF, 根据抛物线的定义得 PA+PC=PA+PF, ∵P 到 y 轴的距离为 d1,P 到直线 l 的距离为 d2 , ∴ d1 ? d2 =PA+PB=(PA+PC)-1=(PA+PF)-1, 根据平面几何知识,可得当 P、A、F 三点共线时,PA+PF 有最小值,

4

∵F(1,0)到直线 l:x-y+4=0 的距离为

1? 0 ? 4 2

?

5 2 2
故选 D.

∴PA+PF 的最小值是

5 2 5 2 ,由此可得 d1 ? d2 的最小值为 ?1 2 2

考点:1.抛物线的简单性质;2.点到直线的距离公式 二.填空题:(每小题 4 分,共 16 分) 13.过点 (1, 0) 且与直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 平行的直线方程是为_____________. 【解析】 :根据题意设所求直线方程为 x ? 2 y ? c ? 0 ,将点 (1, 0) 代入,得 1 ? c ? 0 ,解得 c ? ?1 ,所以 所求方程为 x ? 2 y ? 1 ? 0 ,故选 A. 考点:两条直线平行的充要条件. 14.双曲线

x2 y2 ? ? 1, (a ? 0, b ? 0) 的焦点到其渐近线的距离是 a 2 b2



【解析】 : 因为双曲线

b x2 y2 ? 2 ? 1, (a ? 0, b ? 0) ,所以其焦点坐标为 (?c, 0) , 渐近线方程为: y ? ? x , 2 a a b

b c x y a 所以双曲线 2 ? 2 ? 1, (a ? 0, b ? 0) 的焦点到其渐近线的距离为 ? b ,故应填 b .考点:1、 a b b 2 1? ( ) a
2 2

双曲线的定义;2、双曲线的简单几何性质. 15. 平行四边形 ABCD 中,AB · BD =0, 沿 BD 将四边形折起成直二面角 A 一 BD-C, 且 2 AB ? BD ? 4 , 则三棱锥 A-BCD 的外接球的表面积为 .

??? ?

??? ?

2

2

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 【解析】 : AB ? BD ? 0 ,所以 AB ? BD ,因为 ABCD 为平行四边形 ,所以 CD ? BD, AB ? CD .因为
A ? BD ? C 为直二面角,所以面 ABD ? 面 CBD , 因为 ABD ? 面 CBD ? BD , AB ? 面 ABD , AB ? BD ,所以 AB ? 面 CBD . 因为 BC ? 面 CBD , 所以 AB ? BC .分析可知三棱锥 A ? BCD 的外接球的球心为 AC 的中点.因为

AC 2 ? AB2 ? BC 2 ? AB2 ? (CD2 ? BD2 ) ? 2 AB2 ? CD2 ? 4 ,所以 AC ? 2 .则三棱锥 A ? BCD 的外接
球的半径为 1,表面积为 4? . 考点:1.面面垂直的性质定理;2 三棱锥的外接球问题.
2 16 . 已 知 直 线 y ? k ? x ? 2?? k ? 0? 与 抛 物 线 C : y ? 8x 相 交 于 A, B 两 点 , F 为 C 的 焦 点 , 若

FA ? 2 FB ,则 k ?
2



【解析】 :设抛物线 C : y ? 8x 的准线为 l:x=-2, 直线 y=k(x+2) (k>0)恒过定点 P(-2,0)
5

如图过 A、B 分别作 AM⊥l 于 M,BN⊥l 于 N, 由|FA|=2|FB|,则|AM|=2|BN|, 点 B 为 AP 的中点、连接 OB,则|OB|= ∴|OB|=|BF|,点 B 的横坐标为 1, ∴点 B 的坐标为(1, ?2 2 ) , ∴k ?

1 |AF|, 2

?2 2 ? 0 2 2 2 2 ? k ? 0? k ? ?? 3 1 ? ? ?2 ? 3



考点:直线与抛物线相交的位置关系 三.解答题: (共 36 分) 17 .(本小题满分 8 分) 求过两圆 x 2 ? y 2 ? 6 x ? 4 ? 0 和 x 2 ? y 2 ? 6 y ? 28 ? 0 的交点,且圆心在直线 x ? y ? 4 ? 0 上的圆的方 程.

18.(本小题满分 8 分)已知抛物线 C1 的焦点与椭圆 C 2 :

x2 y2 ? ? 1 的右焦点重合,抛物线 C1 的顶点在 6 5

坐标原点,过点 M (4,0) 直线 l 与抛物线 C1 交于不同的两点 A 、 B . (Ⅰ)求抛物线 C1 的标准方程; (Ⅱ)若 AB ? 4 10 ,求直线 l 的方程.

6

(文科)已知函数 f ( x) ? ax ? (a ? 2) x ? ln x ,其中 a ? R .
2

(1)当 a ? 1 时,求曲线 y ? f ( x ) 的点 (1, f (1)) 处的切线方程; (2)当 a ? 0 时,若 f ( x) 在区间 ?1, e? 上的最小值为-2,求 a 的取值范围;
2 【解析】 : (1)当 a ? 1 时, f ( x) ? x ? 3x ? ln x ( x ? 0) ,

∴ f ?( x) ? 2 x ? 3 ?

1 2 x 2 ? 3x ? 1 ? ,∴ f (1) ? ?2, f ?(1) ? 0 . x x
7

∴切线方程为 y ? ?2 . (2)函数 f ( x) ? ax2 ? (a ? 2) x ? ln x 的定义域为 (0, ??) , 当 a ? 0 时, f ?( x) ? 2ax ? (a ? 2) ? 令 f ' ( x) ? 0 得 x ? ① 当0 ?

1 2ax 2 ? (a ? 2) x ? 1 (2 x ?1)( ax ?1) ? ? , x x x

1 1 或x ? , 2 a

1 ? 1 ,即 a ? 1 时, f ( x) 在 ?1, e? 上递增, a

∴ f ( x) 在 ?1, e? 上的最小值为 f (1) ? ?2 ,符合题意; ② 当1 ?

1 1 ? 1? ?1 ? ? e ,即 ? a ? 1 时, f ( x) 在 ?1, ? 上递减,在 ? , e ? 上递增, a e ? a? ?a ? 1 a

∴ f ( x) 在 ?1, e? 上的最小值为 f ( ) ? f (1) ? ?2 ,不合题意; ③ 当

1 1 ? e ,即 0 ? a ? 时, f ( x) 在 ?1, e? 上递减, a e

∴ f ( x) 在 ?1, e? 上的最小值为 f (e) ? f (1) ? ?2 ,不合题意; 综上, a 的取值范围是 ?1, ?? ? .

19. (本小题满分 10 分) 如图,平面 ABCD ? 平面 ABE ,四边形 ABCD 是边长为 2 CE 上的点,且 BF ? 平面 ACE . (1)求证 AE ? 平面 BCE ; (2)设 的正方形, F 为

AE ? ? ,是否存在 ? ,使二面角 B ? AC ? E 的余弦值 EB



3 ?若存 3

在,求 ? 的值;若不存在,说明理由. 【解析】 : (1)证明:? BF ? 平面 ACE ? BF ? AE . ? 平面 ABCD ? 平面 ABE ,四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形, ? CB ? 平面 ABE ? CB ? AE ? AE ? 平面 BCE . (2)以 A 为原点, 垂直于平面 ABCD 的直线 AG 为 x 轴,
8

AB 所在直线为 y 轴, AD 为 z 轴,如图所示建立空间直角坐标系 A ? xyz ,
假设存在 ? ,使二面角 B ? AC ? E 的余弦值为 设 E (a, b,0) ,则 AE ? (a, b,0) , AC ? (0, 2, 2) 设平面 AEC 的一个法向量 n ? ( x, y, z) ,则

3 . 3

??? ?

??? ?

?

??? ? ? ? b ? ? AE ?ax ? by ? 0 ? ?n ? 0 ? x ? ? y, ,解得 ? a ? ???? ? ? ,即 ? 2 y ? 2 z ? 0 AC ? n ? 0 ? ? ? ? z ? ? y . ?
令 y ? a ,得 n ? (?b, a, ?a) 是平面 EAC 的一个法向量. 又平面 BAC 的一个法向量为 m ? (1,0,0) ,

?

??

?? ? ?? ? b m?n 3 2 2 ? 由 cos m, n ? ?? ? ? ,化简得 a ? b ①, 2 2 3 m?n 2a ? b
又因为 AE ? 平面 BCE ,所以 AE ? BE , 所以 AE ? BE ? 0 ,即 a 2 ? b(b ? 2) ? 0 ②, 联立①②,解得 b ? 0 (舍) , b ? 1.
2 2 由 AE ? a ? b , BE ?

??? ? ??? ?

a 2 ? (b ? 2) 2 ,所以 AE ? BE .

所以当 ? ? 1 时,二面角 B ? AC ? E 的余弦值为

3 . 3

考点:1、线面垂直,面面垂直 的判定与性质;2、二面角的求法. (文科)如图,在四棱锥 E ? ABCD 中, AE ? DE , CD ? 平面 ADE , AB ? 平面 ADE , CD ? DA ? 6 ,

AB ? 2 , DE ? 3 .
(Ⅰ)求棱锥 C ? ADE 的体积; (Ⅱ)求证:平面 ACE ? 平面 CDE ; (Ⅲ)在线段 DE 上是否存在一点 F ,使 AF // 平面 BCE ?若存在,求出 【解析】 : (Ⅰ)在 RtΔADE 中, AE ? 因为 CD ? 平面 ADE ,

EF ED

的值;若不存在,说明理由.

AD2 ? DE2 ? 3 3

1 AE ? DE ? ? CD ? 9 3 . 3 3 2 (Ⅱ)证明:因为 CD ? 平面 ADE , AE ? 平面 ADE , 所以 CD ? AE .又因为 AE ? DE , CD ? DE ? D ,
所以棱锥 C ? ADE 的体积为 VC ? ADE ?

1

SΔADE ? CD ?

9

所以 AE ? 平面 CDE .又因为 AE ? 平面 ACE , 所以平面 ACE ? 平面 CDE . EF 1 ? , (Ⅲ)结论:在线段 DE 上存在一点 F ,且 ED 3 使 AF // 平面 BCE . EF 1 ? , 过点 F 作 FM //CD 交 CE 于 M , 解:设 F 为线段 DE 上一点, 且 ED 3 1 则 FM = CD .因为 CD ? 平面 ADE , AB ? 平面 ADE ,所以 CD //AB . 3 又因为 CD ? 3 AB 所以 MF ? AB , FM //AB ,所以四边形 ABMF 是平行四边形, 则 AF //BM .又因为 AF ? 平面 BCE , BM ? 平面 BCE ,所以 AF // 平面 BCE .

考点:几何体的体积;直线与平面平行的判定;平面与平面垂直的判定与证明.

20.(本小题满分 10 分)

x2 y 2 已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的下顶点为 P (0,-1) , P 到焦点的距离为 2 . a b
(Ⅰ)设 Q 是椭圆上的动点,求 | PQ | 的最大值; (Ⅱ)若直线 l 与圆 O : x ? y ? 1 相切,并与椭圆 C 交于不同的两点 A 、 B .当 OA? OB ? ? ,且满足
2 2

2 3 ? ? ? 时,求 ?AOB 面积 S 的取值范围. 3 4

x2 ? y2 ? 1 【解析】 : (1)易知椭圆的方程为 2
设 Q ( x, y ) ,则

PQ ? x 2 ? ( y ? 1) 2 ? 2(1 ? y 2 ) ? ( y ? 1) 2 ? ?( y ? 1) 2 ? 4(?1 ? y ? 1) .
10

∴当 y ? 1 时, PQ max ? 2 . (2)依题结合图形知的斜率不可能为零,所以设直线 l 的方程为 x ? my ? n ( m ? R ) . ∵直线 l 即 x ? my ? n ? 0 与圆 O: x 2 ? y 2 ? 1 相切, ∴有

|n| m ?1
2

? 1得 n 2 ? m 2 ? 1 .
? x ? my ? n
2 2 ?x ? 2 y ? 2 ? 0

又∵点 A、B 的坐标( x1 , y1 ) 、 ( x2 , y 2 )满足 ? 消去整理得 (m 2 ? 2) y 2 ? 2mny? n 2 ? 2 ? 0 , 由韦达定理得 y1 ? y 2 ? ?

n2 ? 2 2mn y y ? , . 1 2 m2 ? 2 m2 ? 2

其判别式 ? ? 4m 2 n 2 ? 4(m 2 ? 2)(n 2 ? 2) ? 8(m 2 ? n 2 ? 2) ? 8 , 又由求根公式有 y1、 2 ?
? ?

? 2mn ? ? . 2(m 2 ? 2)

∵ ? = OA? OB = x1 x2 ? y1 y 2 ? (my1 ? n)(my2 ? n) ? y1 y2

? (m 2 ? 1) y1 y 2 ? m n( y1 ? y 2 ) ? n 2 ?

3n 2 ? 2m 2 ? 2 m 2 ? 1 ? 2 . m2 ? 2 m ?2

S ?AOB ?
?

? ? ? 1 ? 1 ? 2 ? 2 | OA || OB | sin ?AOB ? OA ? OB ? (OA? OB) 2 2 2

1 1 1 | x1 y 2 ? x 2 y1 | ? | (my 1 ? n) y 2 ? (my 2 ? n) y1 |? | n( y 2 ? y1 ) | 2 2 2

?

1 ? m2 ?1 m2 ? 1 1 | n|? 2 ? 2? . ? 2 ? ? 2 2 2 2 2 m ?2 ( m ? 2) m ?2 m ?2



m2 ? 1 1 m2 ? 1 ? 2 3 ? ? ? ? 1 ? ,且 ? , ?. m2 ? 2 m2 ? 2 m2 ? 2 ? ?3 4?
? 6 2? 2 ? ? ? (1 ? ? ) ? ? , ? . ? 4 3?

∴ S ?AOB ?

考点:1.椭圆的几何性质;2.直线与圆的位置关系.

11


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