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江苏省启东中学2008~2009学年度第一学期期中考试高二数学试题2008.11


江苏省启东中学 2008~2009 学年度第一学期期中考试

高二数学试卷
考试时间:120 分钟 试卷满分:160 分

友情提醒:将所有答案填在答题纸中。 一、填空题: (本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分;要求答案为最简结果。 )
1.已知函数 f ( x ) ?
s in x x
2

,则 f '( x ) ? ___▲__
2

_; ▲ 条件。

2. a ? 1 ”是“函数 y ? cos “ 3.抛物线 y ? ?
1 2
2

ax ? sin

2

ax 的最小正周期为 ? ”的

x 的焦点坐标是___▲_______.
2

4.命题“ ? m ? N , 使 m

? 2。 ”的否定是



5.双曲线的两条渐近线的夹角为

?
3

,则双曲线的离心率是______▲________. ▲
y
2

6.函数 y ? x ? 2 sin x 在 (0, ? ) 上的单调递增区间为
x
2

7.与曲线

?

y

2

? 1 共焦点并且与曲线

x

2

?

? 1 共渐近线的双曲线方程为

24

49

36

64

▲ . 8. (理科做)若三个平面两两垂直,它们的法向量分别为 a=(1,-2,z) ,b=(x,2,-4) , c=(-1,y,3) ,则 x+y+z= ▲ 8. (文科做)从数字 1,2,3,4,5 中任取两个不同的数字构成一个两位数,则这个两位数 大于 40 的概率是 ▲ . 9.我国于 07 年 10 月 24 日成功发射嫦娥一号卫星,并经四次变轨飞向月球。嫦娥一号绕地 球运行的轨迹是以地球的地心为焦点的椭圆。若第一次变轨前卫星的近地点到地心的距离为 m,远地点到地心的距离为 n,第二次变轨后两距离分别为 2m、2n(近地点是指卫星到地面 的最近距离,远地点是最远距离) ,则第一次变轨前的椭圆的离心率比第二次变轨后的椭圆 的离心率 ▲ .(填变大或变小或不变) 10. (理科做)若等腰直角三角形 ABC 沿斜边 BC 上的高 AD 折成一个二面角,使得折叠后∠ BAC=60 ,则所折成的二面角的大小为
0



.

?x ? 3y ? 4 ? 0 ? 2 2 x ? 0 10. (文科做)若在区域 ? 内任取一点 P,则点 P 落在单位圆 x ? y ? 1 内的概 ? y ? 0 ?

率为




2

11.已知曲线 C : y ? 2 x ,点 A(0,-2)及点 B(3,a) ,从点 A 观察点 B,要使视线不被曲线 C 挡住,则实数 a 的取值范围是 ▲ . 12.①命题“若 xy ? 1 ,则 x , y 互为倒数”的逆命题;
第 1 页 共 12 页

②命题“面积相等的三角形全等”的否命题; ③命题“若 m ? 1 ,则 x ? 2 x ? m ? 0 有实根”的逆否命题; ④命题“若 A ? B ? B ,则 A ? B ”的逆否命题。 其中是真命题的序号是 ▲
2

13.设 f ( x ), g ( x ) 分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数,当 x ? 0 时,
f ? ( x ) g ( x ) ? f ( x ) g ? ( x ) ? 0 , 且 g ( ? 3 ) ? 0 , 则不等式 f (x)g (x) ? 0

的解集为





14.椭圆

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 )

的中心、右焦点、右顶点及右准线与 x 轴的交点依次为 O、F、 ▲

G、H,则

FG OH

的最大值为

二、解答题: (本大题共 6 小题,第 15~17 题每小题 14 分,第 18~20 题每小题 16 分,共 90 分;解答时需写出计算过程或证明步骤。 ) 15. (本小题满分 14 分) 已知抛物线的焦点 F 在 x 轴上,点 A(m,-3)在抛物线上,且 AF=5,求抛物线的的标准 方程

16. (本小题满分 14 分) 已知 a > 0,a≠1,设 p:函数 y =loga(x+1)在(0,+∞)上单调递减;q:曲线 y = x2+(2a-3)x+1 与 x 轴 交于不同的两点,如果 p 且 q 为假命题,p 或 q 为真命题,求 a 的取值范围.

17. (本小题满分 14 分)
第 2 页 共 12 页

设函数 f ( x ) ? ax ? bx
3

2

? cx ? d 的图象与 y 轴的交点为 P,且曲线在 P 点处的切线方

程为 24 x ? y ? 12 ? 0 .若函数 f ( x ) 在 x=2 处取得极小值-16. (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的解析式; (Ⅱ)确定函数 f ( x ) 的单调减区间.

18. (本题满分 16 分) (理科做) 如图, 正四棱锥中 P ? A B C D ,点 E , F 分别在棱 P A , B C 上,且 A E ? 2 P E , (1)问点 F 在何处时, E F ? A D (2)当 E F ? A D 且正三角形 P A B 的边长为 a 时,求点 F 到平面 P A B 的 距离; (3)在第(2)条件下,求二面角 C ? P A ? B 的大小. (文科做)袋中有红、白色球各一个,有放回地抽三次,写出所有的基本事件,并计算下列 事件的概率: (1)三次颜色恰有两次同色; (2)三次颜色全相同; (3)三次抽取的球中红色球出现的次数多于白色球出现的次数。

y

19. (本题满分 16 分) 如图,已知 A、B、C 是长轴长为 4 的椭圆上的三点,
O
第 3 页 共 12 页

C A
x

B

点 A 是长轴的右顶点,BC 过椭圆中心 O,且 AC · BC =0, | B C |? 2 | A C | , (1)求椭圆的方程; (2)若过 C 关于 y 轴对称的点 D 作椭圆的切线 DE,则 AB 与 DE 有什么位置关系?证明你的 结论.

??? ?

????

20、 (本题满分 16 分) 已知 b>-1,c>0,函数 f ( x ) ? x ? b 的图象与函数 g ( x ) ? x ? bx ? c 的图象相切.
2

(Ⅰ)设 b ? ? ( c ),求 ? ( c ); (Ⅱ)是否存在常数 c,使得函数 H ( x ) ? f ( x ) g ( x ) 在 ( ?? , ?? ) 内有极值点?若存在, 求出 c 的取值范围;若不存在,请说明理由.

江苏省启东中学 2008~2009 学年度第一学期期中考试

第 4 页

共 12 页

高二数学试卷答题纸
注意:请在各题规定的黑色矩形区域内答题,超出该区域的答案无效!
一、填空题:本题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分,把答案写在题中横线上. 1. 3. 5. 7. 9. 11. ; ; ; ; ; ; 2. 4. 6. 8. 10. 12. ; ; ; ; ; ;

13. ; 14. . 二、本大题共 6 小题,计 90 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15.(本题满分 14 分)

16.(本题满分 14 分)

第 5 页

共 12 页

17.(本题满分 14 分)

18.(本题满分 16 分)

第 6 页

共 12 页

19.(本题满分 16 分)

20.(本题满分 16 分)

第 7 页

共 12 页

高二数学试卷答案
1、
x c o s x ? 2 s in x x
3

2、充分不必要
2 3 3

3、 (0 , ?
?
3

1 2

)

4、 ? m ? N , 使 m
y
2

2

? 2

5、 3 或

6、 (
2 5

,? )

7、

?

x

2

?1

8、 (理)-107
第 8 页

8、 (文)
共 12 页

9、不变

16

9

10、 (理)90

0

10、 (文)

3? 32

11、 (-∞,10) 14、
1 4

12、 ①,②,③ 15. y ? ? 2 x 或 y ? ? 18 x
2 2

13、 ( ?? , ? 3 ) ? ( 0 , 3 )

16.解:由题意知 p 与 q 中有且只有一个为真命题, 当 0<a<1 时,函数 y ? log a ? x ? 1 ? 在(0,+∞)上单调递减; 当 a>1,函数 y ? log a ? x ? 1 ? 在(0,+∞)上不是单调递减; 曲线 y=x2+(2a-3)x+1 与 x 轴交于两点等价于(2a-3)2-4>0,即 a<
1 2

或 a>

5 2

(1)若 p 正确,q 不正确,即函数 y ? log a ? x ? 1 ? 在(0,+∞)上单调递减, 曲线 y=x2+(2a-3)x+1 与 x 轴不交于两点, 因此 a∈(0,1)∩([
1 2

,1]∪(1,

5 2

),即 a∈ ? ,1 ? )
?2 ?

?1

?

(2) p 不正确,q 正确,即函数 y=loga(x+1)在 若 (0,+∞) 上不是单调递减, 曲线 y=x2+(2a-3)x+1 与 x 轴交于两点, 因此 a∈(1,+∞)∩( (0, 综上,a 取值范围为[
1 2 1 2

)∪(
5 2

5 2

,+∞) 即 a∈( )

5 2

,+∞)

,1]∪(
2

,+∞)

17. (Ⅰ) f ' ( x ) ? 3 ax

? 2 bx ? c ,则 f ' ( 0 ) ? c .

又直线 24 x ? y ? 12 ? 0 的斜率为-24,故 c=-24. 把 x ? 0 代入 24 x ? y ? 12 ? 0 ,得 y ? 12 .故 P(0,12) .由此可得 d ? 12 . ∴
f ( x ) ? ax
3

? bx

2

? 24 x ? 12 .

由 f ( x ) 在 x ? 2 处取极小值-16,得
? ? 16 ? 8 a ? 4 b ? 36 , ? a ? 1, 解得 ? ? ? 0 ? 12 a ? 4 b ? 24 . ?b ? 3.



f (x) ? x ? 3x
3

2

? 24 x ? 12 .

第 9 页

共 12 页

(Ⅱ) f ' ( x ) ? 3 x ? 6 x ? 24 ,令 f ' ( x ) ? 0 ,得 ? 4 ? x ? 2 .
2



f ( x ) 的单调减区间是(-4,2) .

18. (理科做)解:(1)作 P O ? 平 面 A B C D ,依题意 O 是 正方形 A B C D 的中心,如图建立空间坐标系.


2 6 ???? AD ? (? 2 3 2 2

AB ? a, PO ? b

,

E(

a , 0,

b ), F ( m ,

2 2

a ? m , 0) .

?????????2 分

a, ?

2 2

??? ? a , 0) , E F ? (m ?

2 6

a,

2 2

a ? m,?

2 3 2

b) .

???? ??? ? A D ?E F ? 0 ? m ?
?

2 6

a?

2 2

a?m ? 0

? m ? ?
? AD

a.

6

当 F 为 B C 的三等分点(靠近 B )时,有 E F

.

??????4 分

(2) 设点 F 到平面 P A B 的距离为 d .
2 2 ??? ? PA ? ( 2 2 2 2 2 2 ??? ? a ) , A B ? (? 2 2 a , 0, 0) , F (? 2 6 2 2 2 3 ??? ? FB ? ( 2 6 2 6

P (0, 0,

a) , A(

a,

a, 0)

a,

a, 0)

a , 0, ?

a,

? a , 0 ) ,设面 P A B 的法向量为 n ? ( x , y , z )

? 2 2 ax ? az ? 0 ? ? 2 2 ?? 2 2 ? ? ax ? ay ? 0 ? ? 2 2
? ? n ? ( 1 , 1 , ,1 )
2 3 3

???????????????????? 6 分

? ??? ? n ?F B ?? ? ? ?d ? |n|

a ?

6 9

a.

??????????8 分
?

(3)设二面角 C

? AP ? B

的平面角为 ? ,平面 P A B 的法向量为 n ? (1,1,1) .
第 10 页 共 12 页






2 2

PAC











?? ? n2 ? ( x, y , z )

,

?? ??? ? ? n1 ? O B ? ( 0 ,

a , 0 ) .?????????????10 分

? ?? n ?n1 ? co s ? ? ? ?? ? n n1

2 2 3?

a ? 2 2 a

3 3

.

? ? ? a rc c o s

3 3

.

?????????????????12 分

(文科做)基本事件共 8 个 (1)
3 4
x
2

(2)

1 4

(3)

1 2

19. (1)A(2,0) ,设所求椭圆的方程为:
? y b
? 2

=1(0<b<2),

??2 分

4

由椭圆的对称性知,|OC|=|OB|, 由 AC · BC =0 得,AC⊥BC, ∵|BC|=2|AC|,∴|OC|=|AC|,∴△AOC 是等腰直角三角形, ∴C 的坐标为(1,1) . ??4 分 ∵C 点在椭圆上,∴ 所求的椭圆方程为
x
1
2

?

1 b
2

=1,∴b2= =1.

4 3

. ??8 分

4
2

?

3y 4

2

4

(2)是平行关系.????10 分 D(-1,1) ,设所求切线方程为 y-1=k(x+1)
? y ? kx ? k ? 1 ? 2 2 2 2 2 ,消去 x, (1 ? 3 k ) x ? 6 k ( k ? 1) x ? 3( k ? 1) ? 4 ? 0 ????12 分 ?x 3y ? ?1 ? ? 4 4

上述方程中判别式= 9 k ? 6 k ? 1 ? 0 , k ?
2

1 3

又 k AB ?

1 3

,所以 AB 与 DE 平行.????16 分
2

20、解: (Ⅰ)由 f ( x ) ? g ( x ) ? x ? ( b ? 1) x ? c ? b ? 0 , 依题设可知,△=(b+1)2-4c=0.
第 11 页 共 12 页

∵ b ? ? 1, c ? 0 . ∴ b ? 1 ? 2 c,即 b ? ? ( c ) ? 2 c ? 1 (Ⅱ)由 H ( x ) ? ( x ? b )( x ? bx ? c ) ? x ? 2 bx
2 3 2 2 可得 H ? ( x ) ? 3 x ? 4 bx ? ( b ? c ). 2

? (b

2

? c ) x ? bc ,

令 3 x ? 4 bx ? ( b ? c ) ? 0 , 依题设欲使函数 H ( x ) 在 ( ?? , ?? ) 内有极值点,
2 2

则须满足 ? ? 4 ( b ? 3 c ) ? 4 ( c ? 4 c ? 1) ? 0
2

亦即

c ? 4 c ? 1 ? 0,解得

c ? 2?

3或

c ? 2?

3



? 又 c ? 0, 0 ? c ? 7 ? 4 3 或 c ? 7 ? 4 3

故存在常数 c ? ( 0 , 7 ? 4 3 ) ? ( 7 ? 4 3 , ?? ) ,使得函数 H ( x ) 在 ( ?? , ?? ) 内有极值点. (注:若 ? ? 0 ,则应扣 1 分.)

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