江苏省启东中学2008～2009学年度第一学期期中考试高二数学试题2008.11

江苏省启东中学 2008～2009 学年度第一学期期中考试

高二数学试卷
考试时间：120 分钟 试卷满分：160 分

友情提醒：将所有答案填在答题纸中。 一、填空题： （本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分；要求答案为最简结果。 ）
1.已知函数 f ( x ) ?
s in x x
2

，则 f '( x ) ? ___▲__
2

_； ▲ 条件。

2． a ? 1 ”是“函数 y ? cos “ 3．抛物线 y ? ?
1 2
2

ax ? sin

2

ax 的最小正周期为 ? ”的

x 的焦点坐标是___▲_______.
2

4．命题“ ? m ? N , 使 m

? 2。 ”的否定是

▲

5．双曲线的两条渐近线的夹角为

?
3

，则双曲线的离心率是______▲________． ▲
y
2

6．函数 y ? x ? 2 sin x 在 (0, ? ) 上的单调递增区间为
x
2

7．与曲线

?

y

2

? 1 共焦点并且与曲线

x

2

?

? 1 共渐近线的双曲线方程为

24

49

36

64

▲ . 8． （理科做）若三个平面两两垂直，它们的法向量分别为 a=（1，-2，z） ，b=（x，2，-4） ， c=（-1，y，3） ，则 x+y+z= ▲ 8． （文科做）从数字 1，2，3，4，5 中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数 大于 40 的概率是 ▲ ． 9．我国于 07 年 10 月 24 日成功发射嫦娥一号卫星，并经四次变轨飞向月球。嫦娥一号绕地 球运行的轨迹是以地球的地心为焦点的椭圆。若第一次变轨前卫星的近地点到地心的距离为 m，远地点到地心的距离为 n，第二次变轨后两距离分别为 2m、2n（近地点是指卫星到地面 的最近距离，远地点是最远距离） ，则第一次变轨前的椭圆的离心率比第二次变轨后的椭圆 的离心率 ▲ .（填变大或变小或不变） 10． （理科做）若等腰直角三角形 ABC 沿斜边 BC 上的高 AD 折成一个二面角，使得折叠后∠ BAC=60 ,则所折成的二面角的大小为
0

▲

.

?x ? 3y ? 4 ? 0 ? 2 2 x ? 0 10． （文科做）若在区域 ? 内任取一点 P，则点 P 落在单位圆 x ? y ? 1 内的概 ? y ? 0 ?

率为

▲

。
2

11．已知曲线 C : y ? 2 x ，点 A（0，－2）及点 B（3，a） ，从点 A 观察点 B，要使视线不被曲线 C 挡住，则实数 a 的取值范围是 ▲ . 12．①命题“若 xy ? 1 ，则 x ， y 互为倒数”的逆命题；
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②命题“面积相等的三角形全等”的否命题； ③命题“若 m ? 1 ，则 x ? 2 x ? m ? 0 有实根”的逆否命题； ④命题“若 A ? B ? B ，则 A ? B ”的逆否命题。 其中是真命题的序号是 ▲
2

13．设 f ( x ), g ( x ) 分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数，当 x ? 0 时，
f ? ( x ) g ( x ) ? f ( x ) g ? ( x ) ? 0 , 且 g ( ? 3 ) ? 0 , 则不等式 f (x)g (x) ? 0

的解集为

▲

。

14．椭圆

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 )

的中心、右焦点、右顶点及右准线与 x 轴的交点依次为 O、F、 ▲

G、H，则

FG OH

的最大值为

二、解答题： （本大题共 6 小题，第 15～17 题每小题 14 分，第 18～20 题每小题 16 分，共 90 分；解答时需写出计算过程或证明步骤。 ） 15． （本小题满分 14 分） 已知抛物线的焦点 F 在 x 轴上，点 A（m,-3）在抛物线上，且 AF=5，求抛物线的的标准 方程

16． （本小题满分 14 分） 已知 a > 0,a≠1,设 p:函数 y =loga(x+1)在(0,+∞)上单调递减;q:曲线 y = x2+(2a-3)x+1 与 x 轴 交于不同的两点,如果 p 且 q 为假命题,p 或 q 为真命题,求 a 的取值范围.

17． （本小题满分 14 分）
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设函数 f ( x ) ? ax ? bx
3

2

? cx ? d 的图象与 y 轴的交点为 P，且曲线在 P 点处的切线方

程为 24 x ? y ? 12 ? 0 ．若函数 f ( x ) 在 x＝2 处取得极小值－16． （Ⅰ）求函数 f ( x ) 的解析式； （Ⅱ）确定函数 f ( x ) 的单调减区间．

18． （本题满分 16 分） （理科做） 如图， 正四棱锥中 P ? A B C D ,点 E , F 分别在棱 P A , B C 上，且 A E ? 2 P E ， (1)问点 F 在何处时， E F ? A D (2)当 E F ? A D 且正三角形 P A B 的边长为 a 时,求点 F 到平面 P A B 的 距离; (3)在第(2)条件下，求二面角 C ? P A ? B 的大小. （文科做）袋中有红、白色球各一个，有放回地抽三次，写出所有的基本事件，并计算下列 事件的概率： （1）三次颜色恰有两次同色； （2）三次颜色全相同； （3）三次抽取的球中红色球出现的次数多于白色球出现的次数。

y

19. （本题满分 16 分） 如图，已知 A、B、C 是长轴长为 4 的椭圆上的三点，
O
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C A
x

B

点 A 是长轴的右顶点，BC 过椭圆中心 O，且 AC · BC =0， | B C |? 2 | A C | ， （1）求椭圆的方程； （2）若过 C 关于 y 轴对称的点 D 作椭圆的切线 DE，则 AB 与 DE 有什么位置关系？证明你的 结论.

??? ?

????

20、 （本题满分 16 分） 已知 b>－1，c>0，函数 f ( x ) ? x ? b 的图象与函数 g ( x ) ? x ? bx ? c 的图象相切.
2

（Ⅰ）设 b ? ? ( c )，求 ? ( c ); （Ⅱ）是否存在常数 c，使得函数 H ( x ) ? f ( x ) g ( x ) 在 ( ?? , ?? ) 内有极值点？若存在， 求出 c 的取值范围；若不存在，请说明理由.

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高二数学试卷答题纸
注意：请在各题规定的黑色矩形区域内答题，超出该区域的答案无效！
一、填空题：本题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分，把答案写在题中横线上. 1. 3. 5. 7. 9. 11. ； ； ； ； ； ； 2. 4. 6. 8. 10. 12. ； ； ； ； ； ；

13. ； 14. . 二、本大题共 6 小题，计 90 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.（本题满分 14 分）

16.（本题满分 14 分）

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17.（本题满分 14 分）

18.（本题满分 16 分）

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19.（本题满分 16 分）

20.（本题满分 16 分）

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高二数学试卷答案
1、
x c o s x ? 2 s in x x
3

2、充分不必要
2 3 3

3、 (0 , ?
?
3

1 2

)

4、 ? m ? N , 使 m
y
2

2

? 2

5、 3 或

6、 (
2 5

,? )

7、

?

x

2

?1

8、 （理）-107
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8、 （文）
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9、不变

16

9

10、 （理）90

0

10、 （文）

3? 32

11、 （－∞，10） 14、
1 4

12、 ①，②，③ 15． y ? ? 2 x 或 y ? ? 18 x
2 2

13、 ( ?? , ? 3 ) ? ( 0 , 3 )

16.解：由题意知 p 与 q 中有且只有一个为真命题， 当 0<a<1 时，函数 y ? log a ? x ? 1 ? 在（0，+∞）上单调递减； 当 a>1，函数 y ? log a ? x ? 1 ? 在（0，+∞）上不是单调递减； 曲线 y=x2+(2a-3)x+1 与 x 轴交于两点等价于（2a-3）2-4>0，即 a<
1 2

或 a>

5 2

（1）若 p 正确，q 不正确，即函数 y ? log a ? x ? 1 ? 在（0，+∞）上单调递减， 曲线 y=x2+(2a-3)x+1 与 x 轴不交于两点， 因此 a∈（0，1）∩（[
1 2

，1]∪（1，

5 2

），即 a∈ ? ,1 ? ）
?2 ?

?1

?

（2） p 不正确,q 正确,即函数 y=loga(x+1)在 若 （0,+∞） 上不是单调递减, 曲线 y=x2+(2a-3)x+1 与 x 轴交于两点, 因此 a∈（1,+∞）∩（ （0, 综上，a 取值范围为[
1 2 1 2

）∪（
5 2

5 2

,+∞） 即 a∈（ ）

5 2

，+∞）

，1]∪(
2

，+∞)

17． （Ⅰ） f ' ( x ) ? 3 ax

? 2 bx ? c ，则 f ' ( 0 ) ? c ．

又直线 24 x ? y ? 12 ? 0 的斜率为－24，故 c＝－24． 把 x ? 0 代入 24 x ? y ? 12 ? 0 ，得 y ? 12 ．故 P（0，12） ．由此可得 d ? 12 ． ∴
f ( x ) ? ax
3

? bx

2

? 24 x ? 12 ．

由 f ( x ) 在 x ? 2 处取极小值－16，得
? ? 16 ? 8 a ? 4 b ? 36 , ? a ? 1, 解得 ? ? ? 0 ? 12 a ? 4 b ? 24 . ?b ? 3.

∴

f (x) ? x ? 3x
3

2

? 24 x ? 12 ．

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（Ⅱ） f ' ( x ) ? 3 x ? 6 x ? 24 ，令 f ' ( x ) ? 0 ，得 ? 4 ? x ? 2 ．
2

∴

f ( x ) 的单调减区间是（－4，2） ．

18． （理科做）解:(1)作 P O ? 平 面 A B C D ,依题意 O 是 正方形 A B C D 的中心,如图建立空间坐标系.

设
2 6 ???? AD ? (? 2 3 2 2

AB ? a, PO ? b

,

E(

a , 0,

b ), F ( m ,

2 2

a ? m , 0) .

?????????2 分

a, ?

2 2

??? ? a , 0) , E F ? (m ?

2 6

a,

2 2

a ? m,?

2 3 2

b) .

???? ??? ? A D ?E F ? 0 ? m ?
?

2 6

a?

2 2

a?m ? 0

? m ? ?
? AD

a.

6

当 F 为 B C 的三等分点(靠近 B )时，有 E F

.

??????4 分

(2) 设点 F 到平面 P A B 的距离为 d .
2 2 ??? ? PA ? ( 2 2 2 2 2 2 ??? ? a ) , A B ? (? 2 2 a , 0, 0) , F (? 2 6 2 2 2 3 ??? ? FB ? ( 2 6 2 6

P (0, 0,

a) , A(

a,

a, 0)

a,

a, 0)

a , 0, ?

a,

? a , 0 ) ,设面 P A B 的法向量为 n ? ( x , y , z )

? 2 2 ax ? az ? 0 ? ? 2 2 ?? 2 2 ? ? ax ? ay ? 0 ? ? 2 2
? ? n ? ( 1 , 1 , ,1 )
2 3 3

???????????????????? 6 分

? ??? ? n ?F B ?? ? ? ?d ? |n|

a ?

6 9

a.

??????????8 分
?

(3)设二面角 C

? AP ? B

的平面角为 ? ，平面 P A B 的法向量为 n ? (1,1,1) .
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设

平

面
2 2

PAC

的

法

向

量

为

?? ? n2 ? ( x, y , z )

,

?? ??? ? ? n1 ? O B ? ( 0 ,

a , 0 ) .?????????????10 分

? ?? n ?n1 ? co s ? ? ? ?? ? n n1

2 2 3?

a ? 2 2 a

3 3

.

? ? ? a rc c o s

3 3

.

?????????????????12 分

（文科做）基本事件共 8 个 （1）
3 4
x
2

（2）

1 4

（3）

1 2

19． （1）A（2，0） ，设所求椭圆的方程为：
? y b
? 2

=1(0<b<2)，

??2 分

4

由椭圆的对称性知，|OC|=|OB|， 由 AC · BC =0 得，AC⊥BC， ∵|BC|=2|AC|，∴|OC|=|AC|，∴△AOC 是等腰直角三角形， ∴C 的坐标为（1，1） ． ??4 分 ∵C 点在椭圆上，∴ 所求的椭圆方程为
x
1
2

?

1 b
2

=1，∴b2= =1．

4 3

． ??8 分

4
2

?

3y 4

2

4

（2）是平行关系.????10 分 D（-1，1） ，设所求切线方程为 y-1=k（x+1）
? y ? kx ? k ? 1 ? 2 2 2 2 2 ，消去 x， (1 ? 3 k ) x ? 6 k ( k ? 1) x ? 3( k ? 1) ? 4 ? 0 ????12 分 ?x 3y ? ?1 ? ? 4 4

上述方程中判别式= 9 k ? 6 k ? 1 ? 0 ， k ?
2

1 3

又 k AB ?

1 3

，所以 AB 与 DE 平行.????16 分
2

20、解： （Ⅰ）由 f ( x ) ? g ( x ) ? x ? ( b ? 1) x ? c ? b ? 0 ， 依题设可知，△=（b+1）2－4c=0.
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∵ b ? ? 1, c ? 0 . ∴ b ? 1 ? 2 c，即 b ? ? ( c ) ? 2 c ? 1 （Ⅱ）由 H ( x ) ? ( x ? b )( x ? bx ? c ) ? x ? 2 bx
2 3 2 2 可得 H ? ( x ) ? 3 x ? 4 bx ? ( b ? c ). 2

? (b

2

? c ) x ? bc ,

令 3 x ? 4 bx ? ( b ? c ) ? 0 , 依题设欲使函数 H ( x ) 在 ( ?? , ?? ) 内有极值点，
2 2

则须满足 ? ? 4 ( b ? 3 c ) ? 4 ( c ? 4 c ? 1) ? 0
2

亦即

c ? 4 c ? 1 ? 0，解得

c ? 2?

3或

c ? 2?

3

，

? 又 c ? 0， 0 ? c ? 7 ? 4 3 或 c ? 7 ? 4 3

故存在常数 c ? ( 0 , 7 ? 4 3 ) ? ( 7 ? 4 3 , ?? ) ，使得函数 H ( x ) 在 ( ?? , ?? ) 内有极值点. （注：若 ? ? 0 ，则应扣 1 分.）

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