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河南省许昌市五校高二数学第四次联考试题 理 新人教A版

许昌市五校联考高二第四次考试 理科数学试卷
(考试时间:120 分钟,分值:150 分) 一、选择题: (本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。 ) 1.抛物线的顶点在原点,准线方程 x=-2,则抛物线的方程是( A.y =-8x
2

).

B.y =-4x

2

C.y =4x

2

D.y =8x ).

2

1 1 2.已知点 M 在平面 ABC 内,并且对空间任一点 O,=x+ + ,则 x 的值为( 2 3 1 A. 6 1 B. 3 1 C. 2 D.0

3.在如图所示的正方体 A1B1C1D1ABCD 中,E 是 C1D1 的中点, 则异面直线 DE 与 AC 夹角的余弦值为( A.- 10 10 B.- 1 20 1 C. 20 D. 10 10 ). ).

4.在△ABC 中,若 2cos Bsin A=sin C,则△ABC 的形状是( A.等边三角形 C.直角三角形 B.等腰三角形 D.等腰直角三角形
2 2

5.设 x,y∈R,则“x≥2 且 y≥2”是“x +y ≥4”的( A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 B.必要而不充分条件

).

D.既不充分也不必要条件

1 1 6.若 lgx+lgy=2,则 + 的最小值是(

x y

). D.2 ).

1 A. 20

1 B. 5

1 C. 2

7.在等差数列{an}中,S15>0,S16<0,则使 an>0 成立的 n 的最大值为 ( A.6 B.7 C.8 D.9

8.某人向正东方向走 x km 后,向右转 150°,然后朝新方向走 3 km,结果他离出发点恰好 是 3 km,那么 x 的值为 A. 3 B.2 3 ( ). C. 3或 2 3 D.3 ( ).

9.动点 P(x,y)满足 5 (x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 =|3x+4y-7|,则点 P 的轨迹是 A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.直线
2 2

10.已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的两条渐近线均和圆 C:x +y -6x+5=0 相切,且 双曲线的右焦点为圆 C 的圆心,则该双曲线的方程为( ).

x2 y2 a b

A. - =1 5 4

x2 y2

B. - =1 4 5

x2 y2

C. - =1 3 6

x2 y2

D. - =1 6 3

x2 y2

x+y-3≤0, ? ? 11. 若函数 y=2 图象上存在点(x, y)满足约束条件?x-2y-3≤0, ? ?x≥m,
x

则实数 m 的最大值

为( 1 A. 2

). B.1 3 C. 2 D.2

12. 如图, 在四棱锥 PABCD 中, 侧面 PAD 为正三角形, 底面 ABCD 为正方形, 侧面 PAD⊥底面 ABCD, M 为底面 ABCD 内的一个动点, 且满足 MP=MC,则点 M 在正方形 ABCD 内的轨迹为( ).

二 填空题(每题 5 分,共 20 分) 13.命题“? x∈R,有|x|+|x+4|<m”是假命题,则实数 m 的取值范围是_______. 14.已知等比数列{an}的前 n 项和 Sn=t·5
2

n-2

1 - ,则实数 t 的值为________. 5

15.当 a∈[0,4]时,不等式 x +ax>4x+a-3 恒成立,则 x 取值范围是________. 16.已知圆 O: x +y =4 与 x 轴交于 A,B,过 A,B,分别作圆的切线 L1,L2,;P 为圆上异 于 A,B 的动点,过 P 作圆 O 的切线分别交 L1,L2 于 D,C 两点,直线 AC 交 BD 于点 M,则 M 的轨迹方程是 ________. 三.解答题(本题共 6 题,共 70 分,解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
2 2

?1 ? x 17.(10 分)已知 c>0,设命题 p:函数 y=c 为减函数.命题 q:当 x∈? ,2?时,函数 y=x ?2 ?
1 1 + > 恒成立.如果“p 或 q”为真命题, “p 且 q”为假命题,求 c 的取值范围.

x c

cos A-2cos C 2c-a 18.(12 分) 在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 = , cos B b sin C 1 (1)求 的值; (2)若 cos B= ,b=2,求△ABC 的面积 S. sin A 4 19.(12 分) 已知过抛物线 y =2px(p>0)的焦点,斜率为 2 2的直线交抛物线于 A(x1,y1),
2

B(x2,y2)且(x1<x2)两点,且|AB|=9.
(1)求该抛物线的方程;

(2)O 为坐标原点,C 为抛物线上异于 A,B 的一点,若=+λ ,求λ 的值. 20.(12 分)等比数列{an}的各项均为正数,且 2a1+3a2=1,a3=9a2a6. (1)求数列{an}的通项公式;
?1? (2)设 bn=log3a1+log3a2+…+log3an,求数列? ?的前 n 项和. ?bn?
2

21.(12 分)已知三棱锥 P-ABC 中,PA⊥平面 ABC,AB⊥AC,

PA=AC= AB,N 为 AB 上一点,AB=4AN,M,S 分别为 PB, BC 的中点.
(1)证明:CM⊥SN; (2)求 SN 与平面 CMN 所成角的大小. 22.(12 分)已知向量 a=(x, 3y),b=(1,0),且(a+ 3b) ⊥(a- 3b).(1)求点 Q(x,y)的轨迹 C 的方程; (2)设曲线 C 与直线 y=kx+m 相交于不同的两点 M、N,又点 A(0,-1),当|AM|=|AN|时, 求实数 m 的取值范围. 许昌市五校联考高二第四次考试 理科数学参考答案 6-10:BCCDA, 11-12:BA 14:
2 2

1 2

一选择题答案: 1-5:DADBA,

二填空题答案: 13: (-∞,-4] 15: (-∞,-1)∪(3,+ ∞)

5

16:x +4y =4,(y≠0)或者(x≠±2)

三解答题答案:17 题: 解 由命题 p 为真知,0<c<1, 1 5 由命题 q 为真知,2≤x+ ≤ , x 2 1 1 要使此式恒成立,需 <2,即 c> , c 2 —————————————4 分

若“p 或 q”为真命题,“p 且 q”为假命题,则 p、q 中必有一真一假, 1 当 p 真 q 假时,c 的取值范围是 0<c≤ ; 2 当 p 假 q 真时,c 的取值范围是 c≥1 ————————————8 分

? ? 1 综上可知,c 的取值范围是?c|0<c≤ 或c≥1? —————————10 分 2 ? ? 2c-a 2sin C-sin A 18 题:解 (1)由正弦定理,则 = , b sin B

cos A-2cos C 2sin C-sin A 所以 = , cos B sin B

————————————3 分

即(cos A-2cos C)sin B=(2sin C-sin A)cos B, 化简可得 sin(A+B)=2sin(B+C).因为 A+B+C=π ,所以 sin C=2sin A sin C 因此 =2 sin A (2)由 —————————————6 分

sin C 1 2 2 2 =2,得 c=2a 由余弦定理 b =a +c -2accos B 及 cos B= ,b=2, sin A 4 —————————9 分

1 2 2 2 得 4=a +4a -4a × .解得 a=1,从而 c=2 4 1 15 因为 cos B= ,且 0<B<π ,所以 sin B= , 4 4 1 1 15 15 因此 S= acsin B= ×1×2× = 2 2 4 4

—————————————12 分

19 题:解(1)直线 AB 的方程是 y=2 2?x- ?,与 y =2px 联立,从而有 4x -5px+p =0, ? 2?
2 2 2

?

p?

5p 所以 x1+x2= , 4

—————————————3 分

5p 由抛物线定义得:|AB|=x1+x2+p= +p=9, 4 所以 p=4,从而抛物线方程为 y =8x. —————————————6 分 (2)由于 p=4,4x -5px+p =0 可简化为 x -5x+4=0, 从而 x1=1,x2=4,y1=-2 2,y2=4 2,从而 A(1,-2 2),B(4,4 2); → 设 C(x3,y3),则OC=(x3,y3)=(1,-2 2)+λ (4,4 2)= (4λ +1,4 2λ -2 2),
2 2 2 2 2 2

—————————————9 分

又 y3=8x3,即[2 2(2λ -1)] =8(4λ +1), 即(2λ -1) =4λ +1,解得 λ =0(舍去)所以:λ =2. ——————12 分 1 2 2 2 2 20 题:解(1)设数列{an}的公比为 q.由 a3=9a2a6 得 a3=9a4,所以 q = 9 1 由条件可知 q>0,故 q= 3 —————————————3 分
2

1 由 2a1+3a2=1,得 2a1+3a1q=1,所以 a1= 3 1 故数列{an}的通项公式为 an= n 3 (2)bn=log3a1+log3a2+…+log3an =-(1+2+…+n)=- n (n ? 1) 2 1 ? 1 ?1 故 =-2? - ? bn ?n n+1? ————9 分 —————————————6 分

1 1 ?? 1? ?1 1? + +…+ =- 2 ??1- ?+? - ?+… b1 b2 bn ?? 2? ?2 3? 1 前 n 项和为- 2n n+1

1 ?? 2n ?1 +? - ?? =-n+1 ?n n+1??

?1? 所以数列 ? ? 的 ?bn?

——————————12 分

21 题: (1)证明 设 PA=1,以 A 为原点,AB,AC,AP 所在直线为 x,y,z 轴正方向建立空 1 1 1 间直角坐标系 (图略) . 则 P(0,0,1), C(0,1,0), B(2,0,0), M(1,0, ), N( , 0,0) , S(1, ,0), 2 2 2 1? → ? 1 1 ? → ? 所以CM=?1,-1, ?,SN=?- ,- ,0? 2? 2 ? ? ? 2 1 1 → → 因为CM·SN=- + +0=0,所以 CM⊥SN 2 2 ——————————6 分

→ ? ?a·CM=0, → ? 1 ? - , 1 , 0 (2)NC=? ?,设 a=(x,y,z)为平面 CMN 的一个法向量.则? ? 2 ? → ? ?a·NC=0, 1 ? ?x-y+2z=0, 即? 1 - x+y=0, ? ? 2

令 x=2,得 a=(2,1,-2)

?-1-1 2? → ? ?= 2 因为|cos〈a,SN〉|= ? 3× 2 ? 2 ? 2?
所以 SN 与平面 CMN 所成角为 45° —————————————12 分 22 题: 解 (1)由题意得 a+ 3b=(x+ 3, 3y), a- 3b=(x- 3, 3y), ∵(a+ 3

b)⊥(a- 3b),∴(a+ 3b)·(a- 3b)=0,
即(x+ 3)(x- 3)+ 3y· 3y=0 化简得 +y =1,∴Q 点的轨迹 C 的方程为 +y =1 3 3

x2

2

x2

2

——————4 分

y=kx+m, ? ? 2 (2)由?x 2 +y =1 ? ?3

得(3k +1)x +6mkx+3(m -1)=0,

2

2

2

由于直线与椭圆有两个不同的交点, ∴Δ >0,即 m <3k +1
2 2



——————————6 分

(i)当 k≠0 时, 设弦 MN 的中点为 P(xP, yP), xM、 xN 分别为点 M、 N 的横坐标, 则 xP=

xM+xN
2

3mk =- 2 , 3k +1

m yP+1 m+3k +1 从而 yP=kxP+m= 2 ,kAP= =- , 3k +1 xP 3mk
又|AM|=|AN|,∴AP⊥MN

2

m+3k2+1 1 2 则- =- ,即 2m=3k +1, 3mk k
将②代入①得 2m>m ,解得 0<m<2, 2m-1 1 2 由②得 k = >0,解得 m> , 3 2
2



———————————8 分

?1 ? 故所求的 m 的取值范围是? ,2? ?2 ?
(ii)当 k=0 时,|AM|=|AN|, ∴AP⊥MN,m <3k +1,解得-1<m<1.
2 2

—————————————10 分

?1 ? 综上,当 k≠0 时,m 的取值范围是? ,2?, ?2 ?
当 k=0 时,m 的取值范围是(-1,1) —————————————12 分


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