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浙江省五校2014届高三第二次联考数学文试题 Word版含答案


2013 学年浙江省第二次五校联考数学(文科)试题卷
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的) 1.已知集合 A = {x x > 1}, B = {x x < m},且 A A. - 1 B. 0
2 2

B = R ,那么 m 的值可以是( )
D. 2 )

C. 1

2.已知 a, b ? R ,则“ a ? b ? 2 ”是 “ ab ? 1 ”的( A.必要而不充分条件 C.充分而不必要条件 B.充要条件

D.既不充分也不必要条件

3.如图是某班 50 位学生期中考试数学成绩的频率分布直方 图,其中成绩分组区间是: ? 40 , 50? , ?50 , 60? , ?60 , 70 ? ,
100? ,则图中 x 的值等于 ?70 ,80? , ?80 ,90? , ?90 ,

A. 0.12

B. 0.18

C. 0.012

D. 0.018

4. 已知 f ( x) ? cos(? x ?

?
3

) 的图像与 y ? 1 的图象的两相邻
( )

交点间的距离为 ? , 要得到 y ? f ( x) 的图像,只需把 y ? sin ? x 的图像

7? 个单位 12 5? C.向右平移 个单位 6
A.向右平移
5.下列命题正确的是( )

7? 个单位 12 5? D. 向左平移 个单位 6
B.向左平移

A. 若平面 ? 不平行于平面 ? , 则 ? 内不存在直线平行于平面 ? B.若平面 ? 不垂直于平面 ? ,则 ? 内不存在直线垂直于平面 ?

C.若直线 l 不平行于平面 ? ,则 ? 内不存在直线平行于直线 l D.若直线 l 不垂直于甲面 ? ,则 ? 内不存在直线垂直于直线 l
6.执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为( A.126 7.若 ? ? ( A. B.105 C.91 D.66 )

?

7 9

, ? ), 且 3cos 2? ? 4sin( ? ? ), 则 sin 2? 的值为 4 4 1 1 7 B. ? C. ? D. 9 9 9

?





1

8.已知双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1 的左、右焦点分别是 F1 , F2 ,正三角形 AF1F2 的一边 AF1 与双曲线 a 2 b2


C 的离心率的值是( 左支交于点 B ,且 AF 1 ? 4BF 1 ,则双曲线
A.

3 ?1 2

B.

3 ?1 2

C.

13 ?1 3

D.

13 ? 1 3

9.已知函数 f ( x) ? x3 ? 6 x2 ? 9 x ? abc , 其中 a ? b ? c ,且 f (a ) ? f (b) ? f (c) ? 0 ,现给 出如下结论:① f (0) f (1) ? 0 ;② f (0) f (1) ? 0 ;③ f (0) f (3) ? 0 ;④ f (0) f (3) ? 0 . 其中正确结论的个数是( A.1 B.2 ) C.3 D.4

10.用 n( A) 表示非空集合 A 中的元素个数,定义 A ? B ? ?

?n( A) ? n( B),当n( A) ? n( B) , ?n( B) ? n( A),当n( A) ? n( B)

若 A ? {x | x2 ? ax ?14 ? 0, a ? R}, B ? {x || x2 ? bx ? 2014 |? 2013, b ? R} ,设 S ? {b | A ? B ? 1} , 则 n( S ) 等于( A.4 ) B.3 C.2 D.1

二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分) 11.分别在集合 A ? {1, 2, 4} 和 B ? {3,5,6} 中随机的各取一个 数,则这两个数的乘积为偶数的概率为 ;

12. 一个几何体的三视图如图所示, 侧视图是一个等边三角形, 俯视图是半圆和正方形,则这个几何体的体积为
2 2

.

13.过点 A(11, 2) 作圆 x ? y ? 2 x ? 4 y ?164 ? 0 的弦,其中 弦长为整数的共有 条。

?x ? 2 y ? 2 ? 14.若实数 x, y 满足不等式组 ? 2 x ? y ? 4 , 则 4 | x ? 1| ? y 的最大值是 ? x ? y ? ?1 ?
15 . 已 知 F1 为 椭 圆

x2 ? y 2 ? 1 的 左 焦 点 , 直 线 y ? x ? 1 与 椭 圆 交 于 A, B 两 点 , 那 么 2

| F1 A | ? | F1 B | =
16 . 已 知 O 为 ?ABC 的 外 心 , AB ? 4, AC? 2,? BAC? 120 . 若 AO ? ?1 AB ? ?2 AC , 则

2

2?1 ? ?2 =
17.设 a ? 2b ? 3, b ? 0 ,则
1 |a| ? 的最小值为 2 | a | 3b

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18. (本题满分 14 分) ?ABC 中,三个内角 A、B、C 所对的边分别为 a 、 b 、 c ,若 B ? 60? ,

a ? ( 3 ? 1)c .
(Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)已知 ?ABC 的面积为 12 ? 4 3 ,求函数 f ( x) ? cos 2 x ? a sin x 的最大值.

19. (本题满分 14 分)已知等差数列数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,等比数列 {bn } 的各项均为正数, 公比是 q ,且满足: a1 ? 3, b1 ? 1, b2 ? S2 ? 12, S2 ? b2 q . (Ⅰ)求 an 与 bn ; (Ⅱ)设 cn ? 3bn ? ? ? 2 求 ? 的取值范围.
an 3

? ? ? R ? ,若 ?cn ? 满足: cn?1 ? cn 对任意的 n ? N * 恒成立,

20. (本题满分 15 分) 如图, 在四棱锥 P ? ABCD 中, 平面 PAD⊥ 平面 ABCD, ?ABC ? ?BCD ? 90? ,

PA ? PD ? DC ? CB ? 1 AB ,E 是 BD 的中点. 2
(Ⅰ)求证:EC//平面 APD; (Ⅱ)求 BP 与平面 ABCD 所成角的正切值; (Ⅲ)求二面角 P ? AB ? D 的的正弦值.

3

21. (本题满分 l5 分)已知函数 f ( x) ? 2x 2 ? 3(a 2 ? a) ln x ? 8ax 。 (Ⅰ)若曲线 f ( x ) 在点 (1, f (1)) 处的切线与直线 y ? 32 x ? 62 平行,求 a 的值; (Ⅱ)若函数 f ( x) 在其导函数 f ?( x ) 的单调区间上也是单调的,求 a 的取值范围.

22. (本题满分 14 分)如图,已知过点 A (1, 2) 的抛物线 C : y 2 ? ax 与过点 T ? 3, ?2? 的动直线 l 相交 于 P 、 Q 两点. (I)求直线 AP 与直线 AQ 的斜率的乘积; (II)若 ?APQ ? ?AQP ,求证:△ APQ 的周长为定值.

y

P

A O T Q x

4

2013 学年浙江省第二次五校联考

数学(文科)答案
一、选择题: 本大题共 10 小题, 每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是 符合题目要求的. 1.D 2.C 3. D 4.A 5.B 6. B 7. C 8. D 9.B 10. A

二、 填空题: 本大题共 7 小题, 每小题 4 分, 共 28 分. 11.

7 9

12.

3? ? 8 3 6

13.32

14.5

15.

8 2 3

16.3

17.

1 2

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.解: (1)因为 B ? 60 ,所以 A ? C ? 120 , C ? 120 ? A
? ? ?

因为 a ? ( 3 ? 1)c ,由正弦定理可得: sin A ? ( 3 ? 1) sin C

sin A ? ( 3 ? 1) sin(

2? 2? 2? ? A) ? ( 3 ? 1)(sin cos A ? cos sin A) 3 3 3 3 1 ? ( 3 ? 1)( cos A ? sin A) ,整理可得: tan A ? 1 2 2

4 1 a2 (2)由 S?ABC ? sin B ? 12 ? 4 3, 得 a ? 4 2 2 3 ?1 从而 f ( x) ? 1 ? 2sin 2 x ? 4 2 sin x = ?2(sin x ? 2)2 ? 5
当 sin x ? 1 时,函数 f ( x ) 取得最大值 4 2 ?1 。 19.解: (Ⅰ)由已知可得 ?

所以, A ?

?



?q ? 3 ? a2 ? 12 ?3 ? a2 ? q
2

,消去 a2 得: q ? q ? 12 ? 0 ,
2

解得 q ? 3 或 q ? ?4 (舍) ,? a2 ? 6, d ? 3 从而 an ? 3n, bn ? 3n?1 (Ⅱ)由(1)知: cn ? 3bn ? ? ? 2 3 ? 3 ? ? ? 2 .
n n an

∵ cn?1 ? cn 对任意的 n ? N 恒成立, 即: 3
*

n ?1

? ? ? 2n?1 ? 3n ? ? ? 2n 恒成立,整理得:
3 2

? 2n ? 2 3n 对任意的 n ? N * 恒成立,即: ? ? 2 ? ( )n 对任意的 n ? N * 恒成立.
∵ y ? 2 ? ( ) 在区间 ?1, ?? ? 上单调递增,? ymin ? 2 ?
x

3 2

3 ? 3 ?? ? 3 . 2

? ? 的取值范围为 ? ??,3? .

5

20.解: (Ⅰ )如图,取 PA 中点 F,连结 EF、FD, ∵E 是 BP 的中点,∴EF//AB 且 EF ? 1 AB , 2

AB, DC ? 1 AB ∴EF // DC∴四边形 EFDC 是平行四边形,故得 EC//FD ……2 分 又∵ DC い 2
又∵EC ? 平面 PAD,FD ? 平面 PAD∴EC//平面 ADE …………4 分 (Ⅱ )取 AD 中点 H,连结 PH,因为 PA=PD, 所以 PH⊥AD ∵平面 PAD⊥ 平面 ABCD 于 AD ∴PH⊥面 ABCD

∴HB 是 PB 在平面 ABCD 内的射影 ∴∠PBH 是 PB 与平面 ABCD 所成角…………6 分 ∵四边形 ABCD 中, ?ABC ? ?BCD ? 90? ∴四边形 ABCD 是直角梯形, DC ? CB ? 1 AB 2 设 AB=2a,则 BD ? 2a ,在 ?ABD 中,易得 ?DBA ? 45? ,? AD ? 2a

1 2 PH ? PD 2 ? DH 2 ? a 2 ? a 2 ? a ,又∵ BD 2 ? AD 2 ? 4a 2 ? AB 2 , 2 2
∴ ?ABD 是等腰直角三角形, ?ADB ? 90? ∴ HB ? DH 2 ? DB 2 ?

1 2 10 a ? 2a 2 ? a 2 2

2 a PH 5 ∴在 Rt ?PHB 中, tan ?PBH ? …………10 分 ? 2 ? HB 5 10 a 2
(Ⅲ )在平面 ABCD 内过点 H 作 AB 的垂线交 AB 于 G 点, 连结 PG, 则 HG 是 PG 在平面 ABCD 上的射影, 故 PG⊥AB,所以∠PGH 是二面角 P-AB-D 的平面角,由 AB=2a…………11 分

HA ?

2 1 3 a ,又 ?HAB ? 45? ∴ HG ? a, PG ? a, 2 2 2

2 a PH 6 在 Rt ?PHG 中, sin ?PGH ? ? 2 ? PG 3 3 a 2 6 ∴二面角 P-AB-D 的的正弦值为 …………15 分 3

6

21.解: (1) f ?( x) ? 4 x ?

3(a 2 ? a) ? 8a x
7 3
……4 分

2 由题知 f ?(1) ? 32 ,有 3a ? 5a ? 28 ? 0 ,得 a ? 4 或 a ? ?

而当 a ? ?

7 时,切线与 y ? 32 x ? 62 平行,符合题意 3

当 a ? 4 时,切线为 y ? 32 x ? 62 重合,不合条件,舍去 故a ? ?

7 . 3

……………6 分

(2) f ?( x) ? 4 x ?

3(a 2 ? a) 4 x 2 ? 8ax ? 3(a 2 ? a) ? 8a ? , x x

设 g ( x) ? 4 x2 ? 8ax ? 3(a2 ? a) , ? ? 16(a2 ? 3a) ,设 g ( x) ? 0 的两根为 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) (1)当 ? ? 0 即 0 ? a ? 3 时, f ?( x) ? 0 ,? f ( x) 单调递增,满足题意;………8 分 (2)当 ? ? 0 即 a ? 0 或 a ? 3 时, ①若 x1 ? 0 ? x2 ,则

3 2 ( a ? a ) ? 0 ,即 ?1 ? a ? 0 , 4

此时, f ( x ) 在 (0, x2 ) 上单调递减,在 ( x2 , ??) 上单调递增,而 f ?( x ) 在 (0, ??) 上单调递增, 故不满足题意 ②若 x1 ? x2 ? 0 ,则 ? 3 …………………………10 分

? 2a ? 0 ? ? a ? ?1 , 2 ( a ? a ) ? 0 ? ?4
……………12 分

此时, f ( x ) 在 (0, ??) 上单调递增,满足题意

? 2a ? 0 ? ③若 0 ? x1 ? x2 ,则 ? 3 2 ? a ? 0 ,此时, f ( x) 在 (0, x1 ) 上单调递增,在 ( x1 , x2 ) 上 (a ? a) ? 0 ? ?4
单调递减,在 ( x2 , ??) 上单调递增,故不满足题意 综上得 a 的取值范围为 ? ??, ?1? ……………14 分 …………………………15 分

?0,3?

22.解: (I)由抛物线 C : y 2 ? ax 过点 A (1,2) 知 a ? 4 ………………1 分 设直线 l 的方程为 x ? m? y ? 2? ? 3

7

由?

? x ? m? y ? 2 ? ? 3 ? y ? 4x
2

得 y 2 ? 4my ? 8m ? 12 ? 0

………………2 分

设 P?x1 , y1 ? , Q?x2 , y 2 ? 则 y1 ? y2 ? 4m, y1 y2 ? ?8m ? 12 ………………3 分 …6 分

k AP k AQ ?

y1 ? 2 y 2 ? 2 4 4 16 ? ? ?2 ? ? x1 ? 1 x2 ? 1 y1 ? 2 y 2 ? 2 y1 y 2 ? 2? y1 ? y 2 ? ? 4

? y1 2 y 2 2 ? ? ? ? y1 ? y 2 ? ? x1 ? x2 y1 ? y 2 ? 4 4 ? (II) PQ 的中点坐标为 ? , , , ? ,即 ? 2 2 ? 2 ? ? 2 ? ? ? ?

? y ? y 2 ? ? 2 y1 y 2 y1 y ? 2 ? 1 ? 4m 2 ? 4m ? 6 , 4 4 4
2 2 2

所以 PQ 的中点坐标为 2m 2 ? 2m ? 3,2m , 由已知得
2

?

?

………………8 分

2m ? 2 ? ? m ,即 m 3 ? m 2 ? 2m ? 1 ? 0 .………………10 分 2m ? 2m ? 3 ? 1

设 f ?m? ? m3 ? m 2 ? 2m ? 1 ,则 f ??m? ? 3m 2 ? 2m ? 2 ? 0 ,

f ?m ? 在 R 上是增函数,又 f ?0? ? ?1 , f ?1? ? 3 ,故 f ?m ? 在 ?0,1? 内有一个零点,
函数 f ?m ? 有且只有一个零点,即方程 m ? m ? 2m ? 1 ? 0 有唯一实根.
3 2

所以满足条件的三角形唯一确定,从而△ APQ 的周长为定值.…………14 分

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8


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