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高中数学必修1基本初等函数常考题型:函数模型的应用实例


函数模型的应用实例
【知识梳理】
1.常见的函数模型 (1)正比例函数模型: f ? x ? ? kx ( k 为常数, k ? 0 ); (2)反比例函数模型: f ? x ? ?

k ( k 为常数, k ? 0 ); x

(3)一次函数模型: f ? x ? ? kx ? b ( k , b 为常数, k ? 0 );
2 (4)二次函数模型: f ? x ? ? ax ? bx ? c ( a , b , c 为常数, a ? 0 ); x (5)指数函数模型: f ? x ? ? ab ? c ( a , b , c 为常数, a ? 0 , b ? 0 , b ? 1 );

(6)对数函数模型: f ? x ? ? m loga x ? n ( m , n , a 为常数, m ? 0 , a ? 0 , a ? 1 );
n (7)幂函数模型: f ? x ? ? ax ? b ( a , b , n 为常数, a ? 0 , n ? 1 ).

2.建立函数模型解决问题的框图表示

【常考题型】 题型一、二次函数模型
【例 1】 据市场分析,烟台某海鲜加工公司,当月产量在 10 吨至 25 吨时,月生产总成 本 y (万元)可以看成月产量 x (吨)的二次函数;当月产量为 10 吨时,月总成本为 20 万元;当 月产量为 15 吨时,月总成本最低为 17.5 万元,为二次函数的顶点.写出月总成本 y (万元)关 于月产量 x (吨)的函数关系. 已知该产品销售价为每吨 1.6 万元,那么月产量为多少时,可获最大利润?

[解] (1) y ? a ? x ? 15 ? ? 17.5 ,将 x ? 10 , y ? 20 代入上式,
2

得 20 ? 25a ? 17.5 . 解得 a ? 所以 y ?

1 . 10

1 2 ? x ? 15? ? 17.5 ( 10 ? x ? 25 ). 10

(2)设最大利润为 Q ? x ? , 则 Q ? x ? ? 1.6 x ? y ? 1.6 x ? ?

?1 2 ? x ? 3x ? 40 ? ? 10 ?

??

1 2 ? x ? 23? ? 12.9 ( 10 ? x ? 25 ). 10

因为 x ? 23 ??10, 25? , 所以月产量为 23 吨时,可获最大利润 12.9 万元. 【类题通法】 利用二次函数模型解决问题的方法 在函数模型中,二次函数模型占有重要的地位.根据实际问题建立二次函数解析式后,可 以利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值,从而解决实际问题 中的利润最大、用料最省等问题. 【对点训练】 渔场中鱼群的最大养殖量为 m ( m ? 0 ), 为了保证鱼群的生长空间, 实际养殖量 x 小于 m , 以便留出适当的空闲量.已知鱼群的年增长量 y 和实际养殖量与空闲率(空闲率是空闲量与最 大养殖量的比值)的乘积成正比,比例系数为 k ( k ? 0 ). (1)写出 y 关于 x 的函数关系式,并指出该函数的定义域; (2)求鱼群年增长量的最大值. 解: (1) 根据题意知,空闲率是

m?x m?x ,故 y 关于 x 的函数关系式是 y ? kx ? , m m

0? x?m.

m?x k k ? ? x 2 ? kx ? ? (2)由(1)知,y ? kx ? m m m
时, ymax ?

m m ? mk ? 0 ? x ? m .则当 x ? , ?x? ? ? 2 2? 4 ?

2

mk mk .所以,鱼群年增长量的最大值为 . 4 4

题型二、分段函数模型
【例 2】 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下,大 桥上的车流速度 v (单位:千米/小时)是车流密度 x (单位:辆/千米)的函数.当桥上的车流密 度达到 200 辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为 0;当车流密度不超过 20 辆/千米时,车流 速度为 60 千米/小时.研究表明:当 20 ? x ? 200 时,车流速度 v 是车流密度 x 的一次函数. (1)当 0 ? x ? 200 时,求函数 v ? x ? 的表达式; (2)当车流密度 x 为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆 / 小时) f ? x ? ? x ? v ? x ? 可以达到最大,并求出最大值.(精确到 1 辆/小时) [解] (1)由题意,当 0 ? x ? 20 时, v ? x ? ? 60 ; 当 20 ? x ? 200 时,设 v ? x ? ? ax ? b ,

1 ? a?? ? ?200a ? b ? 0 ? 3 再由已知得 ? ,解得 ? . ?20a ? b ? 60 ?b ? 200 ? 3 ?
故函数 v ? x ? 的表达式为

?60, 0 ? x ? 20 ? v ? x ? ? ?1 ? 200 ? x ? , 20 ? x ? 200 ? ?3
(2)依题意并结合(1)可得

?60 x, 0 ? x ? 20 ? f ? x ? ? ?1 x ? 200 ? x ? , 20 ? x ? 200 ? ?3
当 0 ? x ? 20 时, f ? x ? 为增函数,故当 x ? 20 时,其最大值为 60 ? 20 ? 1200 ; 当 20 ? x ? 200 时, f ? x ? ?

1 1 10000 10000 2 x ? 200 ? x ? ? ? ? x ? 100? ? ? ,当且仅当 3 3 3 3 10000 . 3

x ? 100 时,等号成立.
所以,当 x ? 100 时, f ? x ? 在区间 ? 20, 200? 上取得最大值 综上,当 x ? 100 时, f ? x ? 在区间 ?0,200? 上取得最大值

10000 ? 3333 . 3

即当车流密度为 100 辆/千米时,车流量可以达到最大,最大值约为 3333 辆/小时.

【类题通法】 构建分段函数模型的关键点 建立分段函数模型的关键是确定分段的各边界点,即明确自变量的取值区间,对每一区间 进行分类讨论,从而写出函数的解析式. 【对点训练】 某医疗研究所开发一种新药,如果成人按规定的计量服用,据监测:服药后每毫升血液中 的含药量 y 与时间 t 之间近似满足如图所示的曲线.

(1)写出服药后 y 与 t 之间的函数关系式; (2)据测定:每毫升血液中含药量不少于 4 ? g 时治疗疾病有效,假若某病人一天中第一次 服药为上午 7 : 00 ,问一天中怎样安排服药时间(共 4 次)效果最佳?

?6t , 0 ? t ? 1 ? 解:(1)依题意得 y ? ? 2 . 20 ? t ? ,1 ? t ? 10 ? 3 ? 3
(2)设第二次服药时在第一次服药后 t1 小时,则 ? 服药应在 11: 00 . 设第三次服药在第一次服药后 t 2 小时,则此时血液中含药量应为前两次服药后的含药量的 和,即有 ?

2 20 t1 ? ? 4 ,解得 t1 ? 4 ,因而第二次 3 3

2 20 2 20 t2 ? ? ? t2 ? 4 ? ? ? 4 ,解得 t2 ? 9 小时,故第三次服药应在16 : 00 . 3 3 3 3

设第四次服药在第一次服药后 t3 小时( t3 ? 10 ),则此时第一次服进的药已吸收完,血液中 含药量应为第二、第三次的和 ? 第四次服药应在 20 : 30 .

2 20 2 20 ? t3 ? 4 ? ? ? ? t3 ? 9 ? ? ? 4 ,解得 t3 ? 13.5 小时,故 3 3 3 3

题型三、指数、对数型函数模型 【例 3】 目前某县有 100 万人,经过 x 年后为 y 万人.如果年平均增长率是 1.2%,请回
答下列问题: (1)写出 y 关于 x 的函数解析式; (2)计算 10 年后该县的人口总数(精确到 0.1 万人); (3)计算大约多少年后该县的人口总数将达到 120 万(精确到 1 年).

[解] (1)当 x ? 1 时,

y ? 100 ?100 ?1.2% ? 100 ?1 ?1.2%? ;
当 x ? 2 时,

y ? 100 ?1 ? 1.2% ? ? 100 ?1 ? 1.2% ? ?1.2% ? 100 ?1 ? 1.2% ? ;
2

当 x ? 3 时,

y ? 100 ?1 ? 1.2% ? ? 100 ?1 ? 1.2% ? ? 1.2% ? 100 ?1 ? 1.2% ? ;
2 2 3

?? 故 y 关于 x 的函数解析式为 y ? 100 ?1 ? 1.2% ? ( x ? ? ).
x

?

10 (2)当 x ? 10 时, y ? 100 ?1 ? 1.2% ? ? 100 ? 1.012 ? 112.7 . 10

故 10 年后该县约有 112.7 万人. (3)设 x 年后该县的人口总数为 120 万,即 100 ? ?1 ? 1.2% ? ? 120 ,解得
x

x ? log1.012

120 ? 16 . 100

故大约 16 年后该县的人口总数将达到 120 万. 【类题通法】 指数函数模型的应用 在实际问题中,有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型 表示.通常可以表示为 y ? ? ?1 ? p ? (其中 ? 为基础数, p 为增长率, x 为时间)的形式.
x

【对点训练】 20 世纪 70 年代,里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度,就是使用测震仪衡量地震 能量的等级,地震能量越大,测震仪记录的地震曲线的振幅就越大,这就是我们常说的里氏震 级?, 其计算公式为:? ? lg ? ? lg ?0 .其中 ? 是被测地震的最大振幅,?0 是“标准地震” 的振幅. (1)假设在一次地震中,一个距离震中 1 000 千米的测震仪记录的地震最大振幅是 20,此 时标准地震的振幅是 0.002,计算这次地震的震级; (2)5 级地震给人的震感已比较明显, 我国发生在汶川的 8 级地震的最大振幅是 5 级地震的 最大振幅的多少倍? 解:(1) ? ? lg ? ? lg ?0 ? lg

20 ? ? 4. ? lg 0.002 ?0

即这次地震的震级为 4 级. (2) ?

?5 ? lg ?5 ? lg ?0 ? ? , lg 8 ? 3 , 8 ? 1000 , ?5 ?5 ?8 ? lg ?8 ? lg ?0

即我国发生在汶川的 8 级地震的最大振幅是 5 级地震的最大振幅的 1 000 倍.

【练习反馈】
1.某厂日产手套总成本 y (元)与手套日产量 x (副)的函数解析式为 y ? 5 x ? 4000 ,而手 套出厂价格为每副 10 元,则该厂为了不亏本,日产手套至少为( A.200 副 C.600 副 B.400 副 D.800 副 )

解析:选 D 由 5 x ? 4000 ? 10 x ,解得 x ? 800 ,即日产手套至少 800 副时才不亏本. 2.已知 A,B 两地相距 150 千米,某人开汽车以 60 千米/小时的速度从 A 地到达 B 地,在 B 地停留 1 小时后再以 50 千米/小时的速度返回 A 地,则汽车离开 A 地的距离 x 关于时间 t (小 时)的函数解析式是( A. x ? 60t B. x ? 150 ? 50t C. x ? ? )

?60t , 0 ? t ? 2.5 ?150 ? 50t , t ? 3.5

?60t , 0 ? t ? 2.5 ? D. x ? ?150, 2.5 ? t ? 3.5 ?150 ? 50 t ? 3.5 ,3.5 ? t ? 6.5 ? ? ?
解析:选 D 显然出发、停留、返回三个过程中行车速度是不同的,故应分三段表示函数. 3.由于电子技术的飞速发展,计算机的成本不断降低,若每隔 5 年计算机的价格降低 则现在价格为 8 100 元的计算机 15 年后的价格应降为________元.

1 , 3

8 ? 1 ?5 ? 1? 解析: y ? a ? ?1 ? ? ,所以当 x ? 15 时, y ? 8100 ? ?1 ? ? ? 8100 ? ? 2400 (元). 27 ? 3? ? 3?
答案: 2400 4.如图所示,折线是某电信局规定打长途电话所需要付的电话费 y (元)与通话时间 t (分 钟)之间的函数关系图象,根据图象填空:

x

3

(1)通话 2 分钟,需付的电话费为________元; (2)通话 5 分钟,需付的电话费为________元; (3)如果 t ? 3 ,则电话费 y (元)与通话时间 t (分钟)之间的函数关系式为________. 解析:(1)由图象可知,当 t ? 3 时,电话费都是 3.6 元. (2)由图象可知,当 t ? 5 时, y ? 6 ,即需付电话费 6 元. (3)当 t ? 3 时, y 关于 x 的图象是一条直线,且经过 ? 3,3.6 ? 和 ? 5, 6 ? 两点,故设函数关系 式为 y ? kt ? b ,则 ?

?3k ? b ? 3.6 ?5k ? b ? 6

解得 ?

?k ? 1.2 ,故 y 关于 t 的函数关系式为 y ? 1.2t ( t ? 3 ). b ? 0 ?
(2) 6 (3) y ? 1.2t ( t ? 3 )

答案:(1) 3.6

5.某商店某种商品(以下提到的商品均指该商品)进货价为每件 40 元,当售价为 50 元时, 一个月卖出 500 件.通过市场调查发现,若每件商品的单价每提高 1 元,则商品一个月的销售 量会减少 10 件,商店为使销售该商品的月利润最高,每件商品定价多少元? 解:设应将每件商品定价为 x 元,其月利润为 y 元,由题意得:

y ? ? x ? 40 ? ? ? ?500 ? ? x ? 50 ? ? 10 ? ?

? ?10 x2 ? 1400 x ? 40000 .
当x??

1400 ? 70 (元)时, ymax ? 9000 元. 2 ? ? ?10 ?

答:商店为使销售该商品的月利润最高,每件商品应定价 70 元.


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