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河南省许昌五校高二数学第二次联考试题新人教A版

许昌五校 2011-2012 学年高二第二次联考数学试题
注意事项:1. 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 8 页,三大 题,22 小题,满分 150 分,考试时间 120 分钟. 2. 答题之前,考生务必将自己的姓名、准考证号、班级填写在答题 卷左边的密封线以内.座号填写在第 5 页右下边的方格内. 3. 选择题答案用 2B 铅笔图涂到答题卡上,把非选择题写到答题纸上 第Ⅰ卷(选择题,共 60 分) 一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中有且只 有一个是符合要求的) (1) 在△ABC 中,a、b、c 分别为 ? A、 ? B、 ? C 的对边,若 (a ? c)(a ? c) ? b(b ? c) ,则

?A ? (
A. 90
0

) B. 60
0

C. 120

0

D. 150

0

(2) 等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , 且 4a 2 ,1 a , 2 a3 A.7 B.8 C.15 D.16

成等差数列, 若 a1 ? 1 , 则 S4 ?( ()

) .

2 o s B ?( (3) ?ABC 的内角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c, 若 b ? ac , 且 c ? 2a , 则c



A.

1 4

B.

3 4

C.

2 4

D.

2 3

(4)已知{a n }为等差数列, {b n }为等比数列, 其公比为 q ( q≠1), 且 b i >0( i = 1, 2, 3, …, n),若 a 1 = b 1 ,a 11 = b 11 ,则( ). A. a 6 = b 6 B.a 6 >b 6 C.a 6 <b 6 D.a 6 >b 6 或 a 6 <b 6

2 (5) 已知 a1 ? a2 ? a3 ? 0 ,则使得 (1 ? ai x) ? 1 (i ? 1, 2, 3) 都成立的 x 的取值范围是



) A. (0,

1 ) a1

B. (0,

2 ) a1

C. (0,

1 ) a3

D. (0,

2 ) a3

(6)一个首项为正数的等差数列中, 前 3 项的和等于前 11 项的和, 当这个数列的前 n 项和最 大时,n 等于( ) A.5 B.6 C.7 D.8 (7) 已知 2a ? c, 2b ? c ,且 a ? b ? c ? 1 ,则 (2a ? c)(2b ? c) 的最大值为( )

A.1 B.2 C.3 D.4 (8)设数列{an}是递增等差数列,前三项的和为 12,前三项的积为 48,则它的首项是( A. 1 B.2 C.4 D.6



(9) 在平面直角坐标系中,已知平面区域 A ? ?( x, y) | x ? y ? 1 ,且 x ? 0, y ? 0? ,则平面 区域 B ? ?( x ? y, x ? y) | ( x, y) ? A? 的面积为 A. 2 B. ( D. )

1 2

C. 1

1 4


a2 b2 ? (10) 设 0 ? x ? 1, a ? 0, b ? 0 ,则 的最小值为( x 1? x
A. ab B. 2(a 2 ? b2 ) C. (a ? b)2

D. (a ? b)2

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分) 二、填空题: (本大题共 4 小题 , 每小题 5 分 , 共 20 分 , 请将答案填写在答题卷 上) ...

? x ? y ? 2 ≤ 0, y ? (13)已知变量 x, y 满足约束条件 ? x ≥ 1, 则 的取值范围是 ? x ? y ? 7 ≤ 0, x ?
(14)在等差数列 ?an ? 中,若 a 1 、a 8 、a 11 成等比数列,且公比为 q,则 q= (15)若数列{an}满足



.

a 2 n?1 ,则称{an}为“等方比数列” 。甲; ? p (p 为正常数,n ? N*) 2 an
条件。
2

数列{an}是等方比数列,乙;数列{an}是等比数列,则甲是乙的

(16) 对于实数 x , 规定 ?x ? 表示不大于 x 的最大整数, 那么不等式 4?x? ? 36?x? ? 45 ? 0 成

立的 x 的范围是



三、解答题: (本大题共 6 小题,共 70 分,请将必要的文字说明,证明过程或演算步骤写在 答题卷 上,否则解答无效) ...

(19) (本小题满分 12 分)设数列 ?an ? 是公差为 d 的等差数列,其前 n 项和为 S n ,己知

a1 ? 1, d ? 2 。
(1)求

S n ? 64 (n ? N * ) 的最小值。 n

(2)求证:

2 3 n ?1 5 ? ? ?? ? ? (n ? N * ) S1 S 3 S 2 S 4 S n S n? 2 16

(20) (本小题满分 12 分)本公司计划 2010 年在甲、乙两个电视台做总时间不超过 300 分 钟的广告,广告总费用不超过 9 万元,甲、乙电视台的广告收费标准分别为 500 元/分钟和 200 元/分钟,规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告,能给公司事来的收益分 别为 0.3 万元和 0.2 万元.问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间,才能使公司 的收益最大,最大收益是多少万元?

(21) (本小题满分 12 分)在数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , an?1 ? 2an ? 2n . (Ⅰ)设 bn ?

an .证明:数列 ?bn ? 是等差数列; 2 n ?1

(Ⅱ)求数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn . (22) (本小题满分 12 分)已知 a , b 为正数,求证: (1)若 a ? 1 ? b 则对于任何大于 1 的正数 x ,恒有 ax ? (2)若对于任何大于 1 的正数 x ,恒有 ax ?

x ? b 成立; x ?1

x ? b 成立,则 a ? 1 ? b . x ?1

答案与提示

( b1b11 ) =

2

(b1 ? b11 ) 2 >0, 2

因此有 a 6 >b 6 ,故选 B. (5)B 解:由 (1 ? ai x) 2 ? 1 ,得 1 ? 2ai x ? ai2 x 2 ? 1 ,即 x( x ?

2 2 ) ? 0 ,解得 0 ? x ? . ai ai

(8)B 解:前三项和为 12,∴a1+a2+a3=12,∴a2=

S3 =4 3

a1·a2·a3=48,∵a2=4,∴a1·a3=12,a1+a3=8,

(11)A 解析:

Sn ? n2 ,

又 x ? x ?1 ? (x ? ) ?
2 2

1 2

5 5 5 ? ? ,所以 (a ? 1)(a ? 2) ? ? ,即 4a 2 ? 4a ? 3 ? 0 ,解得 4 4 4

?

1 3 3 ? a ? ,则 amax ? ,故选D. 2 2 2

二、填空题

y 表示可行域内一点 x 5 9 9 ?9 ? 到原点的斜率。由已知 A(1,6) ,B( , ) , kOA ? 6, kOB ? 。故答案为 ? ,6? 。 5 2 2 ?5 ? 3 (14) q ? 7
(13)解:如图,只要画出满足约束条件的可行域,而 (15)甲是乙的必要不充分条件解析 若{an}为等比数列,即 an+1=anp,则

a 2 n ?1 ? an ?1 ? 2 * 2 3 4, ?? ,故乙 ? 甲;如{an}取-3,3 ,3 ,-3 ……满足 ? ? p (p 为正常数,n ? N ) a 2 n ? an ?

2

a 2 n ?1 ,但{an}不是等比数列,故甲 ? ? 9, ? 乙。所以甲是乙的必要不充分条件。 a 2n
(16) 2 ? x ? 8

S n ? 64 64 64 ? n? ? 2 n? ? 16 n n n
当且仅当 n ?

64 ,即 n ? 8 时取等号, n

?
?

1?1 1 1 1 ? ? ? 2 ? 2 ? ? 2 4 ?1 2 (n ? 1) (n ? 2) 2 ?
1 1 1 5 ( 2 ? 2)? 4 1 16 2

所以所证不等式成立。

平移直线 l ,从图中可知,当直线 l 过 M 点时,目标函数取得最大值. 联立 ?

? x ? y ? 300, 200) . 解得 x ? 100,y ? 200 .所以点 M 的坐标为 (100, ?5 x ? 2 y ? 900.

所以 zmax ? 3000x ? 2000 y ? 700000 (元) 答:该公司在甲电视台做 100 分钟广告,在乙电视台做 200 分钟广告,公司的收益最大,最 大收益是 70 万元. (21)解: (Ⅰ) an?1 ? 2an ? 2n ,所以 即 bn?1 ? bn ? 1 ,

an ?1 a ? nn ?1, n 2 2 ?1

(22)证明: (1) ax ?

x 1 ? a( x ? 1) ? ? 1 ? a ? 2 a ? 1 ? a ? ( a ? 1) 2 x ?1 x ?1

∵ a ?1 ? b ( b ? 0 ) ,?( a ? ) 1

2

? b .即 ax ?

x ? b 成立. x ?1


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