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3.2.1立体几何中的向量方法一:平行和垂直(用)


3.2.1 立体几何中的向量方法
——方向向量与法向量

一、方向向量与法向量
? 如图, l 为经过已知点 A 且平行于非零向量 a ? 的直线,那么非零向量 a 叫做直线 l 的方向向量。

1.直线的方向向量

换句话说,直线上的非零向量叫做直线的 方向向量

A ?

?

l

? a

P

直线l的向量式方程

??? ? ? AP ? t a

2、平面的法向量

换句话说,与平面垂直的非零向量叫做平面

的法向量
平面 α的向量式方程

l

? ??? ? a ?AP ? 0

? a

?

A
P

例1. 如图所示, 正方体的棱长为1 (1,0,0) (1)直线OA的一个方向向量坐标为___________

(0,0,1) (2)平面OABC 的一个法向量坐标为___________ (-1,-1,1) (3)平面AB C 的一个法向量坐标为___________
1

z
O1 A1 B1 C1

o
A B

C

y

x

例 2.在空间直角坐标系中,已知 A(3, 0, 0), B(0, 4, 0) , ? C (0, 0, 2) ,试求平面 ABC 的一个法向量. n ? (4, 3, 6)
? 解:设平面 ABC 的一个法向量为 n ? ( x , y , z ) ? ??? ? ???? ? ???? ??? ? n 则 n ? AB , ? AC .∵ AB ? ( ? 3, 4, 0) , AC ? ( ? 3, 0, 2)

3 ? ? ( x , y , z ) ? ( ? 3, 4, 0) ? 0 ? ? 3 x ? 4 y ? 0 ?y ? 4 x ? ∴? 即? ( x , y , z ) ? ( ? 3, 0, 2) ? 0 ? ? 3 x ? 2 z ? 0 ∴ ? ? ?z ? 3 x ? ? ? 2 取 x ? 4 ,则 n ? (4, 3, 6)
? ∴ n ? (4, 3, 6) 是平面 ABC 的一个法向量.

总结:如何求平面的法向量 ?

⑴设平面的法向量为 n ? ( x , y , z )
⑵找出(求出)平面内的两个不共线的向量的 ? ? 坐标 a ? ( a1 , b1 , c1 ), b ? ( a 2 , b2 , c 2 )

⑶根据法向量的定义建立关于 x , y, z 的方程
? ? ?n ? a ? 0 ? 组?? ? ?n ? b ? 0 ?

⑷解方程组,取其中的一个解,即得法向量.

练习 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是 正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC=1 ,E是PC 的中点, 求平面EDB的一个法向量.
解:如图所示建立空间直角坐标系. Z

依题意得D (0, 0, 0), P (0, 0,1), 1 1 B(1, 1,0) E (0, , ) 2 2 ?? ? ???? 1 1 DE ? (0, , ) DB =(1, 1,0) 2 2 ? 设平面EDB的法向量为 n ? ( x, y ,1) ? ???? ? ??? ? 则n ? DE , n ? DB A
1 ?1 ? y? ?0 ? 于是 ? 2 ? n ? ?1, ? 1, 1? 2 X ?x ? y ? 0 ?

P

E
D

C B

Y

用向量方法解决立体问题

因为方向向量与法向量可以确定 直线和平面的位置,所以我们可以利 用直线的方向向量与平面的法向量表 示空间直线、平面间的平行、垂直、 夹角、距离等位置关系.

二、 立体几何中的向量方法
——证明平行与垂直

? ? 设直线 l,m 的方向向量分别为 a , b , ? ? 平面 ? , ? 的法向量分别为 u , v ,则
(一). 平行关系:
? ? ? ? (1) l / / m ? a / / b ? a ? ? b ;
? a ? b

l
m

? ? 设直线 l,m 的方向向量分别为 a , b , ? ? 平面 ? , ? 的法向量分别为 u , v ,则

? ? ? ? (2) l / /? ? ① a ? u ? a ? u ? 0 ;
? u
α

? a

? ??? ? ? ② a∥AC
? ??? ? ???? ? ③ a ? x AB ? y AD

? ? 设直线 l,m 的方向向量分别为 a , b , ? ? 平面 ? , ? 的法向量分别为 u , v ,则
? ? ? ? (3) ? / / ? ? ① u / / v ? u ? ? v .
? u
α

?

? u??

? v
β

? ? 设直线 l,m 的方向向量分别为 a , b , ? ? 平面 ? , ? 的法向量分别为 u , v ,则
(二)、垂直关系:

? ? ? ? (1) l ? m ? a ? b ? a ? b ? 0
l
? a ? b

m

? ? 设直线 l,m 的方向向量分别为 a , b , ? ? 平面 ? , ? 的法向量分别为 u , v ,则 ? ? ? ? (2) l ? ? ? a // u ? a ? ? u
l
? a
C

? u
A

?

B

? ? 设直线 l,m 的方向向量分别为 a , b , ? ? 平面 ? , ? 的法向量分别为 u , v ,则 ? ? ? ? (3) ? ? ? ? u ? v ? u ? v ? 0
β

? u

? v

α

例1.用向量方法证明 定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行, 则这两个平面平行 ? 已知 直线l与m相交,

? ? 证明 取 l,m的方向向量 a, b ? ? ? 取 ? , ? 的法向量u , v.

l ? ? , m ? ? , l∥? , m∥? 求证 ?∥ ? .

? a ?

u



α

b



? v
β

? ? ? ? ? l∥? , m∥? ? a ? v , b ? v ? ? ? 又a , b不共线, 所以v是 ?的一个法向量 ? 于是 v 同时是 ? 、 ? 的一个法向量

? ?∥? .

例2 四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方 形, PD⊥底面ABCD,PD=DC=6, E是PB的

中点,DF:FB=CG:GP=1:2 . 求证:AE//FG. 证 :如图所示, 建立 Z E(3,3,3), 空间直角坐标系. A(6,0,0), P

F(2,2,0),
??? 3 ?? ? AE = FG 2

G(0,4,2),

??? ?? ? AE =(-3,3,3),FG =(-2,2,2)

几何法呢?

??? ?? ? AE // FG
D A X

E

G
C Y

AE与FG不共线 AE//FG

F

B

例3 四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正 方形,PD⊥底面ABCD,PD=DC, E是PC的 中点, (1)求证:PA//平面EDB.
Z

解1 立体几何法

P E

D A X
G

C B

Y

解2:如图所示建立空间直角坐标系,点D为坐标原点,设DC=1
(1)证明:连结AC,AC交BD于点G,连结EG

依题意得 A(1, 0, 0), P (0, 0,1), 1 1 1 1 E (0, , ) G( , ,0) 2 2 2 2
Z

??? ? ???? 1 1 PA ? (1, 0, ?1), EG ? ( , 0, ? ) 2 2

P E

所以 PA ? 2 EG,即 PA // EG

而 EG ? 平面 EDB , 且 PA ? 平面 EDB
D A X
G

C B

Y

所以, PA // 平面 EDB

解3:如图所示建立空间直角坐标系,点D为坐标原点,设DC=1

1 1 1,0) 依题意得 A(1, 0, 0), P (0, 0,1), E (0, , ), B(1, (1)证明: 2 2 ??? ? ???? ?? ? 1 1 PA ? (1, 0, ?1), DE ? (0, , ) Z DB =(1, 1,0) 2 2 ? 设平面EDB的法向量为 n ? ( x, y ,1) P ? ???? ? ??? ? 则n ? DE , n ? DB
1 ?1 ? ? y? ?0 于是 ? 2 ? n ? ?1, ? 1, 1? 2 ?x ? y ? 0 ?

E

??? ? ? ??? ? ? ? PA?n ? 0 ? PA ? n

而PA ? 平面EDB
所以, PA // 平面 EDB

D A X B

C

Y

解4:如图所示建立空间直角坐标系,点D为坐标原点,设DC=1

1 1 1,0) 依题意得 A(1, 0, 0), P (0, 0,1), E (0, , ), B(1, (1)证明: 2 2 ??? ? ???? ?? ? 1 1 PA ? (1, 0, ?1), DE ? (0, , ) Z DB =(1, 1,0) 2 2

??? ? ???? ??? ? 设 PA ? xDE ? y DB

P E

解得 x=-2,y=1
??? ? ???? ??? ? 即PA ? ?2 DE ? DB ??? ? ???? ??? ? 于是 PA、 DE、 DB共面

而PA ? 平面EDB
所以, PA // 平面 EDB
A X

D B

C

Y

例4

正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,E、F分别

是BB1,,CD中点,求证:D1F ? 平面ADE. 正交 基底,建立如图所示坐标系D-xyz,
??? ? ???? 1 DA ? (1, 0, 0), ? (1,1, , ) DE 2 ???? ? 1 D1 F ? (0, , ? 1) 2 ???? ??? ? ???? ???? 则DF? DA ? 0??, 1 ? DE ? 0 ?? DF 1 ???? ??? ???? ???? ? 则DF ? DA?, 1 ? DE. ?? DF 1
z
D1

??? ???? ???? ? ? 以 ?? 证明:设正方体棱长为1, DA??,DC ??,?? DD1 为单位

C1 B1 E

A1

D A
x

F B

C y

所以

D1 F ? 平面 ADE

例4

正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,E、F分别

是BB1,,CD中点,求证:D1F ? 平面ADE. 证明2:

z
D1

C1

A1

B1
E D C

F
A
x

y
B

例5 正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 ,E是AA1中点, 求证:平面EBD ? 平面C1BD. 证明: 设正方体棱长为2, 建立如图所示坐标系
E(0,0,1) B(2,0,0) D(0,2,0) ??? ? EB ? (2, 0, ?1) ??? ? ED ? (0, 2, ?1)
设平面EBD的一个法向量是

E

? ??? ? ??? ? ? 由u ? EB ? u ? ED ? 0
? ? ???? 1 1 得 u ? ( , ,1) 平面C1BD的一个法向量是 v ? CA ? ( ? 1, ? 1,1) 1 2 2

? u ? ( x, y ,1)

? ? u ? v ? 0,

平面EBD ? 平面C1BD.

例5 正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 ,E是AA1中点, 求证:平面EBD ? 平面C1BD. 证明2:

E

?


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