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现代信号处理课件之空间谱估计(空域MUSIC算法)概要_图文

九、 空间谱估计
1.阵列信号处理简介(array signal processing)
?

?

?

虽然早在1978年就已在军用通信系统中使用了自适应天线,但在民用 的蜂窝式通信中使用天线阵列却只是在1990年才开始的。 近20年来,阵列信号处理作为信号处理的一个重要分支,在通信、雷 达、声呐、地震、勘探、射电天文等领域获得了广泛应用和迅速发展。 阵列信号处理的最重要应用包括: ①信(号)源定位——确定阵列到信源的仰角和方位角,甚至距离 (若信源位于近场); ②信源分离——确定各个信源发射的信号波形。各个信源从不同方向 到达阵列,这一事实使得这些信号波形得以分离,即使它们在时域和 频域是叠加的。 ③信道估计——确定信源与阵列之间的传输信道的参数(多径参数)。 阵列信号处理的主要问题包括:波束形成技术-使阵列方向图的主瓣 指向所需的方向;零点形成技术-使天线的零点对准干扰方向;空间 谱估计——对空间信号波达方向的分布进行超分辨估计。
1

九、 空间谱估计
2.阵列信号处理问题(array signal processing)
阵列:多个天线的组合 每个天线-阵元:天线、传感器 假设: (1) 窄带信号 si (n)
*?i (n)

:点信源
波达方向 (DOA:direction of arrival): 入射线与法线之间的夹 角,可以有正 有负。

(2) 远场(far field): 波前-平面波

?i
1 d 2 3

?-波长

?i ? 2?

d

·
4



d ??/2
m

?

sin ?i

(半波长条件):若不满足该条件,会出现DOA估计 的模糊
2

si (n)
1

si (n)e j?i
2

P个信号

si (n)e j ( m?1)?i
m

信号 si (n) 的方向向量,(阵列响应)向量:

a(?i ) ? ? ?1, e

? j?i

,..., e

? j ( m ?1)?i

? ?

T

Vandermonde矩阵

A(? ) ? ? ?a(?1 ),..., a(? p ) ? ? ? 1 ? ? j?1 e ? ? ? ? 满列秩 e ? j ( m ?1)?1 ? ? ??1 ? ? 2 ? ... ? ? p ?
方向矩阵

1 e ? j?2 e ? j ( m ?1)?2

? ? ? j? e p ? ? ? ? j ( m ?1)? p e ? ? 1

空间谱估计
信号模型 xk (n) ? ? ak (?i ) si (n) ? ek (n), k ? 1,..., m
i ?1 p

阵元k上的观测数据

x(n) ? ? x1 (n),...,xm (n) ?

T

e(n) ? ? e1 (n),...,em (n) ?

T

s(n) ? ? ? s1 (n),...,s p (n) ? ?

T

A(?) ? ? ?a1 (?1 ),...,am (?p ) ? ?

T ( mxp )

阵列信号处理的数学模型: x(n) ? A(? )s(n) ? e(n)
阵列信号处理的问题:
已知数据向量 x(1),...,x( N ) ,求空间参数 ?1,...,? p
N个快拍 波达方向

4

空间谱估计 空间谱估计
3. 最优波束形成器(最小方差谱估计)
DOA 估计:波束形成器 设计一个滤波器
z (n) ? ? wi* xi (n)
i ?1 m

w1 ,?, wm 抽头(权系数)
N 2 1 N 1 N H ? 2 H ? 1 H z ( n ) ? w x ( n ) ? w x ( n ) x ( n ) ? ? ?N? ?w N n ?1 N n ?1 ? n ?1 ?

加权求和

输出信号 z(n) 只包含 xd (n) ? ?期望信号 拒绝其它信号 ? ?干扰信号
最小输出能量(MOE:minimum output energy)准则:

则 其中

1 N

?
n ?1

N

z (n) ? min

2

1 N 2 ? w min ? z (n) ? min w H R xx N n ?1 N 1 ? ? ? x( n) x H ( n) R xx N n ?1

z (n) ? w x(n) ? w, x(n) ? ? wi* xi (n)
H i ?1

m

5

5

空间谱估计
1 N 2 ? w lim min ? z (n) ? min w H R xx N ?? N n?1

x(n) ? A(? )s(n) ? e(n) ? a(?k ) sk (n) ?

i ?1,i ? k

? a(? )s (n) ? e(n)
i i

p

(期望信号) (干扰信号) (加性噪声)
E z (n )

?

2

?

1 ? lim N ?? N

? z(n) ? w H E ?x(n)x H (n)?w
2 n ?1 2

N

? E sk (n )
H ? ?w a(? k ) ? 1 ? H ? ?w a(?i ) ? 0, i ? k

?

?

w a(?k ) ?
H

2

i ?1,i ?k

?

p

E si (n )

?

2

?

w a(?i ) ? ? 2 w
H

2

2

波束形成条件 干扰拒绝条件,零点形成条件
6

空间谱估计
则,E z (n)

?

2

?

? E sk (n)

?

2

?

?? 2 w

2

在 w H a(?k ) ? 1 约束条件下,使 min E z (n)

?

2

?

Largange乘子法:
J(w )=E z (n) 其中

? ??? ? ?1 ? w a(? ) ? ? E ? z ( n) ? ? w R w
2 H k 2 H xx

?J(w ) ?1 ? 0 ? w ? ? R opt xx a(? k ) * ?w H 又 w opt a(? k ) ? 1 ? a H (? k )w opt 代入上式

??

1 1 a H (? k )R ? xx a(? k )
7

空间谱估计
wopt
?1 R xx a(ωk ) ? H (最佳滤波器) ?1 a (ωk )R xxa(ωk )

由capon提出,称为最小方差无畸变(MVDR : minimum variance distortionless response )波束形成器
关键: 求a(ωk ) ? ωk 1 空间谱: P(ωk ) ? H ?1 a (ωk )Rxx a(ωk ) 最大幅值对应的 ωk 即为所求。

8

空间谱估计
3. 子空间方法
假设1: 对于不同的

?i

值,向量

a(? i ) 线性独立

假设2: 各阵元上复加性噪声具有零均值、相同方差,且不相关

? ? 0 E e(n)eH (n) ? ? 2I E e(n)eT (n) ? 0 E?e(n)
令复白噪声分量ei (n) ? xi (n) ? jyi (n), 则 E? ei (n)e j (n)?? 0, i ? j

?

?

?

?

E ei2 (n) ? E xi2 (n) ? E yi2 (n) ? j 2E?xi (n) yi (n)? ? 0
(实部和虚部不相关,具有相同方差)
H 假设3: P ? E s(n)s (n)

?

? ?
?

? ?
?

?

满秩矩阵(非奇异)
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? ?

?

虽然早在1978年就已在军用通信系统中使用了自适应天线,但在民用 的蜂窝式通信中使用天线阵列却只是在1990年才开始的。 近20年来,阵列信号处理作为信号处理的一个重要分支,在通信、雷 达、声呐、地震、勘探、射电天文等领域获得了广泛应用和迅速发展。 阵列信号处理的最重要应用包括: ①信(号)源定位——确定阵列到信源的仰角和方位角,甚至距离 (若信源位于近场); ②信源分离——确定各个信源发射的信号波形。各个信源从不同方向 到达阵列,这一事实使得这些信号波形得以分离,即使它们在时域和 频域是叠加的。 ③信道估计——确定信源与阵列之间的传输信道的参数(多径参数)。 阵列信号处理的主要问题包括:波束形成技术-使阵列方向图的主瓣 指向所需的方向;零点形成技术-使天线的零点对准干扰方向;空间 谱估计——对空间信号波达方向的分布进行超分辨估计。

空间谱估计
R xx ? E ?x(n )x H (n )? ? E ? A (? )s( n ) ? e( n ) ?? A(? ) s( n) ? e( n) ?

?

H

?

? A(? ) E ?s( n )s H ( n )? A H (? ) ? E ?e( n)e H ( n)? ? APA H ? ? 2I
m? p p? p p?m

特征值分解:
UH R xxU ? Σ



U H APA H U ? ? 2I ? Σ

2 ??11 ? ? ? ? ? ? ? ? ?

2 ? pp

0

? ? ? ? 2 ? ?? I ? ? ? 0? ?
11

空间谱估计
2 ? aii ? ? 2 , i ? 1, R xx 的特征值:?i ? ? 2 ?? , i ? p ? 1,

,p ,m

按特征值大小,将U分为两部分:

U ? ?S | G? ? u1,?, u p | u p?1,?, um

?

?

子空间:向量组 a1 ,?, a p 线性组合的集合,称为 a1 ,?, a p
张成的空间。

?

信号S

?

噪声G

?

?

span ? a1 ,

? p ? , a p ? ? ?? ? j a j , ? j? C ? ? j ?1 ?

12

空间谱估计
信号子空间: span? s1,?, s p ?? span? u1,?, u p ?
噪声子空间:span? g1,?, g p ?? span? u p?1,?, um ? 观测空间: span? x(1),?, x( N )? ? span? u1 ,?, um ? 观测空间=信号子空间+噪声子空间

特征值分解后,与大特征值对应

与小特征值对应

13

空间谱估计
子空间的几何意义:
U ? ?S, G?
H H H ? ? ? S S S S G? H U U ? ? H ? ?S, G ? ? ? H ??I H ?G ? ?G S G G ?

SH S ? I p , GH G ? Im? p , GH S ? 0, SH G ? 0

投影矩阵
Ps ? S S, S
?1

S H ? SS H (称SS H 为信号子空间)
?1

PG ? G G, G

G H ? GG H (称GG H 为噪声子空间)

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空间谱估计
正交投影矩阵
H

Ps? ? I ? Ps

? SH ? UU ? ?S, G? ? H ? ? SS H ? GG H ? I ?G ?
GG H ? I ? SS H ? I ? S S, S
?1

S H ? Ps?

噪声子空间是信号子空间的正交补,

几何意义:信号子空间和噪声子空间正交

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空间谱估计
4. MUSIC 方法
Rxx ? U ? UH U ? ?S G?

R xx ? APA H ? ? 2I ? R xxG ? APA H G ? ? 2G ? ? 2G APA H G ? 0 G H APA H G ? 0 A H G ? 0 (t H Rt ? 0 iff t ? 0) a H (?i )G ? oT (行向量) a H (?i )GG H a(?i ) ? 0 ? 标量 ? ? ? ? ? ?

? ?1 ? ? SH ? R xxG ? U ? U G ? ?S, G ? ? G 2 ?? H? ? I ? ?G ? ? ? ?1 ? ?0? 2 ? ? S, G ? ? ?? G 2 ?? ? ? I? ?I ? ?
H



R xxG ? ? G
2

16

空间谱估计
MUSIC空间谱:
P(? ) ?
噪声子空间方法

1 1 ? a H (? )GGH a(? ) a H (? ) I ? SSH a(? )

?

?

信号子空间方法

p(? ) 取峰值的 p 个 ? 就给出?1, ?,? p (需一维搜索)

波束形成器: w

opt

1 H R? xxa (? d ) ? (最佳滤波器系数) ?1 H a(? d )R xxa (? d )

作为比较, 这里重新给出MV谱估计结果:
PMV (?) ? 1 (最小方差谱) 1 aH (?)R ? a ( ? ) p
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功率谱估计应用应用:MUSIC方法恢复谐波\功率谱应用于雷达动目 标检测\功率谱估计应用于3G移动通信
?雷达回波信号功率谱

?我们想检测一个运动目标,但是该目标到雷达的路径上的建筑 物、海浪、云雾等引起杂波信号,因此雷达接受的回波信号,包 括来自运动目标的信号和杂波的信号。 ? 而此时,杂波电平往往比运动目标的回波电平高很多,运动 目标回波“淹没”在杂波中,从时域分开已经不可能了。
?功率谱估计应用于3G移动通信
?电信科学技术研究院代表我国电信主管部门向国际电联提交的TDSCDMA中采用的智能天线技术 ? 智能天线原名自适应天线阵列(AAA,Adaptive Antenna Array),自 适应天线阵由多个天线单元组成。 ?利用基带数字信号处理技术识别用户信号到达方向(DOA),并在此 方向形成空间定向波束,使天线主波束对准用户信号到达方向,同时使 旁瓣或零陷对准干扰信号到达方向,从而给有用信号带来最大增益,有 效减少多径影响,同时达到对干扰信号删除和抑制的目的。

?智能天线另一个可能的用途是进行紧急呼叫定位,并提供更高的定位 精度,因为在获得可用于定位的时延、强度等信息的同时它还可以获得 波达角信息。
? 采用智能天线的基站可以获得接收信号的空间特征矩阵,由此获得信 号的功率估值和到达方向(DOA)。
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