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上海市十三校2012届高三上学期第一次联考数学(理科)试卷


上海市十三校 2012 届高三上学期第一次联考
数学(理科)试卷
考试时间:120 分钟 满分:150 分 一、填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,每题 4 分.

n2 ? n ? 1 ? . n?? 3n ? 2 2. 如图, U 是全集, A ? U,B ? U ,用集合运算符号
1. 已知 n ? N * ,则 lim 表示图中阴影部分的集合是 .

U

A
(第 2 题图)

B

1 . 2 4. 若 2 ? i 是方程 x 2 ? bx ? c ? 0(b、 c ? R) 的根,其中 i 是 虚数单位,则 b ? c ? . ? ?) 上单调递减, 5. 若函数 f (x) ? log1?2a x 在 (0, 则实数 a 的取值范围是 .
3. 函数 f (x) ? sin 2 x ? cos 2x ? 的最小正周期是 6. 图中是一个算法流程图,则输出的 正整数 n 的值是 .

开始 n←1,S←0 S<2012 是 S←S+2n 否 输出 n 结束

n←n+1 1 x ? ? x ? 0 的反函数 7. 设函数 f ( x) ? ?2 ? ( 2 ) (第 6 题图) ? ?log 2 ( x ? 2) x ? 0 为 y ? f ?1(x) ,若 f ?1(a) ? 4 ,则实数 a 的取值范围是 . 8. 对 于 任 意 的 实 数 k , 如 果 关 于 x 的 方 程 f ( x) ? k 最 多 有 2 个 不 同 的 实 数 解 , 则 | f (x ) ? | m( m 为实常数)的不同的实数解的个数最多为 . 1 1 1 1 x , )(n ? N * ) ,则 n ? 9. 设函数 f ( x) ? ( ) ? x 3 的零点 x0 ? ( . n ?1 n 2 10. 已知数列 {an} 的前 n 项和 Sn ? 2n2 ? pn ,a7 ? 11 ,若 ak ? ak ?1 ? 12 ,则正整数 k 的最 小值 为 C .
?

D A B

AB ? 6, D 在斜 11. 如图,在 ?ABC 中, ?BAC ? 90 ,

(第 11 题图) ??? ? ??? ? 边 BC 上,且 CD ? 2 DB ,则 AB ? CD 的值为 . , 2) ? M ,则实数 a 的取 12. 设不等式 x2 ?1 ? loga x(a ? 0 , 且a ? 1) 的解集为 M ,若 (1

值范围是 13. 已 知 函 数

. 满 足

, 数 列 {an } f ( x) ? 2x ? arctan x a 1 a1 ? , f (an?1 ) ? f ( n )(n ? N * ) , 4023 1-2an 则 f (a2012 ) ? . ? ? ? 14. 设 a,, b c 是平面内互不平行的三个向量, x ? R ,有下列命题: ? 2 ? ? ? ? ? ①方程 ax ? bx ? c ? 0(a ? 0) 不可能有两个不同的实数解; ?2 ? ? ? ? ? ? ? ? ②方程 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 有实数解的充要条件是 b ? 4a ? c ? 0 ; ? b ?2 2 ? ? ?2 ③方程 a x ? 2a ? bx ? b ? 0 有唯一的实数解 x ? ? ? ; a ?2 2 ? ? ?2 ④方程 a x ? 2a ? bx ? b ? 0 没有实数解. 其中真命题有 .(写出所有真命题的序号) 二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题 5 分.
1 王康民

15. 已知 a ? R ,不等式 A. a ? ?3 16. 设 角

x ? 3 ? 1 的解集为 P ,且 ?2 ? P ,则 a 的取值范围是 x?a B. ?3 ? a ? 2 C. a ? 2 或 a ? ?3 D. a ? 2 或 a ? ?3

(

)

“ ( ) A.充分非必要条件 条件

, ?Z ) 2 (1 ? tan ?)(1 ? tan ? ) ? 2 B.必要非充分条件

?、 ? ?k

?? ? (k



“ ”

? ? ? ? ? ? n? (n ? Z )
4
成 立



是 的

C.充要条件

D.既非充分也非必要

b c d , 若 集 合 S ? {a 17. 对 于 复 数 a、、、 具有性质: “ 对 任 意 x, ,,, b c d} y ?S ,都有

xy ? S









? ?a2? 1 ?b ? 1 2 ? ?c ? b





b? ? c

d 的





( ) A. 1 B. ?1 C. i D. ?i 1) 到实数集 R 的对应过程:区间 (0, 1) 中的实数 m 对应数轴 18. 下图展示了一个由区间 (0,

B 恰好重合(如图 上(线段 AB )的点 M (如图 1);将线段 AB 围成一个圆,使两端点 A、 1) (如图 2);再将这个圆放在平面直角坐标系中,使其圆心在 y 轴上;点 A 的坐标为 (0,

0) ,按此对 3),当点 M 从 A 到 B 是逆时针运动时,图 3 中直线 AM 与 x 轴交于点 N (n,
应法则确定的函数使得 m 与 n 对应,即 f (m) ? n .对于这个函数 y ? f (x) ,有下列命题: ① f ( ) ? ?1 ; ② f (x) 的图像关于 ( , ③若 f (x) ? 3 , 则x ? 0) 对称; 上 ( 单 )
A 0

1 4

1 2

5; 1) ④ f (x) 在 (0, 6
题 个 数 是







.










A

命 y

M m

B 1 M

A(B)

M

图1

图2

N O 图3

x

A. 1 B. 2 C. 3 三、解答题(本大题共 5 小题,满分 74 分) 19. (本题满分 12 分)

D. 4

2 ?1 1 ? | x | ?5 ? 3 ? ? | x | ?1 已知矩阵 ? ? 的某个列向量的模不大于行列式 ?2 0 ?3 中元素 0 的 ? 0 4 ?2 3 ? 2? ? ?
代数余子式的值,求实数 x 的取值范围.

2

王康民

20. (本题满分 14 分,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 7 分) 为了研究某种癌细胞的繁殖规律和一种新型抗癌药物的作用, 将癌细胞注入一只小白鼠 体内进行实验,经检测,癌细胞的繁殖规律与天数的关系如下表.已知这种癌细胞在小白鼠 体内的个数超过 108 时小白鼠将会死亡,注射这种抗癌药物可杀死其体内癌细胞的 98% . 天数 t 1 2 3 4 5 6 7 ? 1 2 4 8 16 32 64 ? 癌细胞个数 N (1)要使小白鼠在实验中不死亡,第一次最迟应在第几天注射该种药物?(精确到 1 天) (2)若在第 10 天,第 20 天,第 30 天,??给小白鼠注射这种药物,问第 38 天小白鼠 是否仍然存活?请说明理由.

21. (本题满分 14 分,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分) 已知 f ( x) ? 3sin ? x ? 3cos ? x(? ? 0) .

) 是周期为 ? 的偶函数,求 ? 和 ? 的值; 2 ? ? ? ] 上的取值 (2) g ( x) ? f (3x) 在 (? , ) 上是增函数,求 ? 的最大值;并求此时 g ( x) 在 [0, 2 3
(1)若 y ? f ( x ? ? )(0 ? ? ? 范围.

?

3

王康民

22. (本题满分 16 分,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分) 设等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,已知 an?1 ? 2Sn ? 2(n ? N *) . (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)在 an 与 an ?1 之间插入 n 个数,使这 n ? 2 个数组成公差为 d n 的等差数列(如:在 a1 与 a2 之间插入 1 个数构成第一个等差数列,其公差为 d1 ;在 a2 与 a3 之间插入 2 个数构成第二个 等差数列, 其公差为 d2 , ?以此类推), 设第 n 个等差数列的和是 An . 是否存在一个关于 n 的多项式 g (n) ,使得 An ? g (n)dn 对任意 n ? N * 恒成立?若存在,求出这个多项式;若不 存在,请说明理由; (3)对于(2)中的数列 d1,d2,d3, ?,dn, ?,这个数列中是否存在不同的三项

dm,dk,d p (其中正整数 m,k,p 成等差数列)成等比数列,若存在,求出这样的三项;若
不存在,说明理由.

23.

(本题满分 18 分,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 5 分,第 3 小题满分 8 分) 已知函数 f (x) ? ( ? 1)2 ? ( ? 1)2,x ? (0, ? ?) ,其中 0 ? a ? b .

,b ? 2 时,求 f ( x) 的最小值; (1)当 a ? 1
(2)若 f (a) ? 2m ? 1对任意 0 ? a ? b 恒成立,求实数 m 的取值范围; (3)设 k、c ? 0 ,当 a ? k 2,b ? (k ? c)2 时,记 f (x) ? f1(x) ;当 a ? (k ? c)2,b ? (k ? 2c)2 时,记 f (x) ? f 2(x) . 求证: f1(x) ? f 2(x) ?

x a

b x

4c2 . k(k ? c)

4

王康民

2012 年高三年级十三校第一次联考数学(理科)答题纸
2011.12.8
一.填空题(每题 4 分,共 56 分) : 1. 5. 9. 13. 题号 答案 三.解答题 19(12 分) .解: ; 2. ; 6. ; 10. ; 14._ 15 16 ; 3. ; 7. ; 11. . 17 18 ; 4. ; 8. ; 12. ; ; ;

二.选择题(每题 5 分,共 20 分) :

20(14 分) .解:

5

王康民

21(14 分) 、解:

6

王康民

22(16 分) 、解:

7

王康民

23(18 分) 、解:

8

王康民

2012 年高三年级十三校第一次联考数学(理科)答案
考试时间:120 分钟 满分:150 分 一、填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,每题 4 分.

1 n2 ? n ? 1 ? . n?? 3 3n ? 2 U A ? U , B ? U 2. 如图, 是全集, ,用集合运算符号 表示图中阴影部分的集合是 . A ? ?UB 1 3. 函数 f (x) ? sin 2 x ? cos 2x ? 的最小正周期是 . ? 2 2 4. 若 2 ? i 是方程 x ? bx ? c ? 0(b、 c ? R) 的根,其中 i 是 虚数单位,则 b ? c ? .1 5. 若函数 f (x) ? log1?2a x 在 (0, ? ?) 上单调递减, 1 则实数 a 的取值范围是 .0 ? a ? 2
1. 已知 n ? N * ,则 lim 6. 图中是一个算法流程图,则输出的 正整数 n 的值是 . 11 7. 设函数 f ( x) ? ?2 ? ( 2 )

U

A
(第 2 题图)

B

开始 n←1,S←0 S<2012 是 S←S+2n n←n+1
(第 6 题图)

否 输出 n 结束

? ?

1

x

?log 2 ( x ? 2) x ? 0 ? 为 y ? f ?1(x) ,若 f ?1(a) ? 4 ,则实数 a 的取值范围是 . [log 2 6, ? ?) 8. 对 于 任 意 的 实 数 k , 如 果 关 于 x 的 方 程 f ( x) ? k 最 多 有 2 个 不 同 的 实 数 解 , 则 | f (x ) ? | m( m 为实常数)的不同的实数解的个数最多为 .4
1 1 1 1 x , )(n ? N * ) ,则 n ? 9. 设函数 f ( x) ? ( ) ? x 3 的零点 x0 ? ( .2 n ?1 n 2 10. 已知数列 {an} 的前 n 项和 Sn ? 2n2 ? pn ,a7 ? 11 ,若 ak ? ak ?1 ? 12 ,则正整数 k 的最

x ? 0 的反函数

小值 为

C

.6
?

D A B

AB ? 6, D 在斜 11. 如图,在 ?ABC 中, ?BAC ? 90 ,

(第 11 题图) ??? ? ??? ? 边 BC 上,且 CD ? 2 DB ,则 AB ? CD 的值为_____. 24 , 2) ? M ,则实数 a 的取 12. 设不等式 x2 ?1 ? loga x(a ? 0 , 且a ? 1) 的解集为 M ,若 (1

值范围是 13. 已 知 函 数

. (1 , 2] 足

3

, 数 列 满 {an } f ( x) ? 2x ? arctan x ? a 1 .2? a1 ? , f (an?1 ) ? f ( n )(n ? N * ) ,则 f (a2012 ) ? 4 4023 1-2an ? ? ? 14. 设 a,, b c 是平面内互不平行的三个向量, x ? R ,有下列命题: ? 2 ? ? ? ? ? ①方程 ax ? bx ? c ? 0(a ? 0) 不可能有两个不同的实数解; ?2 ? ? ? ? ? ? ? ? ②方程 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 有实数解的充要条件是 b ? 4a ? c ? 0 ; ? b ?2 2 ? ? ?2 ③方程 a x ? 2a ? bx ? b ? 0 有唯一的实数解 x ? ? ? ; a ?2 2 ? ? ?2 ④方程 a x ? 2a ? bx ? b ? 0 没有实数解. 其中真命题有 .(写出所有真命题的序号) ①④

9

王康民

二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题 5 分. 15. 已知 a ? R ,不等式 A. a ? ?3 16. 设 角

x ? 3 ? 1 的解集为 P ,且 ?2 ? P ,则 a 的取值范围是 x?a B. ?3 ? a ? 2 C. a ? 2 或 a ? ?3 D. a ? 2 或 a ? ?3

( D )

“ ” 成 立 的 ( C ) A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要 条件 b c d , 若 集 合 S ? {a 17. 对 于 复 数 a、、、 具有性质: “ 对 任 意 x, ,,, b c d} y ?S ,都有

, ?Z ) 2 (1 ? tan ?)(1 ? tan ? ) ? 2

?、 ? ?k

?? ? (k





? ? ? ? ? ? n? (n ? Z )
4





xy ? S









? ?a2? 1 ?b ? 1 2 ? ?c ? b





b? ? c

d 的





( B ) A. 1 B. ?1 C. i D. ?i 1) 到实数集 R 的对应过程:区间 (0, 1) 中的实数 m 对应数轴 18. 下图展示了一个由区间 (0,

B 恰好重合(如图 上(线段 AB )的点 M (如图 1);将线段 AB 围成一个圆,使两端点 A、 A y 1) (如图 2);再将这个圆放在平面直角坐标系中,使其圆心在 轴上;点 的坐标为 (0,

0) ,按此对 3),当点 M 从 A 到 B 是逆时针运动时,图 3 中直线 AM 与 x 轴交于点 N (n,
应法则确定的函数使得 m 与 n 对应,即 f (m) ? n .对于这个函数 y ? f (x) ,有下列命题: ① f ( ) ? ?1 ; ② f (x) 的图像关于 ( , ③若 f (x) ? 3 , 则x ? 0) 对称; 上 单 ( D ) 调 递 增 . 其 中 正 确 的 命
A A 0 M m B 1 M A(B) M

1 4

1 2

5; 1) ④ f (x) 在 (0, 6
题 y 个 数 是

图1

图2

N O 图3

x

A. 1 B. 2 C. 3 三、解答题(本大题共 5 小题,满分 74 分) 19. (本题满分 12 分)

D. 4

2 ?1 1 ? | x | ?5 ? 3 ? ? | x | ?1 已知矩阵 ? ? 的某个列向量的模不大于行列式 ?2 0 ? 3 中元素 0 的 ? 0 4 ?2 3 ? 2? ? ? 代数余子式的值,求实数 x 的取值范围. 2 ?1 1 2 1 解:行列式 ?2 0 ?3 中元素 0 的代数余子式是 ? 2 ???????????4 分 4 3 4 ?2 3

? | x | ?5 ? | x | ?5 ? ? ? 2 ,?????????8 分 依题意,显然列向量 a ? | x | ?1 ? 的模不大于 2 ,即 ? ? | x | ?1 ? 0 ? ? ? 解得 x ? 3 或 x ? ?3
10 王康民

∴满足条件的实数 x 的取值范围是 (??, ? 3] ? [3,? ?) ????????????? 12 分 20. (本题满分 14 分,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 7 分) 为了研究某种癌细胞的繁殖规律和一种新型抗癌药物的作用, 将癌细胞注入一只小白鼠 体内进行实验,经检测,癌细胞的繁殖规律与天数的关系如下表.已知这种癌细胞在小白鼠 体内的个数超过 108 时小白鼠将会死亡,注射这种抗癌药物可杀死其体内癌细胞的 98% . 天数 t 1 2 3 4 5 6 7 ? 1 2 4 8 16 32 64 ? 癌细胞个数 N (1)要使小白鼠在实验中不死亡,第一次最迟应在第几天注射该种药物?(精确到 1 天) (2)若在第 10 天,第 20 天,第 30 天,??给小白鼠注射这种药物,问第 38 天小白鼠 是否仍然存活?请说明理由. 解:(1)依题意, 2t ?1 ? 108 ??????????????????????????2 分 ∴ t ? log2 108 ? 1 ? 27.58 ??????????????????????????? 5 分 即第一次最迟应在第 27 天注射该种药物. ????????????????????7 分 (2)设第 n 次注射药物后小白鼠体内的这种癌细胞个数为 an ,
1 则 a1 ? 29(1 ? 98%) ,且 an?1 ? 210(1 ? 98%)an ,∴ an ? 210 n? ( 1? 98%) 分 n

????????10

于是 a3 ? 210?3?1(1 ? 98%)3 ,即第 3 次注射后小白鼠体内的这种癌细胞个数为 分 到第 38 天小白鼠体内的这种癌细胞个数为

232 ,??12 1003

232 ? 28 ? 1.1?107 ? 108 ????????14 1003

分 ∴第 38 天小白鼠仍然存活.(注:列举法求解的也行,请按步骤评分) 21. (本题满分 14 分,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分) 已知 f ( x) ? 3sin ? x ? 3cos ? x(? ? 0) .

) 是周期为 ? 的偶函数,求 ? 和 ? 的值; 2 ? ? ? ] 上的取值 (2) g ( x) ? f (3x) 在 (? , ) 上是增函数,求 ? 的最大值;并求此时 g ( x) 在 [0, 2 3
(1)若 y ? f ( x ? ? )(0 ? ? ? 范围. 解:(1)∵ f ( x) ? 2 3sin(? x ?

?

?

)(? ? 0) ,∴ f (x ? ?) ? 2 3sin( ?x ? ?? ? ) ????1 分 3 3


?

又 y ? f ( x ? ? ) 是最小正周期为 ? 的偶函数 分 且 2? ?

2? ? ? ,即 ? ? 2 ,????????3

?

?
3

? k? ?

?
2

,即 ? ?

注意到 0 ? ? ? 分

?

1 ? ,∴ ? ? , ? ? 为所求;??????????????????? 6 2 3 12

k? ? ? (k ? Z ) 2 12

(2)因为 g ( x) ? f (3x) ? 2 3sin(3? x ?

?

?3? ? (? ? ) ? ? ? 2k? ? ? ?? ? ? 4 k ? 5 ? ? 2 3 2 3 9 (k ? Z ) ,????????????? 9 ∴? ?? ? ? ? 1 3? ? ? ? 2k? ? ? ? 2k ? ? ? ? ? 3 3 2 6
11 王康民

? ? )(? ? 0) 在 (? , ) 上是增函数, 3 2 3



?? 4 k ? 5 ? 0 ? 9 又 ? ? 0 ,∴ ? 3 ? ? 1 ? k ? 5 ,∴ k ? 0 12 12 1 2k ? ? 0 ? ? 6 1 1 于是 0 ? ? ? ,即 ? 的最大值为 ,??????????????????????12 6 6


x ? 此时, g ( x) ? 2 3sin( ? ) , 2 3 ? x ? 5? 1 x ? 0? x ?? ? ? ? ? ? ? sin( ? ) ? 1 ? g ( x) ?[ 3, 2 3] ???????? 14 3 2 3 6 2 2 3 分 22. (本题满分 16 分,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分) 设等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,已知 an?1 ? 2Sn ? 2(n ? N *) .
(1)求数列 {an } 的通项公式; (2)在 an 与 an ?1 之间插入 n 个数,使这 n ? 2 个数组成公差为 d n 的等差数列(如:在 a1 与 a2 之间插入 1 个数构成第一个等差数列,其公差为 d1 ;在 a2 与 a3 之间插入 2 个数构成第二个 等差数列, 其公差为 d2 , ?以此类推), 设第 n 个等差数列的和是 An . 是否存在一个关于 n 的多项式 g (n) ,使得 An ? g (n)dn 对任意 n ? N * 恒成立?若存在,求出这个多项式;若不 存在,请说明理由; (3)对于(2)中的数列 d1,d2,d3, ?,dn, ?,这个数列中是否存在不同的三项

dm,dk,d p (其中正整数 m,k,p 成等差数列)成等比数列,若存在,求出这样的三项;若
不存在,说明理由. 解:(1)设 an ? a1q n?1 ,由 an?1 ? 2S n ? 2(n ? N * ) 知, ? 分 解得 分

?a1q ? 2a1 ? 2
2 ?a1q ? 2(a1 ? a1q) ? 2

,???2

?2 ?a q?3
1

, ∴ an ? 2 ? 3n?1 ?????????????????????????4

2 ? 3n ? 2 ? 3n ?1 4 ? 3n ?1 (2 ? 3n ? 2 ? 3n ?1 )(n ? 2) ? An ? ? 4(n ? 2) ? 3n ?1 ; n ?1 n ?1 2 n ?1 4?3 n ?1 要使 An ? g (n)dn ,则 4(n ? 2) ? 3 ? g ( n) ? ,?????????????8 分 n ?1 2 2 ∴ g (n) ? (n ? 2) ? (n ? 1) ? n ? 3n ? 2 ,即存在 g (n) ? n ? 3n ? 2 满足条件;???10 分 (3)对于(2)中的数列 {dn} ,若存在不同的三项 dm,dk,d p (其中正整数 m,k,p 成等差数 dn ? (2)依题意,

4 ? 3k ?1 2 4 ? 3m?1 4 ? 3 p ?1 列)成等比数列,则 d ? dmd p ,即 ( ) ? ? k ?1 m ?1 p ?1 ∵ 2k ? m ? p??① , 1 2 1 1 2 ) ? ? ∴( ,即 k ? mp???② ????????????????14 k ?1 m ?1 p ?1
2 k

分 由①②可得 m ? k ? p ,与 dm,dk,d p 是不同的三项矛盾,

12

王康民

∴不存在不同的三项 dm,dk,d p (其中正整数 m,k,p 成等差数列)成等比数列. ??16 分
23.

(本题满分 18 分,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 5 分,第 3 小题满分 8 分) 已知函数 f (x) ? ( ? 1)2 ? ( ? 1)2,x ? (0, ? ?) ,其中 0 ? a ? b .

,b ? 2 时,求 f ( x) 的最小值; (1)当 a ? 1
(2)若 f (a) ? 2m ? 1对任意 0 ? a ? b 恒成立,求实数 m 的取值范围; (3)设 k、c ? 0 ,当 a ? k 2,b ? (k ? c)2 时,记 f (x) ? f1(x) ;当 a ? (k ? c)2,b ? (k ? 2c)2

x a

b x

4c2 . k(k ? c) ,b ? 2 时, f (x) ? (x ? 1)2 ? (2 ? 1)2 ? (x ? 2 ? 1)2 ? 3 ?????????1 解:(1)当 a ? 1 x x
时,记 f (x) ? f 2(x) . 求证: f1(x) ? f 2(x) ? 分

2 (x ? 0) ,则 t ? 2 2 ,当且仅当 x ? 2 时, t ? 2 2 ,?3 分 x 此时函数 g(t) ? (t ? 1)2 ? 3 在 t ? [2 2,? ?) 上单调递增,
令t ? x ? ∴

f (x)min ? f ( 2) ? (2 2 ?1)2 ? 3 ? 6 ? 4 2 .????????????????????5
分 (2)∵ 0 ? a ? b ,∴ 分 令t ?

b ? 1 , f (a) ? 2m ? 1 ? (b ? 1)2 ? 1 ? 2m 对任意 0 ? a ? b 恒成立,?6 a a

b ,则 t ? 1 ,函数 y ? (t ?1)2 ? 1 在 (1 , ? ?) 上单调递增,∴ y ? (t ?1)2 ? 1 ? 1 ,?? a

8分 ∴ 1 ? 2m , 解得 m ? 0 ?????????????????????????????? 10 分 ? ?) , f (x) ? f ( ab) (3)先证:对于 x ? (0,

f (x) ? ( x ? 1)2 ? (b ? 1)2 ? ( x ? b ? 1)2 ? 2b ? 1(x ? 0) ,??????????????? a x a x a
11 分

x b ? ,则 t ? 2 b ,当且仅当 x ? ab 时取等号,且 2 b ? 1 a a a x 2b ? 1 ,在 [ 函数 g(t) ? (t ? 1)2 ? 2 b,? ) ? 上单调递增,∴ f (x) ? g(2 b ) ? f ( ab) ??14 a a a
令t ? 分 ∴当 a ? k 2,b ? (k ? c)2 时, f (x) ? f1(x) ? f [k(k ? c)] ?

2c 2 k2

当 a ? (k ? c)2,b ? (k ? 2c)2 时, f (x) ? f 2(x) ? f [(k ? c)(k ? 2c)] ? 显然上述两个等号不同时成立, ∴ f1(x) ? f 2(x) ? 18 分

2c2 (k ? c)2

2c2 ? 2c2 ? 4c2 ????????????????????? k 2 (k ? c)2 k(k ? c)

13

王康民


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