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二次函数专题复习(含答案点拨)

第 12 讲 考纲要求 二次函数 命题趋势 二次函数是中考的重点内 容,题型主要有选择题、填空 题及解答题,而且常与方程、 不等式、几何知识等结合在一 起综合考查,且一般为压轴 题.中考命题不仅考查二次函 数的概念、图象和性质等基础 知识,而且注重多个知识点的 综合考查以及对学生应用二次 函数解决实际问题能力的考查. 1.理解二次函数的有关概念. 2.会用描点法画二次函数的图象,能从图象上认 识二次函数的性质. 3.会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口 方向和对称轴,并会求解二次函数的最值问题. 4.熟练掌握二次函数解析式的求法,并能用它解 决有关的实际问题. 5. 会用二次函数的图象求一元二次方程的近似解. 知识梳理 一、二次函数的概念 一般地,形如 y=______________(a,b,c 是常数,a≠0)的函数,叫做二次函数. 二次函数的两种形式: (1)一般形式:____________________________; (2)顶点式:y=a(x-h)2+k(a≠0),其中二次函数的顶点坐标是________ . 二、二次函数的图象及性质 二次函数 y=ax2+bx+c(a,b,c 为常数,a≠0) 图象 开口方向 对称轴 (a>0) 开口向上 (a<0) 开口向下 b b 直线 x=- 直线 x=- 2a 2a 2 2 ?- b ,4ac-b ? ?- b ,4ac-b ? 顶点坐标 ? 2a 4a ? ? 2a 4a ? b b 当 x<- 时,y 随 x 当 x<- 时,y 随 x 2a 2a 的增大而减小;当 x 的增大而增大;当 x 增减性 b b >- 时,y 随 x 的 >- 时, y 随 x 的增 2a 2a 增大而增大 大而减小 b b 当 x=- 时, y 有最 当 x=- 时,y 有最 2a 2a 最值 4ac-b2 4ac-b2 ______值 ______值 4a 4a 2 三、二次函数图象的特征与 a,b,c 及 b -4ac 的符号之间的关系 四、二次函数图象的平移 抛物线 y=ax2 与 y=a(x-h)2,y=ax2+k,y=a(x-h)2+k 中|a|相同,则图象的________ 和大小都相同,只是位置不同.它们之间的平移关系如下: 五、二次函数 关系式的确定 1.设一般式:y=ax2+bx+c(a≠0). 若已知条件是图象上三个点的坐标, 则设一般式 y=ax2+bx+c(a≠0), 将已知条件代入, 求出 a,b,c 的值. 2.设交点式:y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0). 若已知二次函数图象与 x 轴的两个交点的坐标,则设交点式:y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0), 将第三点的坐标或其他已知条件代入,求出待定系数 a,最后将关系式化为一般式. 3.设顶点式:y=a(x-h)2+k(a≠0). 若已知二次函数的顶点坐标或对称轴方程与最大值或最小值,则设顶点式:y=a(x-h)2 +k(a≠0),将已知条件代入,求出待定系数化为一般式. 六、二次函数与一元二次方程的关系 1.二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0),当 y=0 时,就变成了 ax2+bx+c=0(a≠0). 2.ax2+bx+c=0(a≠0)的解是抛物线与 x 轴交点的________. 3.当 Δ=b2-4ac>0 时,抛物线与 x 轴有两个不同的交点;当 Δ=b2-4ac=0 时,抛物 线与 x 轴有一个交点;当 Δ=b2-4ac<0 时,抛物线与 x 轴没有交点. 4. 设抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴两交点坐标分别为 A(x1,0), B(x2,0), 则 x1+x2=________, x1· x2=________. 自主测试 1.下列二次函数中,图象以直线 x=2 为对称轴,且经过点(0,1)的是( ) 2 2 A.y=(x-2) +1 B.y=(x+2) +1 C.y=(x-2)2-3 D.y=(x+2)2-3 2.如图所示的二次函数 y=ax2+bx+c 的图象中,刘星同学观察得出了下面四个结论: 2 (1)b -4ac>0;(2)c>1;(3)2a-b<0;(4)a+b+c<0.你认为其中错误的有( ) A.2 个 B.3 个 C.4 个 D.1 个 3.当 m=__________时,函数 y=(m-3)xm2-7+4 是二次函数. 4. 将抛物线 y=x2 的图象向上平移 1 个单位, 则平移后的抛物线的解析式为__________ . 5.写出一个开口向下的二次函数的表达式:__________________________. 考点一、二次函数的图象及性质 【例 1】(1)二次函数 y=-3x2-6x+5 的图象的顶点坐标是( ) A.(-1,8) B.(1,8) C.(-1,2) D.(1,-4) (2)已知抛物线 y=ax2+bx+c(a>0)的对称轴为直线 x=1,且经过点(-1,y1),(2,y2), 试比较 y1 和 y2 的大小:y1________y2.(填“>”“<”或“=”) -6 b 解析: (1)抛物线的顶点坐标可以利用顶点坐标公式或配方法来求. ∵- =- = 2a 2×?-3? - 1, 4ac-b2 4×?-3?×5-?-6?2 = =8, 4a 4×?-3? ∴二次函数 y=-3x2-6x+5 的图象的顶点坐标是(-1,8).故选 A. (2)点(-1,y1),(2,y2)不在对称轴的同一侧,不能直接利用二次函数的增减性来判断 y1, y2 的大小,可先根据抛物线关于对称轴的对称性,然后再用二次函数的增减性即可.设抛物 线经过点(0,y3),∵抛物线对称轴为直线 x=1, ∴点(0,y3)与点(2,y2)关于直线 x=1 对称.∴y3=y2. ∵a>0,∴当 x<1 时,y 随 x 的增大而减小. ∴y1>y3.∴y1>y2. 答案:(1)A (2)> 方法总结 1.将抛物线

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