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高中数学 1.6 3微积分学基本定理定积分计算教案 新人教A版选修2-2

2013 年高中数学 1.6 3 微积分学基本定理定积分计算教案 新人教 A 版选修 2-2 教学目的与要求: 1. 理解并掌握微积分基本定理的内容及意义 . 具有应用微积分基本定理证明定积分有关问 题的能力. 2. 熟练应用积分第二中值定理证明定积分有关问题. 教学重点,难点: 1. 微积分基本定理的内容及意义. 应用微积分基本定理证明定积分有关问题的能力. 2. 应用积分第二中值定理证明定积分有关问题. 教学内容: 当函数的可积性问题告一段落,并对定积分的性质有了足够的认识之后,接着要来解决一 个以前多次提到过的问题——在定积分形式下证明连续函数必定存在原函数. 一 变限积分与原函数的存在性 设 f 在[a,b]上可积,根据定积分的性质 4,对任何 x∈(a,b), f 在[a, x]上也可积.于是, 由 ??x ? ? ? f ?t ?dt, x ? ?a, b? x a (1) 定义了一个以积分上限 x 为自变量的函数,称为变上限的定积分.类似地,又可定义变下限的定 积分: ? ( x) ? ? f (t )dt, x ? ?a, b?. b x (2) ? 与 ψ 统称为变限积分. 注:在变限积分(1)与(2)中,不可再把积分变量写成 x(例如 下限的 x 相混淆. 变限积分所定义的函数有着重要的性质.由于 ? x a f ( x)dx, )以免与积分上、 ? b x f (t )dt ? ?? f (t )dt, b x 因此下面只讨论变上限积分的情形. 定理 9.9 若 f 在[a,b]上可积,则由(1)式所定义的函数 ? 在[a,b]上连续. 证 对[a,b]上任一确定的点 x,只要 x+△x∈[a,b],按定义式(1)有 ?? ? ? x ? ?x a f (t )dt ? ? f (t )dt ? ? a x x ? ?x x f (t )dt. 因 f 在[a,b]上有界,可设 f ?t ? ? M , t ? ?a, b?. 于是,当△x>0 时有 ?? ? ? x ? ?x x f (t )dt ? ? x ? ?x x f (t ) dt ? M?x; 当△x<0 时则有 ?? ? M ?x . 由此得到 lim ?? ? 0, ?x ?0 即证得 ? 在点 x 连续.由 x 的任意性, ? 在[a,b]上处处连续. □ 定理 9.10 (原函数存在定理) 若 f 在[a,b]上连续,则由(1)式所定义的函数 ? 在[a,b] 上处处可导,且 ? ??x ? ? 证 定理,有 d x f (t )dt ? f ( x), x ? ?a, b?. dx ?a (3) 对[a,b]上任一确定的 x,当△x≠0 且 x+△x∈[a,b]时,按定义式(1)和积分第一中值 ?? 1 x ? ?x ? f (t )dt ? f ( x ? ??x),0 ? ? ? 1. ?x ?x ?x 由于 f 在点 x 连续,故有 ? ?( x) ? lim ?x ?0 ?? ? f ( x ? ??x) ? f ( x). ?x lim ?x ?0 □ 由 x 在[a,b]上的任意性,证得 ? 是 f 在[a,b]上的一个原函数. 注 本定理沟通了导数和定积分这两个从表面看去似不相干的概念之间的内在联系;同 时也证明了“连续函数必有原函数”这一基本结论,并以积分形式(1)给出了 f 的一个原函数, 正因为定理 9.10 的重要作用而被誉为微积分学基本定理. 且可用它可以给出牛顿-莱布尼茨 公式的另一证明。 因 f 的任意两个原函数只能相差一个常数,所以当 f 为连续函数时,它的任一函数 F 必满 足 F ( x) ? ? f (t )dt ? C. a x 若在此式中令 x=a,,得到 C=F(a),从而有 ? 再令 x= b,即得 x a f (t )dt ? F ( x) ? F (a). ? 原函数 F b a f (t )dt ? F (b) ? F (a). (4) 这是牛顿一菜布尼茨公式的又一证明.比照定理 9.1,现在只需假设被积函数 f 为连续函数,其 的存在性已为定理 9.10 所保证,无需另作假设. 利用变限积分又能证明下述积分第二中值定理. 定理 9.11 (积分第二中值定理) 设函数 f 在[a,b]上可积. (i)若函数 g 在[a,b]上减,且 g(x)≥0,则存在 ξ ∈[a,b]使得 ? b a f ( x) g ( x)dx ? g (a) ? f ( x)dx; a ? (5) (ii)若函数 g 在[a,b]上增,且 g(x)≥0,则存在 ? ? ?a, b? ,使得 ? a f ? x ? g ? x ? dx ? g ?b ? ?? f ? x ? dx. 证 下面只证(i),类似地可证(ii).设 b b (6) x F ? x ? ? ? f ? t ? dt , x ? ? a, b ?. a 由于 f 在[a,b]上可积,因此 F 在[a,b]上连续,从而存在最大值 M 和最小值 m. 若 g(a)=0,由假设 g ? x ? ? 0, x ??a, b? ,此时对任何 ? ??a, b? , ?5? 式恒成立.下面设 g(a)> 0,这时(5)式即为 F (? ) ? ? f (t )dt ? a ? 1 b f ( x) g ( x)dx. g (a) ?a (5’) 所以问题转化为只须证明 m? 1 b f ( x) g ( x)dx ? M , g (a) ?a (7) 因为由此可借助 F 的介值性立刻证得(5’).当然(7)式又等同于 mg(a) ? ? f ( x) g ( x)dx ? Mg (a), a b (7’) 下面就来证明这个不等式. 由条件

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