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【导与练】2014届高三数学(理)一轮总复习:第五篇 数 列 第5节 Word版含解析






数列的综合应用

【选题明细表】 知识点、方法 等差数列与等比数列综合 数列的实际应用 数列与函数、方程综合 数列与不等式的综合 数列与其他知识的综合 一、选择题 1.(2012 郑州模拟)已知各项均不为 0 的等差数列{an},满足 2a3- +2a11=0, 数列{bn}是等比数列,且 b7=a7,则 b6b8 等于( (A)2 (B)4 (C)8 (D)16 D ) 题号 1、2、10 3、9、11 6、8 4、12 5、7

解析:因为{an}为等差数列,所以 a3+a11=2a7,所以已知等式可化为 4a7- =0, 解得 a7=4 或 a7=0(舍去),又{bn}为等比数列,所以 b6b8= = =16.故选 D. 2.(2012 北京朝阳区模拟)设数列{an}是公差不为 0 的等差数列,a1=1 且 a1、 a3、a6 成等比数列,则{an}的前 n 项和 Sn 等于( (A) + (C) + (B) + (D)n2+n A )

解析:由 a1、a3、a6 成等比数列可得 =a1·a6,设等差数列{an}的公差为 d,

则(1+2d)2=1×(1+5d),而 d≠0.故 d= ,所以 Sn=n+

× = + .故选 A.

3.四个小动物换座位,开始是鼠、猴、兔、猫分别坐 1、2、3、4 号位子 上如图,第一次前后排动物互换座位,第二次左右列动物互换座位,…,这 样交替进行下去,那么第 2012 次互换座位后,小兔的座位对应的是 ( C )

(A)编号 1 (B)编号 2 (C)编号 3 (D)编号 4 解析:小兔原来的位置编号为 a0=3,每次变换后小兔座位的位置编号为 an, 由题图可得 a1=1,a2=2,a3=4,依次类推得 a4=3,a5=1,a6=2…该数列的项周 期性出现,周期为 4,即 an+4=an,故 a2012=a4×503=a0=3.故选 C. 4.(2012 豫 西 五 校 联 考 ) 设 实 数 a1,a2,a3,a4 是 一 个 等 差 数 列 , 且 满 足 1<a1<3,a3=4.若定义 bn= ,给出下列命题:(1)b1,b2,b3,b4 是一个等比数

列;(2)b1<b2;(3)b2>4;(4)b4>32;(5)b2· 4=256. b 其中真命题的个数为( (A)2 (B)3 (C)4 C )

(D)5 }是公比为 2d 的等比数列,故(1)

解析:若{an}是公差为 d 的等差数列,则{

正确;a3>a1? 公差 d>0? 公比 2d>1,(2)正确;a1+a3=2a2,由 1<a1<3,a3=4,得 a1+a3>5? a2>2? b2= ? a4∈ ,故 b4= >4,(3)正确;1<a1<3,a3=4,又 a3=a1+2d? d= ∈ )2=256,

不一定大于 32,(4)不正确;因为 b2·b4= =(

所以(5)正确.故选 C. 5.在直角坐标系中,O 是坐标原点,P1(x1,y1),P2(x2,y2)是第一象限的两个点, 若 1、x1、x2、4 依次成等差数列,而 1、y1、y2、8 依次成等比数列,则△ OP1P2 的面积是( (A)1 (B)2 (C)3 A ) (D)4

解 析 : 根 据 等 差 、 等 比 数 列 的 性 质 , 可 知 x1=2,x2=3,y1=2,y2=4. ∴ P1(2,2),P2(3,4).∴ =1.故选 A.

6.(2013 长春四校联考)已知实数 a,b,c,d 成等比数列,且函数 f(x)=ln x-x, 当 x=b 时取到极大值 c,则 ad 等于( (A)1 (B)0 (C)-1 (D)2 C )

解析:实数 a,b,c,d 成等比数列,故由等比数列的性质得 ad=bc,又由函数 f(x)=ln x-x,当 x=b 时取到极大值 c 可得 ad=bc=-1.故选 C. 二、填空题 7.对正整数 n,设曲线 y=xn(1-x)在 x=2 处的切线与 y 轴交点的纵坐标为 an,则数列 的前 n 项和为 . 解得 故

解析:由题意,得 y'=nxn-1-(n+1)xn,故曲线 y=xn(1-x)在 x=2 处的切线的斜率 为 k=n2n-1-(n+1)2n,切点为(2,-2n),所以切线方程为 y+2n=k(x-2).令 x=0 得 an=(n+1)2n,即 答案:2n+1-2 =2n,则数列 的前 n 项和为 2+22+23+…+2n=2n+1-2.

8.已知函数 f(x)=2x,等差数列{an}的公差为 2,若 f(a2+a4+a6+a8+a10)=4,则 log2[f(a1)· 2)· 3)· f(a10)]= f(a f(a …· .

解析:法一 ∵数列{an}是公差为 2 的等差数列, ∴a2+a4+a6+a8+a10=5a2+40. 又∵f(a2+a4+a6+a8+a10)=4, ∴ =4,即 =22,

解得 a2=- , ∴a1=- , ∵f(a1)·f(a2)·f(a3)·…·f(a10)= 而 a1+a2+a3+…+a10= 10× + ×2=-6, .

∴log2[f(a1)·f(a2)·f(a3)·…·f(a10)]= log22-6=-6. 法二 ∵f(x)=2x,f(a2+a4+a6+a8+a10)=4, ∴ =4,

∴a2+a4+a6+a8+a10=2, ∵等差数列{an}的公差为 2, ∴a1+a3+a5+a7+a9= (a2+a4+a6+a8+a10)-5d=-8 ∴a1+a2+…+a9+a10=-6,

∴log2[f(a1)·f(a2)·f(a3)·…·f(a10)]= log2 答案:-6 9.某房地产开发商在销售一幢 23 层的商品楼之前按下列方法确定房价: 由于首层与顶层均为复式结构,因此首层价格为 a1 元/m2,顶层由于景观 好价格为 a2 元/m2,第 2 层价格为 a 元/m2,从第 3 层开始每层在前 1 层价 格上加价 元/m2,则该商品房各层的平均价格为 元/m2. =log22-6=-6.

解析:设第 2 层到第 22 层的价格构成数列{bn},则{bn}是等差数列,b1=a,公 差 d= ,共 21 项,所以其和为 S21=21a+ 故平均价格为 (a1+a2+23.1a)(元/m2). 答案: (a1+a2+23.1a) 三、解答题 10.(2012 温州模拟)已知公差不为 0 的等差数列{an},a1=1,且 a2,a4-2,a6 成等 比数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2) 已 知 数 列 {bn} 的 通 项 公 式 是 bn=2n-1, 集 合 · =23.1a,

A={a1,a2,…,an,…},B={b1,b2,b3,…,bn,…}.将集合 A∩B 中的元素按从小到大 的顺序排成一个新的数列{cn},求数列{cn}的前 n 项和 Sn. 解:(1)设等差数列{an}的公差为 d. 由题意(a4-2)2=a2a6 得(3d-1)2=(1+d)(1+5d),

解得 d=3 或 d=0. 因为公差 d 不为 0, 所以 d=3. 故 an=3n-2. (2)由题意知数列{cn}是数列{an}与数列{bn}的公共项, 令 2n-1=3m-2, 则 2n=2· n-1=6m-4=3(2m-1)-1 不是数列{cn}的项, 2 2n+1=2n-1· 2=12m-8=3(4m-2)-2 是数列{cn}的项. 2 所以{cn}是以 a1=b1=1 为首项,4 为公比的等比数列, 即 cn=4n-1, 故 Sn= = .

11.(2012 年高考湖南卷)某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产. 该企业第一年年初有资金 2000 万元,将其投入生产,到当年年底资金增 长了 50%.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同.公司要求企业从 第一年开始,每年年底上缴资金 d 万元,并将剩余资金全部投入下一年生 产.设第 n 年年底企业上缴资金后的剩余资金为 an 万元. (1)用 d 表示 a1,a2,并写出 an+1 与 an 的关系式; (2)若公司希望经过 m(m≥3)年使企业的剩余资金为 4000 万元,试确定企 业每年上缴资金 d 的值(用 m 表示). 解:(1)由题意得 a1=2000(1+50%)-d=3000-d, a2=a1(1+50%)-d= a1-d=4500- d,

an+1=an(1+50%)-d= an-d. (2)由(1)得 an= an-1-d= -d= an-2- d-d=…= a1-d 整理得 an= = (3000-d)-2d .

(3000-3d)+2d.

由题意,am=4000, 即 (3000-3d)+2d=4000. = . 时,经过 m(m≥3)年企业的剩

解得 d=

故该企业每年上缴资金 d 的值为 余资金为 4000 万元.

12.(2012 江西九校联考)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,对任意 n∈N*,都有 an>0,且满足(a1+a2+…+an)2= + +…+ . (1)求数列{an}的通项公式; (2)当 0<λ<1 时,设 bn=(1-λ)(an+ ),cn=λ(an+1),数列{ }的前 n 项和为 Tn,

求证:Tn>

. ,

(1)解:当 n=1 时,a1=S1= 所以 a1=1. 当 n=2 时,S2= 即 a1+a2= ,

,所以 a2=2.

由题知, + +…+ =(a1+a2+…+an)2,① + +…+ + 由②-①得 因为 a n+1>0, 所以 =2(a1+a2+…+an)+an+1,③ =(a1+a2+…+an+an+1)2,②

=(a1+a2+…+an+an+1)2-(a1+a2+…+an)2,

=2(a1+a2+…+an-1)+an(n≥2),④ 由③-④得 - =an+an+1,

所以 an+1-an=1. 因为 a2-a1=1, 所以当 n≥1 时都有 an+1-an=1, 所以{an}是以 1 为首项,以 1 为公差的等差数列,故 an=n. (2)证明:因为 bn=(1-λ) 所以 = ≥ ,cn=λ(n+1), = , + -2( + +…

所以 Tn≥16[( - )+( - )+…+( + )]=16( + +…+ - ).

)]=16[ + + +…+

设 tn= 2tn=( + 所以 tn>

+ + >

+…+ )+( + , = = .

,倒序相加得 + +…+ )+ … +( + )= + )2 进行化简得到)= +… .

(利用不等式 ab≤(

从而 Tn>16 因为 -

. ≥0,

所以 Tn>


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