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2017届河北武邑中学高三上学期周考(9月4日)数学(文)试题(解析版)


2017 届河北武邑中学高三上学期周考 (9 月 4 日)数学(文)试题
一、选择题 1.已知 f ( x) ? 2x ? 2? x ,若 f (a) ? 3 ,则 f (2a) 等于( A.5 【答案】B B.7 C.9 ) D.11

【解析】试题分析:因为 f ( x) ? 2x ? 2? x , f (a) ? 3 ,所以 f (a) ? 2a ? 2? a ? 3 ,可 得 f (2a) ? 2
2a

? 2?2 a ? ? 2a ? 2? a ? ? 2 ? 9 ? 2 ? 7 ,故选 B.
2

【考点】1、函数的解析式;2、指数的运算. 2.若点 ( a,9) 在函数 y ? 3x 的图象上,则 tan

a? 的值为( 6
C.1



A.0 【答案】D

B.

3 3

D. 3

【解析】试题分析:因为点 ( a,9) 在函数 y ? 3x 的图象上,所以 9 ? 3a , a ? 2 ,因此

tan

a? ? ? tan ? 3 ,故选 D. 6 3 1 2


【考点】1、指数函数的解析式;2、特殊角的三角函数.
?0.8 1.2 3.已知 a ? 2 , b ? ( ) , c ? 2log5 2 ,则 a, b, c 的大小关系为(

A. c ? b ? a C. b ? a ? c 【答案】A

B. c ? a ? b D. b ? c ? a

【解析】试题分析:因为 b?(

1 ?0 . 8 .8 ) ? 20, 所以由指数函数的性质可得 2

0 ,8 .2 1? b ? 2 ? 2 1? a , c ? 2log5 2 ? log5 4 ? 1 ,因此 c ? b ? a ,故选 A.

【考点】1、指数函数的性质;2、对数函数的性质及多个数比较大小问题. 【方法点睛】 本题主要考查指数函数的性质、 对数函数的性质以及多个数比较大小问题, 属于中档题. 多个数比较大小问题能综合考查多个函数的性质以及不等式的性质, 所以 也是常常是命题的热点,对于这类问题,解答步骤如下: (1)分组,先根据函数的性质 将所给数据以 0,1 为界分组; (2)比较,每一组内数据根据不同函数的单调性比较大小; (3)整理,将各个数按顺序排列.
x 4.不论 a 为何值时,函数 y ? (a ? 1)2 ?

1 2 1 D. ( ?1, ) 2

A . (1, ? )

a 恒过定点,则这个定点的坐标是( ) 2 1 1 B . (1, ) C . ( ?1, ? ) 2 2

第 1 页 共 12 页

【答案】C
?1 【解析】试题分析:因为 x ? ?1 时, y ? (a ? 1) ? 2 ? x 数 y ? (a ? 1)2 ?

a a ?1 a 1 ? ? ? ? ,所以函 2 2 2 2

a 1 恒过定点 ( ?1, ? ) ,故选 C. 2 2

【考点】1、指数式的运算;2、函数的图象与性质. 5.定义运算: a * b ? ? A. R D. [1, ??) 【答案】C

? a, a ? b ,如 1* 2 ? 1 ,则函数 f ( x) ? 2x *2? x 的值域为( ?b, a ? b
B . (0, ??)



C . (0,1]

?2 x , 2x ? 2? x ? ? 2x , x ? 0 ? 【解析】试题分析:因为 f ( x ) ? 2 * 2 ? ? ? x x ,所以可画出 ? ? ?x ?x ?2 , 2 ? 2 ? ? ?2 ,x ? 0
x ?x

f ( x) ? 2x *2? x 的图象如图,由图象可知函数 f ( x) ? 2x *2? x 的值域为 (0,1] ,故选 C.
y
2

1

-5

-4

-3

-2

-1 -1

O

1

2

3

4

5

x

-2

【考点】1、新定义问题及分段函数的解析式;2、指数函数的图象与性质. 6.已知函数 f ( x) ? a x ? loga x ( a ? 0 且 a ? 1 )在 [1, 2] 上的最大值与最小值之和为

loga 2 ? 6 ,则 a 的值为(
A.

) B.

1 2

1 4

C.2

D.4 【答案】C 【解析】试题分析:因为函数 f ( x) ? a x ? loga x ( a ? 0 且 a ? 1 )在 [1,2] 上是单调函 数 , 所 以 最 大 值 与 最 小 值 之 和 为 f ?1? ? f ? 2? ? a ? a ? loga 2 ? loga 2 ? 6 , 得
2

(舍去) ,故选 C. a ? 2 ,a ? ? 3 【考点】1、对数函数的性质;2、指数函数的性质.
x ?x 7.若函数 f ( x) ? (k ? 1)a ? a ( a ? 0 且 a ? 1 )在 R 上既是奇函数,又是减函数,

则 g ( x) ? loga ( x ? k ) 的图象是下图中的(



第 2 页 共 12 页

【答案】A 【解析】试题分析:因为函数 f ( x) ? (k ? 1)a x ? a ? x ( a ? 0 且 a ? 1 ),在 R 上既是奇 函 数 , 所 以 f ? 0? ? 0, 得 k ? 2 , 又 因 为 f ( x) 是 减 函 数 , 所 以 0 ? a ? 1 ,

g ( x) ? loga ( x ? k ) ? loga ? x ? 2? ,其图象为 A,故选 A.
【考点】1、函数的奇偶性和单调性;2、对数函数的图象和性质. 【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查函数的解析式、函数的奇偶性和单调性以 及对数函数的图象和性质,属于难题.这类题型也是近年高考常见的命题方向,该题型 的特点是综合性较强较强、考查知识点较多,但是并不是无路可循.解答这类题型可以 从多方面入手,根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及

x ? 0? , x ? 0? , x ? ??, x ? ?? 时函数图象的变化趋势,利用排除法,将不合题意
选项一一排除. 8.定义运算 a ? b ? ?

?a, a ? b ,则函数 f ( x) ? 1 ? 2x 的图象是下图中( b , a ? b ?



【答案】A

?1,1 ? 2 x ?1, x ? 0 ? ?? x 【解析】试题分析:因为 f ( x) ? 1 ? 2 ? ? x ,所以根据分段函数 x ?2 ,1 ? 2 ?2 , x ? 0 ?
x

图象的画法可得,函数 f ( x) ? 1 ? 2 的图象为 A,故选 A.
x

【考点】1、分段函数的解析式;2、分段函数的图象及新定义问题. 【方法点睛】本题通过新定义“ a ? b ? ?

?a, a ? b ”主要考查分段函数的解析式、分段 ?b, a ? b

函数的图象的画法,属于难题. 遇到新定义问题,应耐心读题,分析新定义的特点,弄 清新定义的性质,按新定义的要求, “照章办事” ,逐条分析、验证、运算,使问题得以 解决.本题是根据新定义“ a ? b ? ?

?1, x ? 0 ?a, a ? b ”将 f ? x ? 化为 ? x 进而根据分段函 ?2 , x ? 0 ?b, a ? b

第 3 页 共 12 页

数图象的画法解决问题的.

二、填空题 9.若函数 f ( x) ? e?( x?? ) ( e 是自然对数的底数)的最大值是 m ,且 f ( x ) 是偶函数, 则m?? ? 【答案】 1 【解析】 试题分析: 因为 ? ? x ? ? ? ? 0 , 所以 f ( x) ? e?( x?? ) ? 1, 即 f ( x) ? e?( x?? ) 最
2
2 2

2

.

大值为 m ? 1 ;又因为 f ( x ) 是偶函数,所以 ? ? 0 ,因此 m ? ? ? 1 ,故答案为 1 . 【考点】1、函数的奇偶性;2、函数的最值. 10 . 已 知 函 数 f ( x ) ? ?

?a x , x ? 0 ?(a ? 3) x ? 4a, x ? 0

, 满 足 对 任 意 x1 ? x2 , 都 有

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 成立,则 a 的取值范围是 x1 ? x2
【答案】 (0, ]

.

1 4

【解析】 试题分析: 因为

?a x , x ? 0 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 所以 f ( x ) ? ? 在R 上 ? 0, x1 ? x2 ?(a ? 3) x ? 4a, x ? 0

?0 ? a ? 1 1 1 ? 递减,可得 ? a ? 3 ? 0 解得 0 ? a ? ,故答案为 (0, ] . 4 4 ?a 0 ? (a ? 3) ? 0 ? 4a ?
【考点】1、分段函数的解析式;2、分段函数的单调性. 11.若函数 f ( x) ? ?
x ? ?2 , x ? 0 ,则函数 y ? f ( f ( x)) 的值域是 ?x ? 2 , x ? 0 ? ?

.

【答案】 (?1, ? ) ? ( ,1)

1 2

1 2

?2 x , x ? 0 ? 【 解 析 】 试 题 分 析 : 画 出 f ( x) ? ? ? x 的 图 象 , 由 图 象 知 f ( x) 的 值 域 是 ? ? ?2 , x ? 0

1 ,0 ? , y ? f ( f ( x)) ? f ?t ? ,由图象看出当 ? 0,1 ? ? ? ? 1, 0 ? ,设 t ? f (x ),t ? ?0,1 ? ? ??
t ? ? 0,1? ? ? ?1,0? 时, f ? t ? 的范围是 (?1, ? ) ? ( ,1) ,函数 y ? f ( f ( x)) 的值域是
1 1 1 1 (?1, ? ) ? ( ,1) ,故答案为 (?1, ? ) ? ( ,1) . 2 2 2 2 1 2 1 2

第 4 页 共 12 页

y
2

1

-5

-4

-3

-2

-1 -1

O

1

2

3

4

5

x

-2

【考点】1、分段函数的解析式;2、分段函数的值域及数形结合思想的应用. 12 . 已 知 函 数 f ( x ) ? ? 是 .

? x 2 ? 2ax, x ? 2 ? , 且 f ( f ( 1 )? ) x ? ?2 ? 1, x ? 2

2 a 3, 则 a 的 取 值 范 围

【答案】 (?1,3) 【解析】试题分析:因为 f ?1? ? 2 ?1 ? 3 ,所以 f ( f (1)) ? f ?3? ? 9 ? 6a ? 3a ,解得
2

?1 ? a ? 3 ,故答案为 (?1,3) .
【考点】1、分段函数的解析式;2、分段函数解不等式. 【思路点睛】本题主要考查分段函数的解析式、分段函数解不等式,属于中档题.对于 分段函数解析式的考查是命题的动向之一,这类问题的特点是综合性强,对抽象思维能 力要求高,因此解决这类题一定要层次清出,思路清晰.本题解答分两个层次:首先求 出 f ?1? 的值,进而得到 f ( f (1)) 的值;其次界关于 a 的不等式.
2 g ( x) ? ( ) x ? m , 13. 已知 f ( x) ? x , 若对 ?x1 ?[?1,3] , ?x2 ?[0, 2] ,f ( x1 ) ? g ( x2 ) ,

1 2

则实数 m 的取值范围是 【答案】 [ , ??)

.

1 4

【解析】试题分析:因为对 ?x1 ?[?1,3] , ?x2 ?[0, 2] , f ( x1 ) ? g ( x2 ) ,所以只需

1 x 2 因为 f ( x) ? x ,g ( x ) ? ( ) ? m , 所以 f ( x)min ? f ? 0? ? 0 , f ( x)min ? g ( x)min即可, 2 1 1 1 1 g ( x)min ? g ? 2 ? ? ? m ,由 0 ? ? m, m ? 故答案为 [ , ??) . 4 4 4 4
【考点】1、函数的最值;2、全称量词与存在量词的应用. 【方法点睛】本题主要考查函数的最值、全称量词与存在量词的应用.属于难题.解决这 类问题的关键是理解题意、正确把问题转化为最值和解不等式问题,全称量词与存在量 词 的 应 用 共 分 四 种 情 况 : ( 1 ) ?x1 ? D, ?x2 ? E, f ? x1 ? ? g ? x2 ? 只 需 ; ( 2) 只需 f ? x ?min ? g ? x ?min ; ?x1 ? D, ?x2 ? E f ? x1 ? ? g ? x2 ? , f? x g ?x m ?m i ? ? n a x ( 3 ) ?x1 ? D , ?x2 ? E, f ? x1 ? ? g ? x2 ? 只 需 f ? x ?m a x ?, g ? x ?m a x; ( 4 ) 第 5 页 共 12 页

?x1 ? D, ?x2 ? E , f ? x1 ? ? g ? x2 ? , f ? x ?max ? g ? x ?min .
三、解答题 14.已知函数 f ( x) ?

2x ? 1 . 2x ? 1

(1)判断函数 f ( x ) 的奇偶性; (2)求证: f ( x ) 在 R 上为增函数. 【答案】 (1) f ( x ) 是奇函数; (2)函数 f ( x ) 在 R 上是增函数. 【解析】 试题分析: (1) 可证 f (? x) ? f ( x) ? 0 , 进而得 f ( x ) 是奇函数; (2) 设 x1 , x2 ? R , 且 x1 ? x2 , 可 得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?

2 x1 ? 1 2 x 2 ? 1 2(2 x 1 ? 2 x )2 ?0 ,进而 ? ? 2 x1 ? 1 2 x2 ? 1 (2 x1 ? 1)(2 x2 ? 1)

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,∴函数 f ( x) 在 R 上是增函数.
2x ?1 2 ? 1? x 试题解析: (1)解:因为函数 f ( x ) 的定义域为 R ,且 f ( x) ? x , 2 ?1 2 ?1
所 以

f (?

?

?

?

2 ?x 2 ?

? ?

?

? ?

?

?

?

?

? ?

?

?

? ?

x

x)

? 2?

2(2 x ? 1) ? 2 ? 2 ? 0 ,即 f (? x) ? ? f ( x) ,所以 f ( x) 是奇函数. 2x ? 1

(2)证明:设 x1 , x2 ? R ,且 x1 ? x2 ,有

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?

2 x1 ? 1 2 x2 ? 1 2(2 x1 ? 2 x2 ) , ? ? 2 x1 ? 1 2 x2 ? 1 (2 x1 ? 1)(2 x2 ? 1)

∵ x1 ? x2 , 2x1 ? 2x2 ? 0 , 2 x1 ? 1 ? 0 , 2 x2 ? 1 ? 0 , ∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,∴函数 f ( x ) 在 R 上是增函数. 【考点】1、函数的奇偶性;2、函数的单调性及指数式的运算.

?2 x ? b 15.已知定义域为 R 的函数 f ( x) ? x ?1 是奇函数. 2 ?a
(1)求 a , b 的值; (2)解关于 t 的不等式 f (t ? 2t ) ? f (2t ?1) ? 0 .
2 2

第 6 页 共 12 页

【答案】 (1) a ? 2 , b ? 1 ; (2) {t | t ? 1或t ? ? } . 【解析】 试题分析: (1) 由 f ( x ) 是奇函数, 得 f (0) ? 0 , 解得 b ? 1 ; 再由 f (1) ? ? f (?1) 可得 a?2 ; ( 2 ) 先 证 f ( x ) 在 (??, ??) 上 为 减 函 数 , 再 根 据 奇 函 数 将

1 3

f (t 2 ? 2t ) ? f (2t 2 ?1) ? 0 转 化 为 f (t 2 ? 2t ) ? f (?2t 2 ? 1) , 进 而 由 单 调 性 得
t 2 ? 2t ? ?2t 2 ? 1 即可解得 t 的范围.
试题解析: (1)因为 f ( x ) 是奇函数,所以 f (0) ? 0 ,即

?1 ? b ? 0 ,解得 b ? 1 ,所以 2?a

?2 x ? 1 f ( x) ? x ?1 . 2 ?a

1 ? ?1 ?2 ? 1 又由 f (1) ? ? f (?1) ,知 ? ? 2 ,解得: a ? 2 . 4?a 1? a
(2)由(1)知 f ( x) ?

?2 x ? 1 1 1 ?? ? x . x ?1 2 ?2 2 2 ?1

由上式易知 f ( x ) 在 (??, ??) 上为减函数(此外可用定义域或导数法证明函数 f ( x ) 在

R 上是减函数)又因为 f ( x) 是奇函数,所以不等式 f (t 2 ? 2t ) ? f (2t 2 ?1) ? 0 等价于

f (t 2 ? 2t ) ? ? f (2t 2 ?1) ? f (?2t 2 ? 1) , 因 为 f ( x) 是 减 函 数 , 由 上 式 推 得
1 t 2 ? 2t ? ?2t 2 ? 1 ,即 3t 2 ? 2t ? 1 ? 0 ,解不等式可得: {t | t ? 1或t ? ? } . 3
【考点】1、函数的奇偶性;2、函数的单调性及指数的运算. 16.定义在 [?1,1] 上的奇函数 f ( x ) ,已知当 x ? [?1, 0] 时, f ( x) ? (1)求 f ( x ) 在 [0,1] 上的最大值; (2)若 f ( x ) 是 [0,1] 上的增函数,求实数 a 的取值范围. 【答案】 (1) 当 a ? 2 时,f ( x ) 的最大值为 a ? 1 , 当 2 ? a ? 4 时,f ( x ) 的最大值为 当 a ? 4 时, f ( x ) 的最大值为 2a ? 4 ; (2) a ? 4 .
x x x 【解析】试题分析: (1)先根据奇偶性得 x ? [0,1] 时 f ( x) ? a ? 2 ? 4 ,再令 t ? 2 ,

1 a ? (a ? R) . 4x 2x

a2 , 4

a a2 ,根据求二次函数在闭区间上的最值的方 t ?[1, 2] ,∴ g (t ) ? at ? t 2 ? ?(t ? ) 2 ? 2 4
x 法分三种情况讨论即可求最大值; (2)由导函数恒大于等于零得, a ? 2 ? 2 ? 0 恒成

第 7 页 共 12 页

立,即 a ? 2 ? 2x ,∵ 2x ?[1, 2] ,∴ a ? 4 . 试题解析: (1)设 x ? [0,1] ,则 ? x ?[?1,0] ,

f (? x) ?

1 a ? ? x ? 4x ? a ? 2x , ?x 4 2

∵ f (? x) ? ? f ( x) ,∴ f ( x) ? a ? 2x ? 4x , x ? [0,1] . 令 t ? 2x , t ?[1, 2] ,∴ g (t ) ? at ? t ? ?(t ? ) ?
2 2

a 2

a2 , 4



a ? 1 ,即 a ? 2 时, g (t )max ? g (1) ? a ?1; 2

当1 ?

a a2 a ? 2 ,即 2 ? a ? 4 时, g (t )max ? g ( ) ? ; 2 2 4



a ? 2 ,即 a ? 4 时, g (t )max ? g (2) ? 2a ? 4 . 2

综上,当 a ? 2 时, f ( x ) 的最大值为 a ? 1 ;当 2 ? a ? 4 时, f ( x ) 的最大值为

a2 ;当 4

a ? 4 时, f ( x) 的最大值为 2a ? 4 .
( 2 ) ∵ 函 数

f ( x)



[0,1]















f ' ( x) ? a ln 2 ? 2x ? ln 4 ? 4x ? 2x ln 2(a ? 2 ? 2x ) ? 0 ,
x x x ∴ a ? 2 ? 2 ? 0 恒成立,∴ a ? 2 ? 2 ,∵ 2 ?[1, 2] ,∴ a ? 4 .

【考点】1、二次函数在闭区间上的最值;2、利用导数研究函数的单调性及不等式恒成 立问题.
x 17.已知定义在 R 上的函数 f ( x) ? 2 ?

1 . 2| x|

(1)若 f ( x) ?
t

3 ,求 x 的值; 2

(2)若 2 f (2t) ? mf (t ) ? 0 对于 t ?[1, 2] 恒成立,求实数 m 的取值范围. 【答案】 (1) x ? 1 ; (2) [?5, ??) . 【解析】试题分析: (1)讨论两种情况 x ? 0 , x ? 0 分别解方程即可得 x ? 1 ; ( 2)

2t f (2t ) ? mf (t ) ? 0 对于 t ?[1, 2] 恒成立等价于 m ? ?(22t ? 1) 恒成立, t ?[1, 2] 时, ?(22t ? 1) ? [?17, ? 5],故 m 的取值范围是 [?5, ??) .
试题解析: (1)当 x ? 0 时, f ( x) ? 0 ,无解;
x 当 x ? 0 时, f ( x) ? 2 ?

1 , 2x
第 8 页 共 12 页

x 由2 ?

1 3 ? ,得 2 ? 22 x ? 3 ? 2 x ? 2 ? 0 , x 2 2
x x

x 看成关于 2 的一元二次方程,解得 2 ? 2 或 2 ? ?

1 , 2

∵ 2 x ? 0 ,∴ x ? 1 .
t 2t (2)当 t ?[1, 2] 时, 2 (2 ?

1 1 ) ? m(2t ? t ) ? 0 , 2t 2 2

即 m(22t ?1) ? ?(24t ?1) , ∵ 22t ? 1 ? 0 ,∴ m ? ?(22t ? 1) , ∵ t ?[1, 2] ,∴ ?(22t ? 1) ?[?17, ?5] , 故 m 的取值范围是 [?5, ??) . 【考点】1、简单的指数方程;2、不等式恒成立的问题. 18 .若函数 f ( x ) 满足对于 (0, ??) 上的任意实数 x, y 都有 f ( xy) ? f ( x) ? f ( y) ,且

x ? 1 时, f ( x) ? 0 ,试证:
(1) f ( ) ? f ( x) ? f ( y ) ; (2) f ( x ) ? ? f ( ) ; (3) f ( x ) 在 (0, ??) 上递增. 【答案】 (1)证明见解析; (2)证明见解析; (3)证明见解析. 【解析】试题分析: (1)由 f ( xy ) ? f ( x) ? f ( y ) 得 f ( ) ? f ( y ) ? f ( x) ,移项即可; ( 2 ) x ? y ? 1 可 得 f (1) ? 0, f ( x) ? f ( ) ? f (1) ? 0 , 移 项 即可得 证 ; ( 3 )设 则 0 ? x1 ? x2 ,

x y

1 x

x y

1 x

x2 x 由已知 f ( 2 ) ? 0 , 即 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0 , 因此 f ( x1 ) ? f ( x2 ) , ?1, x1 x1

函数 f ( x ) 在 (0, ??) 上递增. 试题解析: (1)由已知 f ( ) ? f ( y ) ? f ( x) ,

x y

即 f ( x) ? f ( y ) ? f ( ) . (2)令 x ? y ? 1 ,则 f (1) ? 2 f (1) ,因此 f (1) ? 0 .

x y

第 9 页 共 12 页

∴ f ( x) ? f ( ) ? f (1) ? 0 ,即 f ( x ) ? ? f ( ) . ( 3 ) 设 0 ? x1 ? x2 , 则

1 x

1 x

x2 x ? 1 , 由 已 知 f ( 2 ) ? 0 , 即 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0 , 因 此 x1 x1

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,函数 f ( x) 在 (0, ??) 上递增.
【考点】1、抽象函数的奇偶性及解析式;2、抽象函数的单调性.

x ?1 , ( a ? 0 且 a ? 1 ). x ?1 x ?1 (1)求函数的定义域,并证明: f ( x) ? log a 在定义域上是奇函数; x ?1
19.已知函数 f ( x) ? log a (2)对于 x ? [2, 4] , f ( x) ? log a 围. 【答案】 (1) )证明见解析; (2) (0,15) ? (45, ??) . 【解析】试题分析: (1)由

x ?1 m 恒成立,求 m 的取值范 ? log a x ?1 ( x ? 1)2 (7 ? x)

x ?1 ? 0 可得定义域,根据对数的运算法则可证 x ?1

f ( ? x) ? ? f ( x) , 进 而 得 f ( x ) 是 奇 函 数 ; ( 2 ) 当 a ? 1 时 ,

x ?1 l oa g ? x ?1

a

m l o g2 恒 成 立 等 价 于 0 ? m ? ( x ? 1)( x ? 1)(7 ? x) 在 x (? 1 ) ? x( 7 )

得 0 ? m ? 15 , 当 0 ? a ? 1 时,m ? ( x ? 1)( x ? 1)(7 ? x) 在 x ? [2, 4] x ? [2, 4] 恒成立, 恒成立,可得 m ? 45 . 试题解析: (1)由

x ?1 ? 0 ,解得 x ? ?1 或 x ? 1 , x ?1

∴函数的定义域为 (??, ?1) ? (1, ??) . 当

x ? (??, ?1) ? (1, ??)
a a





?x 1 ? x) ? ?x 1 ? x ?1 ∴ f ( x) ? log a 在定义域上是奇函数. x ?1 f (?
(2)由 x ? [2, 4] 时, f ( x) ? log a

x ? 1 1 l x 1

?

? o ?



a

x 1 x 1

g ?

? ?

f

x ?1 m ? log a 恒成立, x ?1 ( x ? 1)2 (7 ? x)

①当 a ? 1 时,∴

x ?1 m ? ? 0 对 x ? [2, 4] 恒成立, x ? 1 ( x ? 1)2 (7 ? x)

∴ 0 ? m ? ( x ? 1)( x ? 1)(7 ? x) 在 x ? [2, 4] 恒成立. 设 g ( x) ? ( x ? 1)( x ? 1)(7 ? x) , x ? [2, 4] 第 10 页 共 12 页

则 g ( x) ? ? x3 ? 7 x2 ? x ? 7 ,

7 52 g ' ( x) ? ?3x 2 ? 14 x ? 1 ? ?3( x ? ) 2 ? , 3 3
∴当 x ? [2, 4] 时, g ' ( x) ? 0 , ∴ y ? g ( x) 在区间 [2, 4] 上是增函数, g ( x)min ? g (2) ? 15 . ∴ 0 ? m ? 15 . ②当 0 ? a ? 1 时,由 x ? [2, 4] 时,

f ( x) ? log a

x ?1 m 恒成立, ? log a x ?1 ( x ? 1)2 (7 ? x)



x ?1 m ? 对 x ? [2, 4] 恒成立. x ? 1 ( x ? 1) 2 (7 ? x)

∴ m ? ( x ? 1)( x ? 1)(7 ? x) 在 x ? [2, 4] 恒成立. 设 g ( x) ? ( x ? 1)( x ? 1)(7 ? x) , x ? [2, 4] , 由①可知 y ? g ( x) 在区间 [2, 4] 上是增函数,

g ( x)max ? g (4) ? 45 ,∴ m ? 45 .
∴ m 的取值范围是 (0,15) ? (45, ??) . 【考点】1、函数的定义域及奇偶性;2、函数单调性及不等式恒成立问题. 【方法点晴】 本题主要考查利用导数求函数的最值以及不等式恒成立问题, 属于难题. 不 等式恒成立问题常见方法: ①分离参数 a ? f ( x) 恒成立 ( a ? f ( x)min 即可) 或 a ? f ( x) 恒成立( a ? f ( x)max 即可) ;②数形结合( y ? f ? x ? 图象在 y ? g ? x ? 上方即可) ;③ 讨论最值 f ( x)min ? 0 或 f ( x)max ? 0 恒成立;④讨论参数.本题(2)就是利用方法①求 得 m 的范围的. 20.已知函数 f ( x) ? loga (3 ? ax) ( a ? 0 且 a ? 1 ). (1)当 x ? [0, 2] 时,函数 f ( x ) 恒有意义,求实数 a 的取值范围; (2) 是否存在这样的实数 a , 使得函数 f ( x ) 在区间 [1, 2] 上为减函数, 并且最大值为 1? 如果存在,试求出 a 的值;如果不存在,请说明理由. 【答案】 (1) (0,1) ? (1, ) ; (2)不存在实数 a ,使 f ( x ) 在 [1, 2] 上为减函数且最大值 为1 . 【解析】试题分析: (1)由 y ? 3 ? ax 为减函数得要使函数 f ( x ) 在 [0, 2] 上恒有意义只 第 11 页 共 12 页

3 2

需 3 ? ax ? 0 恒成立即 3 ? 2a ? 0 即可; ( 2 )由 f ( x)max ? f (1) ? log ,得 ? a )? 1 a (3

a?

3 3 ,而 a ? 时, y ? 3 ? ax 在 [1, 2] 上需恒大于零不成立,故不存在符合题意的 a 2 2

的值. 试题解析: (1)由于 y ? 3 ? ax 为减函数, 所以要使函数 f ( x ) 在 [0, 2] 上恒有意义, 就是要求 3 ? ax ? 0 恒成立, 只需 3 ? 2a ? 0 , ∴0 ? a ?

3 且 a ? 1, 2 3 2

因此 a 的取值范围是 (0,1) ? (1, ) . (2)由于 y ? 3 ? ax 为减函数,要使 f ( x ) 在 [1, 2] 为减函数且最大值为 1,则 a ? 1 , 且 f ( x)max ? f (1) ? loga (3 ? a) ? 1 , ∴a ?

3 . 2

又 y ? 3 ? ax 在 [1, 2] 上需恒大于零, ∴ 3 ? 2a ? 0 , ∴a ?

3 3 ,这与 a ? 矛盾, 2 2

故不存在实数 a ,使 f ( x ) 在 [1, 2] 上为减函数且最大值为 1. 【考点】1、对数函数的定义域;2、复合函数的单调性及不等式恒成立问题. 【方法点睛】 本题主要考查对数函数的定义域、 复合函数的单调性及不等式恒成立问题, 属于难题.复合函数的单调性的判断可以综合考查两个函数的单调性,因此也是命题的 热点,判断复合函数单调性要注意把握两点:一是要同时考虑两个函数的的定义域;二 是同时考虑两个函数的单调性,正确理解“同增异减”的含义(增增 ?增,减减 ?增, 增减 ?减,减增 ?减).本题(2)就是考虑对数函数及一次函数单调性的同时兼顾函 数的定义域后,在根据不等式恒成立解答的.

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