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2017年福建高职招考数学考前仿真模拟试题(附答案)

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根据历年单招考试大纲出题

2017 年福建高职招考数学考前仿真模拟试题(附答案)
一、选择题:本大题共 12 小题.每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1.复数

i (i 是虚数单位 ) 的实部是 1+2i
2 5
B. ?





A.

2 5

C.

1 5

D. ?

1 5

2.已知等差数列 ?an ? 的公差为 d ? d ? 0? ,且 a3 ? a6 ? a10 ? a13 ? 32 ,若 am ? 8 ,则

m为
( A.12 B.8 C.6 D.4 )

3.已知直线 l ⊥平面 ? ,直线 m ? 平面 ? ,下面有三个命题:① ? ∥ ? ? l ⊥ m ; ② ? ⊥ ? ? l ∥ m ;③ l ∥ m ? ? ⊥ ? ; 则真命题的个数为 A.0 B.1 C.2 D.3 ( )

4.如右图,一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图 都是边长为 2 的正三角形,其俯视图轮廓为正方形,则其 体积是 A. C. ( B. )
主视图

左视图

3 6 4 3 3

4 2 3

D. 8

3

俯视图

5.设点 P ?

??? ? ?t 2 ? ? ,1? ? t ? 0 ? ,则 OP (O 为坐标原点 ) 的最 ?2 t ?
( B. 3 C.5 D.3 频率 0.03 6 0.02 4 0.0 组距 )

小值是 A. 5

6.学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况,

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抽出了一个容量为 n 的样本,其频率分布直 方图如图所示,其中支出在 [50,60) 元的同 学有 30 人,则 n 的值为 A.100 C.90 B.1000 D.900 ( )

2 n 7.已知 ( x ? ) 的二项展开式的各项系数和为 32,

1 x

则二项展开式中 x 的系数为 A.5 C.20 B.10 D.40





8.若右面的程序框图输出的 S 是 126 ,则①应为( A. n ? 5 ? C. n ? 7 ? B. n ? 6 ? D. n ? 8 ?



开始

n ? 1, S ? 0

9.已知 a ? R ,则“ a ? 2 ”是“ | x ? 2 | ? | x |? a 恒成 立”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 10.设函数 f ( x) ? sin(2 x ? 的是 ( ) ① 是 否

S ? S ? 2n

输出 S 结束

n ? n ?1

?
3

) ,则下列结论正确
( )

考单招上高职单招网---A. f ( x) 的图像关于直线 x ?

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对称

?
3

B. f ( x) 的图像关于点 ( , 0) 对称

?

4

C.把 f ( x) 的图像向左平移

? 个单位,得到一个偶函数的图像 12

D. f ( x) 的最小正周期为 ? ,且在 [0, ] 上为增函数

?

6

11.已知点 F 、 A 分别为双曲线 C :

??? ? ??? ? B(0, b) 满足 FB ? AB ? 0 ,则双曲线的离心率为
( A. 2 ) C.

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的左焦点、右顶点,点 a 2 b2

B. 3

1? 3 2

D.

1? 5 2

12.已知直线 x ? 2 及 x ? 4 与函数 y ? log 2 x 图像的交点分别为 A, B ,与函数 y ? lg x 图像的交点分别为 C , D ,则直线 AB 与 CD ( ) A.相交,且交点在第 I 象限 C.相交,且交点在第 IV 象限 B.相交,且交点在第 II 象限 D.相交,且交点在坐标原点

第Ⅱ卷(非选择题

共 90 分)

二、填空:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 13.

?

2

0

(2 x ? e x )dx ? ;

? 3 14.已知 sin( ? x) ? ,则 sin 2 x 的值为; 4 5
15.已知集合 A ? {x x2 ? x ?12 ? 0, x ? Z } ,从集合 A 中任选三个不同的元素 a, b, c 组 成集合 M ? {a, b, c} ,则能够满足 a ? b ? c ? 0 的集合 M 的概率为=;

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16.定义:区间 ? x1 , x2 ? ? x1 ? x2 ? 的长度为 x2 ? x1 .已知函数 y ? 2| x| 的定义域为 ? a, b? , 值域为 ?1, 2? ,则区间 ? a, b? 的长度的最大值与最小值的差为_________.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或 演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中, a, b, c 分别是 ?A, ?B, ?C 的对边长,已知 2 sin A ? 3 cos A . (I)若 a 2 ? c 2 ? b 2 ? mbc,求实数 m 的值; (II)若 a ? 3 ,求 ?ABC 面积的最大值.

18.(本小题满分 12 分) 在一个盒子中,放有标号分别为 1,2,3 的三张卡片,现从这个盒子中,有 . 放回 地先后抽得两张卡片的标号分别为 x 、 y ,设 O 为坐标原点,点 P 的坐标为 ..

??? ?2 ( x ? 2, x ? y) ,记 ? ? OP .
(I)求随机变量 ? 的最大值,并求事件“ ? 取得最大值”的概率; (II)求随机变量 ? 的分布列和数学期望.

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19.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? ax 3 ? 3x 2 ? 1 ?

3 (a ? R 且 a ? 0) ,求函数 f ( x) 的极大值与极小值. a

20.(本小题满分 12 分) 在四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 平面 ABCD ,底面 ABCD 为矩形,

AB ? PA ?

1 BC (a ? 0) . a

(I)当 a ? 1 时,求证: BD ? PC ; (II)若 BC 边上有且只有一个点 Q ,使得 PQ ? QD ,求此时二面角 A ? PD ? Q 的余弦值.

P

A

D

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21.(本小题满分 12 分)

x2 已知 A, B, C 均在椭圆 M : 2 ? y 2 ? 1(a ? 1) 上,直线 AB 、 AC 分别过椭圆 a ??? ? ???? ? 2 9 AF ? AF ? AF 的左右焦点 F 1 、 F 2 ,当 AC ? F 时,有 . F ? 0 1 2 1 1 2
(I)求椭圆 M 的方程; (II)设 P 是椭圆 M 上的任一点, EF 为圆 N : x 2 ? ? y ? 2? ? 1 的任一条直径,求
2

PE ? PF 的最大值.

22.(本小题满分 14 分) 已知等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ? 2 ? 3n ? k (k ? R, n ? N? ) (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设数列 ?bn ? 满足 an ? 4(5 ? k )anbn , Tn 为数列 ?bn ? 的前 n 项和,试比较

3 ?16Tn 与 4(n ? 1)bn?1 的大小,并证明你的结论.

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参考答案
一、选择题:ABCCA ABBCC DD 二、填空题:13. 5 ? e 2 ; 14.

7 3 ;15. ;16. 1 ; 25 28

17.解:(I)由 2 sin A ? 3 cos A 两边平方得: 2 sin 2 A ? 3 cos A 即 (2 cos A ? 1)(cosA ? 2) ? 0 解得: cos A ?

1 …………………………3 分 2

而 a 2 ? c 2 ? b 2 ? mbc可以变形为 即 cos A ?

b2 ? c2 ? a2 m ? 2bc 2

m 1 ? ,所以 m ? 1 …………………………6 分 2 2 1 3 ,则 sin A ? …………………………7 分 2 2

(II)由(Ⅰ)知 cos A ?



b2 ? c2 ? a2 1 ? …………………………8 分 2bc 2

所以 bc ? b 2 ? c 2 ? a 2 ? 2bc ? a 2 即 bc ? a 2 …………………………10 分 故 S ?ABC ?

bc a2 3 3 3 ………………………………12 分 sin A ? ? ? 2 2 2 4

18.解:(Ⅰ)? x 、 y 可能的取值为 1 、 2 、 3 ,? x ? 2 ? 1 , y ? x ? 2 ,

?? ? ( x ? 2)2 ? ( x ? y)2 ? 5 ,且当 x ? 1 , y ? 3 或 x ? 3 , y ? 1 时, ? ? 5 . 因此,
随机变量 ? 的最大值为 5 …………………………4 分

? 有放回抽两张卡片的所有情况有 3 ? 3 ? 9 种,? P(? ? 5) ?

2 …………………6 分 9

考单招上高职单招网---(II) ? 的所有取值为 0 , 1, 2 , 5 .

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?? ? 0 时,只有 x ? 2 , y ? 2 这一种情况.

? ? 1 时,有 x ? 1 , y ? 1或 x ? 2 , y ? 1 或 x ? 2 , y ? 3 或 x ? 3 , y ? 3 四种情况,
? ? 2 时,有 x ? 1 , y ? 2 或 x ? 3 , y ? 2 两种情况.
? P (? ? 0) ? 1 4 2 , P (? ? 1) ? , P(? ? 2) ? …………………………8 分 9 9 9

则随机变量 ? 的分布列为:

?
P

0

1

2

5

1 9

4 9

2 9

2 9
………………10 分

因此,数学期望 E? ? 0 ? ? 1?

1 9

4 2 2 ? 2 ? ? 5 ? ? 2 …………………………12 分 9 9 9

2 19.解:由题设知 a ? 0, f ?( x) ? 3ax2 ? 6 x ? 3ax( x ? ) a

令 f ?( x) ? 0得 x ? 0, 或x ?

2 …??????????2 分 a

当 a ? 0 时,随 x 的变化, f ' ? x ? 与 f ? x ? 的变化如下:

x
f ?( x) f ( x)

? ??,0?
+

0

? 2? ? 0, ? ? a?
-

2 a
0 极小

?2 ? ? , ?? ? ?a ?
+

0 极大

? f ? x ?极大 ? f ? 0 ? ? 1 ?

3 4 3 ?2? , f ? x ?极小 ? f ? ? ? ? 2 ? ? 1 ………6 分 a a a ?a?

当 a ? 0 时,随 x 的变化, f ' ? x ? 与 f ? x ? 的变化如下:

考单招上高职单招网---x
f ?( x)

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?2 ? ? ,0? ?a ?
+

2? ? ? ??, ? a? ?
-

2 a
0 极小

0
0 极大

?0, ???
-

f ( x)
∴ f ? x ?极大 ? f ? 0 ? ? 1 ?

3 4 3 ?2? , f ? x ?极小 ? f ? ? ? ? 2 ? ? 1 …………11 分 a a a ?a? 3 4 3 ?2? , f ? x ?极小 ? f ? ? ? ? 2 ? ? 1 ; a a a ?a?

总之,当 a ? 0 时, f ? x ?极大 ? f ? 0 ? ? 1 ? 当 a ? 0 时, f ? x ?极大 ? f ? 0 ? ? 1 ?

3 4 3 ?2? , f ? x ?极小 ? f ? ? ? ? 2 ? ? 1 ……12 分 a a a ?a?

20.解:(I)当 a ? 1 时,底面 ABCD 为正方形,? BD ? AC 又因为 BD ? PA ,? BD ? 面 PAC …………………………2 分 又 PC ? 面 PAC

? BD ? PC …………………………3 分
(II)因为 AB, AD, AP 两两垂直,分别以它们所在直线 为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立坐标系,如图所示,令 AB ? 1 ,可得 BC ? a 则 B(1,0,0), D(0, a,0)C (1, a,0), P(0,0,1) …………………4 分 设 BQ ? m ,则 Q(1, m,0)(0 ? m ? a) 要使 PQ ? QD ,只要 PQ ? QD ? ?1 ? m(a ? m) ? 0 即 m2 ? am ? 1 ? 0 ………6 分 由 ? ? 0 ? a ? 2 ,此时 m ? 1 。 所以 BC 边上有且只有一个点 Q ,使得 PQ ? QD 时,

z
P y D Q C

Q 为 BC 的中点,且 a ? 2 …………………………8 分
设面 PQD 的法向量 p ? ( x, y,1)

A B x

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? ? ???? ? 1 1 ? p ? QD ? 0 ?? x ? y ? 0 则 ?? 即? 解得 p ? ( , ,1) …………………………10 分 ? ??? ? 2 2 ? ? p ? DP ? 0 ?? 2 y ? 1 ? 0
取平面 PAD 的法向量 q ? (1,0,0) 则 ? p.q? 的大小与二面角 A ? PD ? Q 的大小相等 所以 cos? p.q? ?

p?q pq

?

6 6

6 …………………………12 分 6 ??? ? ???? ? ??? ? ???? ? 21.解:(Ⅰ)因为 AC ? F ,所以有 F ? 0 AC ? F F 1 2 1 2
因此二面角 A ? PD ? Q 的余弦值为 所以 ?AF 1 cos ?F 1 AF2 ? AF2 …………………………2 分 1F 2 为直角三角形;? AF 则有 9 AF1 ? AF2 ? 9 AF1 AF2 cos ?F1 AF2 ? 9 AF2 ? AF1 ? AF1 所以, AF1 ? 3 AF2 …………………………3 分 又 AF1 ? AF2 ? 2a ,? AF1 ?

????

???? ?

???? ???? ?
????

???? ???? ?

???? ?2

???? 2

???? 2

???? ?

????

? a 3a ???? , AF2 ? ………………………4 分 2 2

在 ?AF 1F 2 中有 AF 1 ? AF2 ? F 1F 2
2 2

???? 2

???? ?2

????? ?2

即?

? 3a ? ?a? 2 2 ? ? ? ? ? 4(a ? 1) ,解得 a ? 2 ? 2? ?2?

x2 ? y 2 ? 1 …………………………6 分 所求椭圆 M 方程为 2
(II) PE ? PF ? NE ? NP ? NF ? NP
2

? ?? ? ? ?? NF ? NP ?? ?NF ? NP ? ? ?? NP ? ? NF
2

2

? NP ? 1

2

从而将求 PE ? PF 的最大值转化为求 NP 的最大值…………………………8 分

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x0 2 2 2 ? y 0 ? 1 即 x0 ? 2 ? 2 y0 2
2

P 是椭圆 M 上的任一点,设 P?x0 , y0 ? ,则有

2

2 又 N ?0,2? ,所以 NP ? x0 ? ? y0 ? 2 ? ? ? ? y0 ? 2 ? ? 10 ………………………10 分 2

??? ?2

而 y0 ? ?? 1,1?,所以当 y0 ? ?1 时, NP 取最大值 9
2

故 PE ? PF 的最大值为 8 …………………………12 分 22.解:(Ⅰ)由 Sn ? 2 ? 3n ? k (k ? R, n ? N? ) 得: n ? 2 时,

an ? Sn ? Sn?1 ? 4 ? 3n?1 ………………………2 分

??an ? 是等比数列,?a1 ? S1 ? 6 ? k ? 4 ? k ? ?2 ,
得 an ? 4 ? 3n?1 (n ? N? ) ……4 分 (Ⅱ)由 an ? 4(5 ? k )anbn 和 an ? 4 ? 3n?1 得 bn ?

n ?1 ……………………6 分 4 ? 3n ?1

?Tn ? b1 ? b2 ? b3 ? ? bn ?1 ? bn ?

1 2 n?2 n ?1 ? ??? ? ? (1) 2 n?2 4?3 4?3 4 ?3 4 ? 3n ?1 1 2 3 n?2 n ?1 3Tn ? ? ? ?? ? ? ??? (2) 2 n ?3 4 4?3 4?3 4 ?3 4 ? 3n ? 2
1 1 1 1 1 n ?1 ? ? ??? ? ? 2 n ?3 n?2 4 4?3 4?3 4?3 4 ?3 4 ? 3n ?1

? (2) ? (1) : 2Tn ?

1 1 1 1 1 n ?1 3 2n ? 1 ?Tn ? ? ? ??? ? ? ? ? ……10 分 2 n ?3 n?2 n ?1 8 8?3 8?3 8?3 8?3 8?3 16 16 ? 3n ?1 4(n ? 1)bn ?1 ? (3 ? 16Tn ) ? n(n ? 1) 2n ? 1 n(n ? 1) ? 3(2n ? 1) ? n ?1 ? 3n 3 3n

? n(n ? 1) ? 3(2n ? 1) ? n2 ? 5n ? 3 ………………………11 分

?当 n ?

5 ? 37 5 ? 37 ? 0 时有 n(n ? 1) ? 3(2n ? 1) , 或n ? 2 2

所以当 n ? 5 (n ? N? ) 时有 3 ?16Tn ? 4(n ? 1)bn?1 那么同理可得:当

5 ? 37 5 ? 37 时有 n(n ? 1) ? 3(2n ? 1) , ?n? 2 2

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所以当 1 ? n ? 5 (n ? N? ) 时有 3 ?16Tn ? 4(n ? 1)bn?1 ………………………13 分 综上:当 n ? 5 (n ? N? ) 时有 3 ?16Tn ? 4(n ? 1)bn?1 ; 当 1 ? n ? 5 (n ? N? ) 时有 3 ?16Tn ? 4(n ? 1)bn?1 ………………………14 分


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