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03.复数


深圳市 2016 年高考数学复习参考题
3、复数
编辑:深圳市盐田高级中学 一、选择题: 1.若 a 为实数,且 A. -4 张成宇

2 + ai = 3 + i ,则 a = 1+ i
B. -3

( ) C. 3 D. 4

【试题解析】 答案 D. 解法一: ∵

2 + ai \a = 4; \ 2 + ai = (3 + i)(1+ i) = 2 + 4i ,又 a ? R , = 3+ i , 1+ i

ì2+ a ? ? 2 =3 2 + ai (2 + ai)(1 - i) (2 + a) + (a - 2)i 解法二:∵ ,解得 a = 4 ,故答案选 D. = = = 3+ i , í 1+ i (1 + i)(1 - i) 2 ?a - 2 =1 ? ? 2
【选题意图】本小题主要考查复数的乘法和除法运算,复数相等的概念.新课标Ⅰ卷中对复数代数运 算(特别是乘法和除法运算)的考查频次较高. 2.已知复数 z 满足 ( z - 1)i = 1+ i ,则 z = A. -2 - i B. -2 + i C. 2 - i D. 2 + i ( )

【试题解析】答案 C.解法一:∵ ( z - 1)i = 1 + i ,\ z =

1+ i + 1 = 2 - i ;解法二:∵ ( z - 1)i = 1+ i , i

\ zi = 1+ 2i ,\ z =

1 + 2i = 2 - i ;解法三:代入验证法,故答案选 C. i

【选题意图】本小题主要考查复数除法运算,复数相等的概念. 3.设 z =

1 + i ,则 | z |= 1+ i
B.

( )

A.

1 2

2 2

C.

3 2

D. 2
2 2

?1? ?1? 1 1- i 1- i 1 1 【试题解析】 答案 B. 解法一: ∵ z= +i = +i = +i = + i, \| z |= ? ÷ + ? ÷ 1+ i (1 + i)(1 - i) 2 2 2 è2? è2?

=

|i| 1 2 2 1 1 + (1 + i)i i ;解法二:∵ z = ,\| z |= ,故答案选 B. = = +i = = |1 + i | 1+ i 1+ i 1+ i 2 2 2
【选题意图】本小题主要考查复数的除法运算,复数的模及运算. 4.

1 + 2i = (1 - i) 2
A. -1 -

( )

1 i 2

B. -1 +

1 i 2

C. 1 +

1 i 2

D. 1 -

1 i 2

【试题解析】答案 B.

1 + 2i 1 + 2i (1 + 2i)i i - 2 1 = = = = -1 + i ,故答案选 B. 2 -2i 2 2 2 (1 - i)

【选题意图】本小题主要考查复数的乘法和除法运算. 5.设复数 z 满足

1+ z = i ,则 | z | = 1- z
B. 2 C. 3 D. 2

( )

A. 1 【试题解析】 答案 A. 因为

-1 + i (-1 + i)(1 - i) 1+ z 所以 1+ z = i - zi , 从而 z = 所以 | z | =1, = = i, = i, 1+ i (1 + i)(1 - i) 1- z

故答案选 A. 【选题意图】本小题主要考查复数的乘法和除法运算,复数的模. 6.若 a 为实数,且 (2 + ai)(a - 2i) = -4i ,则 a = A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 ( )

【试题解析】 答案 B. 解法一: 由 (2 + ai)(a - 2i) = 4a + (a 2 - 4)i = -4i 得, í 解法二:代入验证即可找出正确答案为 B,故答案选 B. 【选题意图】本小题主要考查复数的乘法运算,复数相等的概念. 7.若复数 z 满足 (3 - 4i) z =| 4 + 3i |,则 z 的虚部为 A. -4 B. -

ì 4a = 0
2 ?a - 4 = -4

, 解得 a = 0 ;

( )

4 5

C. 4

D.

4 5

【试题解析】答案 D.由 (3 - 4i) z =| 4 + 3i |= 5得, z =

5 5(3 + 4i) 5(3 + 4i) 3 4 = = = + i, 3 - 4i (3 - 4i)(3 + 4i) 25 5 5

所以 z 的虚部为

4 ,故答案选 D. 5

【选题意图】本小题主要考查复数的除法运算,复数的模. 8.下面是关于复数 z =

2 的四个命题: -1 + i

p1 : | z |= 2 ,
其中的真命题为 A. p2 , p3

p2 : z 2 = 2i ,
B. p1 , p2

p3 : z 的共轭复数为 1 + i ,
C . p2 , p4

p4 : z 的虚部为 -1,
( ) D. p3 , p4

【试题解析】答案 C .因为 z =

2 2(-1 - i) = = -1 - i ,所以 | z |= 2 , z 2 = (-1 - i)2 = -1 + i (-1 + i)(-1 - i)

(1+ i)2 = 2i , z 的共轭复数为 -1 + i , z 的虚部为 -1,综上可知 p2 , p4 是真命题,故答案选 C.

【选题意图】本小题全面考查了复数的定义,复数的模,共轭复数的概念,复数的乘方和除法运算. 9.

(1 + i)3 = (1 - i) 2
A. 1 + i B. -1 + i C. 1 - i D. -1 - i

( )

【试题解析】答案 D.

(1 + i)3 (1 + i)2 (1 + i) 2i(1 + i) = = = -1 - i ,故答案选 D. -2i (1 - i)2 (1 - i)2

【选题意图】本小题主要考查复数的乘法、乘方、除法运算. 10.设复数 z1 , z2 在复平面内对应的点关于虚轴对称, z1 = 2 + i ,则 z1 z2 = A. -5 B. 5 C. -4 + i D. -4 - i ( )

【试题解析】答案 A.由 z1 = 2 + i 可得, z2 = -2 + i ,所以, z1 z2 答案选 A. 【选题意图】本小题主要考查复数的几何意义,复数的乘法运算. 11.设复数 z 满足 (1 - i) z = 2i ,则 z = A. -1 + i B. -1 - i C. 1 + i

= (2 + i)(-2 + i) = i2 - 4 = -5 ,故

( ) D. 1 - i

【试题解析】 答案 A. 解法一: 由 (1 - i) z = 2i 得,z = 代入验证即可找出正确答案为 A,故答案选 A. 【选题意图】本小题主要考查复数的除法运算. 12.设复数 z 满足 ( z - 2i)(2 - i) = 5 ,则 z = A. 2 + 3i B. 2 - 3i

2i 2i(1 + i) -2 + 2i = = = -1 + i ;解法二: 1 - i (1 - i)(1 + i) 2

( ) C. 3 + 2i D. 3 - 2i

【试题解析】 答案 A. 由 ( z - 2i)(2 - i) = 5 得, z=

5 5(2 + i) 5(2 + i) + 2i = + 2i = + 2i = 2 + 3i , 2-i (2 - i)(2 + i) 5

故答案选 A. 【选题意图】本小题主要考查复数的除法,加法运算. 二、填空题: 13.设复数 z =

1 ,则 | z |= ____________. i -1
2 2

? 1? ? 1? 1 -1 - i 1 1 2 【试题解析】答案 .解法一: z = = = - - i ,所以 | z |= ? - ÷ + ? - ÷ i - 1 (-1 + i)(-1 - i) 2 2 2 è 2? è 2?

=

2 2 1 1 1 1 2 ;解法二:由 z = 得, | z |= ,故答案为 . = = = | -1 + i | 2 i - 1 -1 + i 2 2 (-1)2 + 12
【选题意图】本小题主要考查复数的除法运算,复数的模及其运算.

14.复数

2-i = ____________. 2+i

【试题解析】答案

3 4 2-i (2 - i)2 3 - 4i 3 4 - i. = = = - i. 2 + i (2 + i)(2 - i) 5 5 5 5 5

【选题意图】本小题主要考查复数的除法运算. 15.若 a 为正实数, i 为虚数单位,且

|a+i| = 2 ,则 a = ____________. |i|

【试题解析】答案 3 .由

|a+i| a2 +1 = 2 得, = a 2 + 1 = 2 ,又 a > 0 ,所以, a ? 3 . |i| 1

【选题意图】本小题主要考查复数的模的概念与计算. 16. i 为虚数单位,则 +

1 1 1 1 + + = ____________. i i3 i5 i 7 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + + = + + + = - + - = 0. i i3 i5 i7 i -i i -i i i i i

【试题解析】答案 0 .因为 i 2 = -1,所以 +

【选题意图】本小题主要考查虚数单位的性质. 说明:全国Ⅰ卷对复数的考查是必考内容,以选择题的形式呈现,通常是试卷的第 2 或第 3 题,属于 容易题,此处的填空题也都是由选择题型改编而来.考查内容主要是复数的概念,复数相等,复数的模, 共轭复数,复数代数形式的基本运算,特别是复数的除法运算考查频次极高.


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